Teoria e proprietà delle funzioni

La funzione valore assoluto mi dà il vantaggio che elimina eventuali segni (-); anzi, caso problemi se scambio x₁ e x₂ (in questo caso), perché se li scambio, il loro valore assoluto non cambia.

Per parlare di distanza/vicinanza, si utilizza quindi questa funzione.

Nozione di intervallo:

Di intervalli ce ne sono tanti. Per intervallo, s'intendono tutti i punti che stanno tra un punto e un altro.

Sia a < b:

1. (a,b) → a < x < b → aperto
2. [a,b] → a ≤ x ≤ b → chiuso
3. (a,b] → a < x ≤ b
4. [a,b) → a ≤ x < b

Limitati:

1. (a,+∞) → x > a → aperto
2. [a,+∞) → x ≥ a → chiuso
3. (-∞,b) → x < b → aperto
4. (-∞,b] → x ≤ b → chiuso

Nozione fondamentale per il concetto di vicinanza:

x₀ sia un numero reale; x₀ ∈ R si definisce intorno di x₀ un qualsiasi intervallo aperto contenente il punto x₀.

Esempio:

x₀ = 1:

1. (0,2) "è un intorno del punto 1." Sicuramente sì, perché 1 è contenuto in quell'intervallo che va da 0 a 2.
2. (1,2) "è un intorno del punto 1." In questo caso: no. Perché x₀ ∉ (1,2), in quanto 1 deve stare dentro e anche se (1,2) è un intervallo aperto.
3. (0,+∞) "è un intorno di 1", perché questo intervallo, parte da 0 ed è ∞, quindi contiene al suo interno 1.
4. (-∞,0) "non è un intorno di 1", perché questo intervallo parte da 0, ma "è negativo".

Si definisce intorno di +∞ ogni intervallo aperto, del tipo (a,+∞).

Si definisce intorno di -∞ ogni intervallo aperto, del tipo (-∞,b).

L'intorno permatte quindi di quantificare l'avvicinarsi al punto x₀ e ciò è chiaro esxo.

Per quantificare la distanza di questi intorni, dal punto x₀, si fa:

a < x < b ⇒ (x - q₁) < x < (x + q₂)

Pongo q₁ = q₂ = ε e quindi ottengo x₀ - ε < x < x₀ + ε = L'intorno simmetrico di x₀, con semicirconferenza uguale a ε

-ε < x - x₀ < ε → |x - x₀| < ε

Supponiamo di avere la seguente funzione.

Cosa succede ai valori della funzione, quando la variabile si avvicina a un certo punto?

Considero x₀ e, quando mi ci avvicino, i valori gli si avvicinano.

Considero x₁, in questo caso sembra che i valori tendano a diventare sempre più grandi. Posso determinare che ciò accade anche se mi avvicino da una parte sola.

Considero x₂, in questo caso non ha alcun senso interessarmi di cosa accade, perché l^' è la funzione non è definita.

DEFINIZIONE:

Sia A un sottoinsieme di R, cioè un insieme non vuoto di numeri reali.

(x₀ ∈ R, x₀ ≠ ...)

Si dice PUNTO DI ACCUMULAZIONE per A, se ogni intorno di x₀ contiene almeno un punto dell'insieme A, diverso da x₀.

Es:

Considero l'intervallo

A = (2, 5) quali sono i punti di accumulazione?

- -> (2, 5)

A ciò che è stato detto per il punto ( è da considerarsi vero per ogni punto dell'intervallo A, quindi sono i PUNTI DI ACCUMULAZIONE TUTTI I PUNTI DELL'INTERVALLO APERTO ]2, 5[

Considero l'intervallo APERTO perché anche il est un punto di accumula fce in ogni intorno un punto la fa si capisce che ci sono dei valori contenuti nell'intervallo. Oltre all^' pufunti una se consideriamo

Sia f: I → R

I intervallo costituito da più intervalli.

x ∈ I In questo caso I può essere x₀ = +∞ e x₁ = -∞ perché la funzione è definita in un altro intervallo

f continua nel punto c se lim f(x) = f(c) Proprietà delle funzioni continue

1. Il limite può non esistere

   funzione sinx x²_-insenx

   Se x → +∞ il limite in questo caso NON ESISTE. Il valore oscilla sempre tra -1 e +1. Questo vale per tutte le funzioni periodiche.

2. Il limite, se esiste, è unico

   Supponiamo che al tendere di c qualsiasi ci siano due limiti:

3 valori della funzione non possono stare contemporaneamente sia in V₁ che in V₂. Se ϵ avvicina a l₂ non si avvicina a l₂ e viceversa.

III PASSAGGIO

Sono partito da un intervallo in cui gli estremi avevano segno opposto: a₀ e b₀.

Nel secondo intervallo io prendo un numero tale che l'intervallo mantenga questo cambiamento, perché se c'è un punto in cui la funzione si annulla potrebbe rischiare di non passarci e quindi non vederlo.

Quindi:

• (a₀+b₀)/2 se f((a₀+b₀)/2) < 0 e allora b₁ = b₀.

Oppure

• (a₀+b₀)/2 se f((a₀+b₀)/2) > 0 e allora a₁ = a₀.

Continuo poi a realizzare intervalli interni al primo (a₁, b₁), trovando il punto medio e determinando il segno.

Vado avanti all'infinito.

Supponendo che x non sia MAI uguale a 0, ho costruito una successione di intervalli in cui gli estremi di sinistra sono minori o uguali dei loro successivi e gli estremi di destra sono maggiori o uguali dei loro predecessori.

Inoltre, l'ampiezza dell'intervallo è ogni volta la metà del precedente.