Teoria e proprietà delle funzioni

La funzione valore assoluto mi dà il vantaggio che elimina eventuali segni (-). Non causa problemi se scambio X e X₀ (in questo caso, perché se il cambio il loro valore assoluto non cambia.

Per parlare di distanza/vicinanza, si utilizza quindi questa funzione.

Nozione di intervallo:

Di intervalli ce ne sono tanti. Per intervallo, s’intendono tutti i punti che stanno TRA un punto e un altro,.

Sappiamo che a<b:

1. (a,b) ⇒ a < x < b ⇒ aperto
2. [a,b] ⇒ a ≤ x ≤ b ⇒ chiuso
3. (a,b] ⇒ a < x ≤ b
4. [a,b) ⇒ a ≤ x < b
5. (a,+∞) ⇒ x > a ⇒ aperto
6. [a,+∞) ⇒ x ≥ a ⇒ chiuso
7. (-∞,b) ⇒ x < b ⇒ aperto
8. (-∞,b] ⇒ x ≤ b ⇒ chiuso

Limitati

Illimitati

Nozione fondamentale per il concetto di vicinanza:

X₀ sia un numero reale. X₀∈ℝ Si definisce intorno di X₀ un qualsiasi intervallo aperto contenente il punto X₀.

Esempio:

X₀=1,

(0,2) è un intorno del punto 1. Sicuramente sì, perché 1 è contenuto nell’intervallo che va da 0 a 2.

(1,2) è un intorno del punto 1 ? In questo caso no. Perché X₀ ∈ intervallo aperto.

• Quindi il punto deve stare dentro anche se (1,2) non intervallo aperto.
• (0,∞) è un intorno di 1, perché questo intervallo, parte da 0 a +∞ quindi contiene al suo interno.
• (-∞,0) è un intorno di 1, perché questo intervallo parte da 0, masse negativo.

Si definisce intorno di +∞ ogni intervallo aperto del tipo (a,+∞)

Si definisce intorno di -∞ ogni intervallo aperto del tipo (-∞,b).

L’intervallo permette quindi di quantificare l’avanzarsi di punto X₀ o chi per

Per quantificare la distanza di quest'intorno dal punto X₀, si fa:

a ≤ x ≤ b ⇒ (x - q) < x < (x + q)

Pongo q₁ - q₂ = ∞ o quindi ottengo

x₀ - Σ ≤ x ≤ x₀ + Σ = L’intorno simmetrico di x₀ con semiampiezza usata ∈ Σ.

La funzione valore assoluto ha per il vantaggio che elimina eventuali segni (-) e mai causa problemi se scambio x₁ e x₂ (in questo caso) perché se li scambio il loro valore assoluto non cambia.

Per parlare di distanza/vicinanza, si utilizza quindi questa funzione.

Nozione di intervallo:

Di intervalli ce ne sono tanti: per intervallo, s’intendono tutti i punti che stanno tra un punto e un altro.

Sappiamo che a < b:

1. (a, b) → a < x < b = aperto
2. [a, b] → a ≤ x ≤ b = chiuso
   • limitati
3. (a, b] → a < x ≤ b
4. [a, b) → a ≤ x < b
5. (a, +∞) → x > a = aperto
6. [a, +∞) → x ≥ a = chiuso
   • illimitati
7. (-∞, b) → x < b = aperto
8. (-∞, b] → x ≤ b = chiuso
9. (-∞, +∞)

Nozione fondamentale per il concetto di vicinanza:

x₀ sia un numero reale. x₀ ∈ R. Si definisce intorno di x₀ un qualsiasi intervallo aperto contenente il punto x₀.

Esempio:

x₀ = 1:

(0, 2) è un intorno del punto 1? Sicuramente sì, perché 1 è contenuto nell’intervallo che va da 0 a 2.

(1, 2) è un intorno del punto 1? In questo caso, no. Perché x₀ ∈ intorno, non deve essere l’estremo: il punto 1 deve stare dentro anche se (1, 2) un intervallo aperto.

(0, +∞) è un intorno di 1 perché questo intervallo parte da 0 e va oltre quindi contiene il suo intero.

(-∞, 1) non è un intorno di 1 perché questo intervallo parte da -∞ e va fino a 1 ma non lo comprende a destra.

Si definisce intorno di +∞ ogni intervallo aperto del tipo (a, +∞).

Si definisce intorno di -∞ ogni intervallo aperto del tipo (-∞, b).

Tutti i punti dell’intervallo (a, b) sono obbedienti: a < x < b.

Ovunque. È unione tra noti.

L’intero permale quindi da quan(x)re = avananso di punto x₀ o chi per vno.

Per quantificare la distanza di quesh intorno, del punto x₀, si fa:

a ≤ x < b (x₀ - q) x (x + q) Pongo q > 0 e quindi ottengo:

x₀ - ≤ x ≤ x₀ + e L’intorno simetrico di x₀ con semi-ampiezza solida è e.

-ε < x-x_o < ε ⇒ |x-x_o| < ε

Supponiamo di avere la seguente funzione:

y

Cosa succede ai valori della funzione, quando la variabile si avvicina a un certo punto?

Considero x_o e quando mi ci avvicino, i valori gli si avvicinano.

Considero x_o e in questo caso sembra che i valori tendono a diventare sempre più grandi. Posso determinare ciò che accade, anche se mi avvicino da una parte sola.

Considero x₁ e y₁; questo caso non ha alcun senso interessarsi di cosa accade, perché la funzione non è definita.

DEFINIZIONE:

Sia A un sottoinsieme di R, cioè un insieme non vuoto di numeri reali.

(x ∈ R, x_o ≠ +∞, -∞,...)

Si dice PUNTO DI ACCUMULAZIONE per A, se ogni intorno di x_o contiene ALMENO un punto dell’insieme A diverso da x_o.

Es.

Considero l’intervallo

A = (2,5) → Quali sono i punti di accumulazione?

A Ciò che è stato detto per il punto x_o e da considerarsi vero per ogni punto dell’intervallo A. Infatti sono punti di

ACCUMULAZIONE TUTTI I PUNTI DI INTERVALLO APERTO ]2,5[.

Considero l’intervallo aperto perché anche 2 e 5 sono punti di accumul.

Se anche prendendo in questo punto 0,5 cioè 2 e 5 stessi, ci sono dei valori contenuti nell’intervallo. Inoltre anche i punti iniziali si considerano...

Esempio 1:

A: (1, +∞)

Se prendo un punto successivo al 1¹â€ sarà un PUNTO D'ACCUMULAZIONE. Anche se è d'accumulazione, questo perché qualsiasi intervallo si scelga da 1¹â€ in avanti ci sono dei punti che stanno dentro.

Quindi l'insieme dei punti d'accumulazione è (−∞, +∞) {+∞} {+∞}

Esempio 2:

A: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 2, ..., n)

PUNTI D'ACCUMULAZIONE ⇒ {+∞}

NON è ACCUMULAZIONE PERCHÉ CONSIDERO N

Esempio 3:

A: ¹â€â€ž ca un intero ⇒ { ¹â€‰â…•, ¹â€‰â…œ, ¹â€‰â…›, ¹â€‰â…Ÿ}

PUNTI D'ACCUMULAZIONE ⇒ {0}

Unico possibile è lo 0. Perché un insieme A, come precedente, che ci sia un numero finito?

necessita che ci sia un numero finito.

Esempio 4:

(−1/40000, 1/40000)

ε=1/40000, basta prendere n>400000.

RIASSUNENDO:

Il limite è SQUETICA, in qualche senso la funzione di essere vicino A UN PUNTO.

PUNTO D'ACCUMULAZIONE: nei dintorni è possibilità di AVVICINARSI A UN PUNTO stando in un certo intervallo.

LIMITI:

Limite: quando le variabili si avvicinano a un certo valore, il valore della funzione, assume un certo valore.

Così succede nei valori della funzione (e che essi si avvicinano), quando le variabili si avvicinano a un certo valore possibile.

DEFINIZIONE DI LIMITE:

Sia f funzione definita in un intorno di x₀. Sia x₀ punto di accumulazione per A (x ε R, −∞ < x < +∞) Andiamo N.

Si dice che il limite di tendere di x per x₀ = b se c'è ε > 0 in A allora ε immagine appartiene a V (f(x) < ε)

1) Preso un intorno di V_o arbitrario, V mi definisce un intorno U.

2) Preso un punto x nell'intorno di U, la sua immagine si trova nell'intorno di V.

V è immagine di x

Nell’intorno di x_o, più mi avvicino a x_o, più la funzione V vale valori più grandi, quindi considero V che va a +∞. Quindi se prendo valori nella parte destra dell’intorno di x_o questi avranno come immagine nell’intervallo V.

Se prendo valori di U che stanno alla sinistra di x_o, anche le immagini non si perdono lì; la funzione non si ferma e quindi quando questi punti sono di più.

A me interessa ciò che succede nell’intervallo considerato, cioè come intervallo di dominio, che non appartiene all’intervallo definitivo, fate che le immagini stanno in V.

Supponiamo debba esere nel caso in cui sia X_o che L siano numeri reali.

X_o ∈ R e L ∈ R

U = (X_o - δ, X_o + δ) INTORNI SIMMETRICI SEGANTI NEL PUNTO.

V = (L - ε, L + ε)

V viene determinato da 1; per ogni ε > 0 esiste un intorno U (determinato da δ) esiste δ > 0 tale che se |x - x_o| < δ allora |f(x) - L| < ε.

Supponiamo che X_o ∈ R e L = +∞

U: (X_o - δ, X_o + δ)

V = (K, +∞) delimitato verso destra da K in poi.

Quindi stare in V significa essere maggiori di K e stare in U vuol dire essere maggiori di x_o - δ e minori di x_o + δ.

Perciò:Es. ogni V (determinato da K) esiste δ > 0 tale che se |x - x_o| < δ e f(x) < V, quindi stai in V.

Supponendo:

X_o = -∞ e L = ± ∞

U = (-∞, H) tutti i punti prima di H

V = (K, +∞) tutti i punti dopo K

L'intorno V è definito unicamente da H e il suo secondo estremo.L'intorno V è definito unicamente da K il suo primo estremo.

Devo partire da X_o quindi per ogni K esiste H tale che se x < H e allora f(x) > K.

Chiaro:

lim_x→Xo f(x) = Lo f(x) *∗* x *∗* ε

LIMITE:è il valore a cui tende una funzione quando la variabile, a sua volta, tende ad un punto plausibile, detto d'accumulazione.

Quindi:COSA SUCCEDE QUANDO LA VARIABILE TENDE A UN CERTO VALORE (?)

LIMITE SEMPLICE:

Sia f: A → R (-> Sia f una funzione definita nell'insieme A, a valori reali)

Sia X_o punto d'accumulazione di A(X_o ∈ R, X_o ≠ +∞ +∞)

Diremo che lim_x→xo f(x) = L

(Ɛ ∈ R+ l'intorno +∞ e -∞) se per OGNI intorno V del L esiste ALMENO UN intorno U di x_o tale che se X∈U A x→x_o, allora f(x) ∈ V

Sia f: I → R I intervallo costituito da più intervalli.

x ∈ I se in questo caso X una puo essere x₀ = + ∞ e x₁ = - ∞

perché la funzione è definita in un altro intervallo.

f è continua nel piano se lim_x→x0 f(x) = f(x₀).

Proprietà delle funzioni continue

1. Il limite può non esistere

Funzione sin x:^13.13sin x < 4

Se x → + ∞ lim_ite in questo caso NON esiste.Il valore oscilla sempre tra -1 e 1.Questo vale per tutte le funzioni periodiche.

2. Il limite se esiste, è unico

Supponendo che il tendere di x₀ da destra ci siano due limiti:

• I valori della funzione non possono stare contemporaneamente sia in V₁, che in V₂.
• Se i valori avvicinano p₁, non si avvicinano al p₂ e viceversa.

f(x) = 1/x

x₀ è un punto d'accumulazione, perciò ha senso chiedersi di valore fa lafunzione quando x → x₀.Se mi avvicino a x₀ da destra, i valori di xaumentano e sembrano tendere a +∞.Se mi avvicino da sinistra, sembranotendere a -∞.Ma se il LIMITE ESISTE, è unico!Quindi il limite non può valere ±∞,perché accadono due cose diversea seconda che ci si avvicini da sx o da dx.

Però se chiedo il limite del VALORE ASSOLUTO della stessa funzione…

lim_x→x0 |x/x₀| = …

f(x) = |-1/x|f(x) = |1/x|

Il valore assoluto di qualsiasicosa (q) equivale a:|q| = |-q|(-q ≤ q ≤ ∞)

In questo caso il limite c'è!Perché:lim_x→x0 f(x)=ℓ ⇔ ∀u ∈ A e x ≠ x₀ ⇒ f(x) ∈ Vlim_x→x0 g(x)=ℓ ⇔ ∀u ∈ A e x ≠ x₀ ⇒ g(x) ∈ V

lim_x→0⁺ 1/x = +∞

lim_x→0^- 1/x = -∞

Teorema Della Permanenza di SegnoSe il limite di una certa funzione f ad un certo valore positivo, alloraesiste un intorno U di x₀ in cui f > 0Ovverolim_x→x0 f(x) = l > 0 ⇒ esiste U di x₀ in cui f > 0 e viceversa…

a) Ho dei casi in cui son sicuro che il limite esiste?

f(x) = (1 + ¹/_x)^x con x ->∞

lim x to 0 f(x) = ?

lim x to ∞ g(x) = ?

Proprietà della Monotonia: proprietà che caratterizza le funzioni e

che ha esempi riscontrati nella rappresentazione grafica delle stesse.

La Monotonia esprime la crescita o la decrescita di una funzione

o nessuna delle due cose, nel caso di una funzione periodica.

Una funzione è monótona se presenta sempre lo stesso andamento.

• Monotonia crescente
• Monotonia decrescente

g: A -> R

Si dice monótona crescente se:

x₁ x₂ A

x₁ < x₂

allora g(x₁) < g(x₂)

g: A -> R

Si dice monótona decrescente se:

x₁ x₂ A

x₁ < x₂

allora g(x₁) > g(x₂)

Simbologia:

• Crescente: x₁ < x₂ -> g(x₁) < g(x₂)
• Strettamente crescente: x₁ < x₂ -> g(x₁) < g(x₂)

Quindi se g è monótona crescente o decrescente e x_o es

accumulazione per definizione allora esistono sempre:

lim x to x_o f(x)

lim x to x_o f(x)

Se una funzione è monótona limiti da una parte e dell'altra

esistono sempre

Primo caso f crescente:

- lim f(x) = ESTREMO SUPERIOREx→x₀⁻ DELLA FUNZIONEQUANDO x→x₀

- lim f(x) = ESTREMO INFERIOREx→x₀⁺ DELLA FUNZIONEQUANDO x→x₀

FUNZIONI CONTINUE:

Tutte le funzioni elementari che son state presentate sono continue nel loro INSIEME DI DEFINIZIONE.

1. f(x) = xⁿ ⇒ continua per ogni x₀ reale.
2. g(x) = x^^α continua per ogni x₀>0 se α≤β e per ogni x₀>0 se α>β con α, β∈ℝ.
3. f(x) = eˣ continua per ogni x₀ ∈ ℝ.
4. g(x) = log_ax continua per x₀>0.
5. f(x) = sinx e f(x) = cosx continua per ogni x₀ ∈ ℝ.
6. g(x) = tgx continua ∀ x₀ ≠ π/2 + kπ, k ∈ ℤ.

Teorema degli Zeri:

C'è un punto in cui cosx = x ⇒ x - cosx = 0

Non è possibile determinare il valore di x₀, si può solo fare un'approssimazione.

Sia f una funzione continua in I=[a,b] ciò vuol significare che essa è continua anche ai di fuori, ma in questo caso ci interessa solo di quell’intervallo.

g(x)=x-cosx

I=[0,π]

Supponiamo che nel primo estremo la funzione sia negativa (g(a)0)

g(0)=0-cos 0

g(π)=-1

g(0)=0 importante è che il segno agli estremi sia discorde

Allora esiste almeno un punto c E I in cui g si annulla. (g(c)=0)

Questo teorema mi dice che esiste un punto ko in cui la funzione si annulla - Come costruire il punto ko, caso approssimato

Esercizio

Punto 1 Punto e Punto medio f

a < b = 0 (a+b)/2 < 0

a1=a+b/2 < b=b1 > 0 (a1+b1)/2 < 0

a2=a1 < b=b1 a1+b1/2 < 0

NB: se a nel punto 1 e f > 0, deve sempre essere > 0 tutta la colonna; di conseguenza se a<0, bot. Quindi b sarà >0 per tutta la colonna.

Parto dagli unici punti che conosco

a=a g(a)<0

b=b g(b)>0

1° passaggio: prendendo il punto medio (a+b)/2

2° passaggio: vedo se l’estremo della funzione nel punto medio (ricordando che sia negativo)

A seconda che sia positivo o negativo, le cose cambieranno

III^O PASSAGGIO:

Sono partita da un intervallo in cui gli estremi avevano segno opposto:

a₁ = a e b₁ = b

Lo secondo intervallo lo prendo in maniera tale che l'intervallo mantenga questo caratteristica, perché se c'è un punto in cui la funzione si annulla potrà risiedere di una passaggio e quindi non vederlo.

Quindi:

(a₁+b₁)/2 se f((a₁+b₁)/2) < 0 e allora b₂ = b₁.

Oppure

(a₁+b₁)/2 se f((a₁+b₁)/2) > 0 e allora a₂ = a₁.

Continuo poi a realizzare intervalli interni al primo (a₁; b₁), trovando il punto medio e determinandone il segno:

Vado avanti all'infinito.

Supponendo che x non sia MAI uguale a 0, ho costruito una successione di intervalli in cui gli estremi di sinistra sono minori e uguali dei loro successori e gli estremi di destra sono maggiori e uguali dei loro predecessori.

Inoltre, l'ampiezza dell'intervallo è ogni volta 1/2^a del precedente.