Analisi 1 - Teoria

Matematica: insieme logico

Postulati

Partendo da Euclide:

• I postulati sono le regole base della matematica e rappresentano il punto di partenza di un teorema. Possono cambiare in una diversa scienza e possono essere in contraddizione tra loro.
• Esempio: 5 postulati di Euclide che non hanno trovato un cambio di set, e ce n'è pure uno in una ... parallela -> quel dato di.

Alfabeto greco

_α Alfa (a)
_β Beta (b)
_γ Gamma
_δ Delta (d)
_ε Epsilon
_ζ Zeta (z)
_η Eta
_θ Theta
_ι Iota (i, j)
_κ Kappa
_λ Lambda
_μ Mu (m)
_ν Ni (n)
_ξ Xi (x)
_ο Omicron (o)
_π Pi (p)
_ρ Ro (r)
_σ Sigma
_τ Tau
_υ Upsilon
_φ Fi (f)
_χ Chi (c aspirata)
_ψ Psi
_ω Omega

Simboli logici

Simb.:
∀ per ogni
∃ esiste almeno
∃_! esiste un solo
∈ appartiene
∉ non appartiene
¬ negazione
↔ equivalenza

Matematica: sistema logico

Il sistema logico-formale è caratterizzato dal fatto che tutto deve essere dimostrato attraverso la logica deduttiva (cause -> effetti). Ogni cosa è da dimostrare, e le regole (o postulati) possono variare a seconda del contesto scientifico.

Logica

Sillogismo:
Tutti gli uomini sono mortali. (premessa maggiore)
Socrate è uomo (premessa minore)
Socrate è mortale.
Se la conclusione è vera, l'ipotesi è valida e il ragionamento è corretto.
Esempio: Non giochi – non vinci. (Se giochi, non è detto tu vinca)

Domanda campelina

(La maestra di storia dice bugie?) Tu dici bugie. No, continuo a dire bugie.

Axioma

Un axioma è un principio indicato per sé, che non ha bisogno di essere dimostrato.

Insiemi

INSIEME = Collezione/classe/famiglia di oggetti detti elementi che lo definiscono.
Cardinalità: numero di elementi dell'insieme.
Proprietà degli insiemi: un elemento può appartenere o non appartenere ad un insieme; un elemento non può comparire più di una volta in un insieme; gli elementi di un insieme non hanno ordine di comparizione; gli elementi di un insieme li consideriamo con una qualunque caratteristica.

Operazioni fra insiemi

• ∀ x ∈ A → Il elemento x appartiene all'insieme A.
• ∀ x ∉ A → Il elemento x NON appartiene all'insieme A.
• B ⊆ A → L'insieme B è un sottoinsieme di A.
• B ⊆ A ::= ∀ x ∈ B → x ∈ A.
• B ⊂ A → L'insieme B è un sottoinsieme proprio di A.
• B ⊂ A ::= ∀ x ∈ A ∧ ∃ x ∈ A : x ∉ B.
• A ∪ B = C → L'insieme C è dato dall'unione tra A e B.
• A ∪ B ::= {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.
• A ∩ B = C.
• A \ B (differenza) → L'insieme con tutti gli elementi di B che non appartengono ad A.
• A \ B ::= {x : x ∈ B ∧ x ∉ A}.
• B / A : B / A ⊆ ∃ B.

Ø l'insieme vuoto.

Insiemi numerici

• N numeri naturali
• Z numeri interi
• Q numeri razionali
• R numeri reali
• C numeri complessi

Numeri naturali

N = { 1, 2, 3, ... }