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DERIVATE IR
IR"
Un di ad chiama
module
vettore di uguale 1 in
si DIREZIONE
una
IR2 IR",
funzione direzione cioè
ed (x,y) Fissata
di definita
aperto
A in
A.
Sia su
un una
una
IR2
rettore 1 B)
(2,
fissato con
=
=
un x
+
(1 2 1
=
= (2,B).
cordinate
di (x,y)
funzione direzione
definisce della f,
DIREZIONAL nel nella
la punto x
CERIVATA
s i e =
il limite B) b(x,y)
xf(x +
2,y
Lim -
+
+ +
1 - ↳ finito.
tale
purché limite esista sia
e
DIREZIONALE UNA FUNZIONE DIFFERENZIABI
DERIVATA DI
IR2 differenziabile (x,y)
A variabili
aperto
Sia in A.
funzione
di di
f due punto ->
un
una
un e devivata vale:
direzione
ad
Allova (a,B)
devivata ogni
o (x,4) direzionale rispetto tale
ammette +=
in e
fx(x,y)2
28/ax(xy) fy(x,y)B
= +
VETTORE
GRADIENTE:
G EOMETRICA
INTERPRETAZIONE DEL punto
differenziabile
il funzione indica
gradiente di eli
Se direzione
nulle, la il
in verso
una
n on è un e
della
del punto.
nel
pendenza
massima grafico funzione
CON GRADIENTE
FUNZIONI Nulle SIR2,
gradiente tutti; costante
ammette 8 A
diu n A
funzione o nullo
Se aperto allova è
punti
in con n e ss o su
una
MASSIMI E RELATIVI
MINIMI (x0,40)
insieme A
SIR2.
definita funzione
la
o punto dice
funzione A
Sia Relativo
di
si
in Un Massimo
->
una un per
yo)
(xx,y0) tale
esiste
A 830
dicentro
sull'insieme. intorno Ig che
8 (xo, raggio
circolare
se e
un f(xx,y)) f(x,y) A.
Is(xe,y0)
X(x,y)
= e
= Ig(X0,40)
A interno
Analogamente, (x0,yc)
punto circolave
di esiste
R i i ro o di
A MINIMO su
e per se un
un è
820
centro (x0140) che
tale
xaggic
e Ig(xx,y)eA
f(xx,y0) X(x,y)
f(x,y) =
-
*
ORDINE)
N ECESSARIA
CONDIZIONE (DEL PRIMO AIR derivabile
ed di relativo
punto (X0,yo)
funzione insieme
definita
8 massime di
in
Se minime
in
una è un è un o
il gradiente di si
interne all'insieme A, allova annulla
8 (x0,40).
8, in
per ORDINE)
(DEL
NECESSARIA
CONDIZIONE SECONDO
IR2,(xe, definita è
C2.
di
o
punto
A di A,
insieme y0) ad (Xo,y)
funzione
Sia e
interno Se
classe
su
un una
un allova
relativo
minimo A
di
punto o
per su
un I fx(xx,y0) 06y(x0,y) 0
= =
3,0Gyy(xx,y0)>,0
fxx(x0,y0)
Hf(xx,y)40
y0) di
un punto relativo
(xx, massime
Se A
o alleva
su
per
è I fx(xx,y)) 0fx(x0,y0) 0
= =
x,y))
0fyy(x
fxx(xx,y0) 0
=
=
f(x x,y)>0
A
xiprendiamo variabile
di
considerazione dall'espressione
DIMOSTRAZIONE: funzione F(t), definita
reale
in la una 1,1)
tx) (-
F(t) f(xx x
th,yx =
= +
+ (h,K)
ad
funzione modo
F(t) ben interno scelto
definita
la che
un in
(xxys)
perche A,
punto purché sia
è è
2
1
/(n,k) +12 S 800 apportuno.
= > con
di (t):
Possiamo devivata
la prima
calcolare seconda
e tk)k
↑(t) tk)h fy(x
fx(xx th,y th,y
+ + +
+
= + tk)k2
tk)hk
tk)n2
"(x) byy(xx
2fxy(xx
fxx(xx
* th,y th,y
th,y
= +
+
+
+ + + +
+ f(x,y), di
un punto
(xx,y) A
punto di la
un alloxa
funzione
ad t
ricativo 0
Se in iziere e
minimo per =
è
minimo di
all'intervalls reale
relativo veniabile
l a
(1,1) (t).
interno funzione una
per
(CO) "(0)
pertanto quindi il
Risulta t= ha:
si
4,0
F valore
sostituendo
F 0
0, e
=
=(0) x,yy)h fy(xx,yy)k
fx(x =
0
+
= fyy(x0,y))k2,8
fxx(xx,y0)h2
"(3) 2fxy(xx,y)nk
7 + +
=
SUFFICIENTE
CONDIZIONE IR2, definite
insieme
A eli
ad
di C?
interno Se
Sia A, A
(xx,y) punto funzione classe visulta
un una su e
un I Gy(xx,yx)
fx(x0,y) 0 0
=
=
6xx(xx,y)<0 fyy(x0,40) 0
>
Hf(xe,y0) >0
punto
un 8
di invece
A. Se
(xx,40) M i n i n e reative per
allover su
è I 6x(xx,y0) by(xx,y0) 0
0 =
= byy(x0,yc)
6xx(x014) <0 0
<
48(Xo,ys) 0
>
40) o
di infine
A.
un punto
(Xo, Se
allova Reativo
massimo per su
è E 8x(xx,y) fy(x0,y)
0
= 0
=
4f(xx,y0) ne massime ne minime.
un di
di
(xo, y) 8, è
allova c r i te
provie
è per non
me
ORDINE) *
(CONDIZIONE
1
FERMAT
TEREMA DI relativo
IR2 A.
di
(X0,40)
Sia definite punto
A- I R nell'insieme sia di 8
Ac
funzione
8: in
estremo
una e un yf(x0,y0) (0,0).
punto A entrambe
esistono penziali allova
in
interno
un d i
(Xo,y0) le
Se devirate
di 8,
c u i
è =
DIMOSTRAZIONE:Per <A.
un
y0) che
(yo, BR(x0,ys)
tale
e siste
interno
punto
ipotesi R>0
cioè raggio
A,
di un
è (0,R]
di quindi
punto relativo 8
che Esiste
in
inoltre sia
(o, A.
massimo raggio"
yo) di
supponiamo u n
un -
tale che: f(x0,40) Bx
(xx,y0).
X(x,y)
f(x,y) e
= letta
consideriamo
particolare, che
In di
restrizione si
verticale
f(x,ys) alle
8
q(x)
la y=yo av i a
se = x)
↑x
f(xx,y) g(Xs)
= (Xx
f(x,y0) x,x
q(x) =
= -
= +
punto devirabile
massimo Poiche
consequenza, parzialmente
la funzione
relativo f
Di di ipotesi
per
un
o per g.
è è
(x0,40), desirabile
punto
nel
alla abbiamo
xispetto è in
che No.
g
x f(x):
0x(x0,y0)
cioè a
: quindi
Analogamente dimostrare.
voleva
(X0,y0) visulta (f(xs, ye)
fy si
che
si come
prova 0,
0, e =
=
ESTREMI VINCOLATI
IMPLICITE,
FUNZIONI
TEOREMA DINI
DI IR? ye)
C A
di di quale
classe
funzione
F(x,y) aperto un
A punto nel
Se risulta
Sia (xe,
in di
una un è
Fy(xx,y)
*(x0,y) 0
0
= e + l'equazione
allova -
positivi
esistone c h e
tali
numeri a
e
F(x,y) 0
=
implicitamente
definisce un'unica funzione a)
5) (y
8: 5,xx
(x 0,4
0 - - +
- +
una funzione tale che
cioè 3)
↓x
F(x,f(x)) (x 8,x
0 = - +
= 8)
devivabile nell'intervallo si
cui f(x)- ha
8
risulta (x0-8,
Inoltre
yo. xx
e per e
è +
5)
*. (x)
6) x 5,x
=
x
- - +
-
C N,
F(x,y) anche implicita
allova
nell'aperto funzione
la
qualche
classe
d i k
Se A, =
per
poi è S)
("
di 8,
classe (x0-
in
8 xx
è +
CONSEGUENZE TEORMA DE DINI
DEL ASR
nell'aperto consideriame
classe l'insieme di
a degli
Zevi
di
Sia F
a
F e
0)
((x,y) F(x,y)
A:
z = =
= nulle,
(x0,ye) punto i l gradiente
in intorno insieme
i
di di z
(xo,4)
2
Se un in
cui un
è
non
è cui
vetta tangente equazione
coincide il semplice ha
sostegno regolate,
di tale punto
la
c u r va in
una e
con xx)
x,yy)(x yy)
Fy(Xe,y)(y
Yx(x 0
=
- + - di ye),
coincide, intorno
l'insieme
ad Fy(Xx,y) (Xe,
peri l
esempio deiD i n i
teorema a
Se in
40, un con
C, devivata data da
f(x)
quatico diu funzione
il cui
f(x): la in
n a tale
classe che
di yo xo
e è
8(Xo): Fx(x),ye)
- Fy(xx,ye)
dif
tangente
la quatics equazione
al
Allora ha
f(x))(x x0).
C
4x(xe,y(x
x0) y0
=
y y -
-
+ -
= Ty(xx,y0) (xx,y)
(Yo,ys) dell'insieme
dice di mentre
degli
Un a
si
punto zeri
2 o,
F
punto Rigocare
-> DT
un se
DF (xx,ye) il punto
visulta SINGOLARE
dice
si
0
se =
VINCOLATI. MOLTIPLICATORI
MINIMI LAGRANGE
MASSIMI E DI IR2
di
dotate
F(x,y) parziali
continue
funzioni elexivate
f(x,y) due in A
Siano di
aperto
un
e con
(ä(xy)) (y(y)) IR2
X(x,y) A =
s =
+
l'insieme di
Supponendo F
degli
che zevi 0)
G(x,y) F(x,y)
A:
2 =
= =
dare
vuoto, di
proponiamo insieme
minimo
d i
metodo massimo
di nell
vicerca
di punti
l a
sia t.
8
un per
non e
ci dipende
quanto variabili indipendenti,
in le d a
di o
la
in
Siamo funzione
vincounts,
estremi
presenza cui sono
non
(X,y)
condizione
legate I anche
alla eletta vincolo.
ma 0,
= il
presentarsi
può regolare
quelle di
sostegno
Un semplice
cui l'insieme
prime in
che z cur va
una
caso è è
[a,b] di peametriche
A equazioni
=
U: I te(a,b]
x(t)
x =
y(t)
=
y determinate
di
il ricondotto
eventualiestremi
determinate quello
di
In gli
di 8
problema t
tal viene
caso sn a
della
estremi reale
variabile
funzione diu n a
gli f(x(t),y(t)) [a,b]
+(x) e
= +
minimo)
(a,b) di
di
supponiamo A(t).
relativo
massimo
to punto lo
che sia un per
-> y(to))
A'(0) (x(ts),
percio, (x0,y0):
dova sava
e ss e re posto
Allova e
0
= x,y0)y(t0)
fx(xx,y0)x(t0) by(x 0,
+ = (8x,by) (x,y))
gradiente ev
relazione deivettori D8
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Problema con potenze
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