Teoria Geometria

Spazi Vettoriali

Def. Spazio Vettoriale

È un insieme V in cui sono definite le operazioni di somma e prodotto che soddisfano le seguenti proprietà:

• Assiomatica: ∀u,v,w ∈ V (u+v)+w = u+(v+w)
• Elemento Neutro: ∃θ ∈ V: ∀v ∈ V θ+v = v+θ = θ
• Esistenza Opposto: ∀v ∈ V ∃v: v+(-v) = -v+v = θ
• Distributiva: ∀ λ, µ ∈ R ∀ u, v ∈ V λ(u+v) = λu+λv
• Associativa: ∀ λ, µ ∈ R ∀ v ∈ V λ(µv) = (λµ)v

Esempi:

• Rⁿ = {(x₁, x₂, ..., xₙ): x₁ ... xₙ ∈ R}
• ℜₘₓₙ(ℝ) = { (a₁₁ ... a₁ₙ ... aₘ₁ ... aₘₙ) | aᵢⱼ ∈ ℝ } insieme delle matrici
• IR[t] = insieme dei polinomi a coeff. reali nella variabile t
• V = {f: I → ℝ} funzioni a valori reali
• ∅ insieme vuoto in cui sono soddisfatte tutte le proprietà eccetto quella dell'elemento neutro

Def. Sottospazio Vettoriale

Dato uno spazio vettoriale su IR, si dice sottospazio vettoriale W ⊆ V, un suo sottoinsieme non vuoto che è chiuso rispetto alla somma e al prodotto per scalare.

• ∀u,v ∈ W (u+v) ∈ W (somma)
• ∀λ ∈ ℝ ∀ v ∈ W λu ∈ W (prodotto)

Condizioni Necessarie

1. Il vettore nullo è contenuto in ogni sottospazio vettoriale
2. ∀x ∈ W perché è non vuoto θ=0: w=θ ∈ W
3. ∀u ∈ W allora -u ∈ W ⇒ λ=1=0

Esempio: rette passanti per l'origine del piano cartesiano

• y = mx
• ax + by + oᵢ = c | oᵢ = 0

W = { (x y ) | ax + by = o }

una disposizione è uniforme {f: X → [0,1] t.c. f ∈ A} dove

DEF. COMBINAZIONE LINEARE

con a₁, a₂, …, a_n ∈ ℝ o combinazione lineare dei vettori, V e W: vettore polare:

V = a₁v₁ + a₂v₂

DEF. SPAN

è chiamato sottospazio generato da v₁, …, v_n e si indica con

Span{v₁, v₂, v_n} ed è l'insieme delle combinazioni lineari di v₁, …, v_n:

Span{v₁, v₂} = {a₁v₁ + a₂v₂: a₁ ∈ ℝ}

SISTEMA DI GENERATORI

dato uno spazio vettoriale W e v₁, v₂, …, v_n ∈ V, si dice che l'insieme (v₁, v₂, v_n) è un sistema di generatori per W ⊆ V se ogni elemento w ∈ W è combinazione lineare di (v₁, v₂, v_n)

W = Span (v₁, v₂) ed è una sottospazio di V

dimostrazione:

• w₁ ∈ W: w₁ = αv₁ + βv₂
• w₂ ∈ W: w₂ = β₁v₁ + β₂v₂

w₁ + w₂ ∈ W

w₁ + w₂ = (α₁ + α₂)v₁ + (β₁ + β₂)v₂ → ∈ l

λw₁ ∈ W

Λ(w₁) = {(Λα)v₁ + β(Λα)v₂ → ∈ l}

Corollario 2

• dato V uno spazio vettoriale di dimensione n, allora n vettori linearmente indipendenti sono una base
• nel dimostratilo, basta applicare il IV. Completamento D = n, il motivo bisogna ricordarsiche
  • al minimo, n l. indip., generazioni sono 3 proprieta che si implicano a vicenda
• se conosco la dim V, nel verificare una base devo controllare che il vettur sono indipendenti

Corollario 3

• dato V uno spazio vettoriale di dim n
• allora v₁, …, v_n uguale CV
• se dim numero a₁, …., a_n, se sono sicuramente indipendenti
• dimostrazione
• n vettori
  • se sono l. dipendenti, ok
  • se sono l. indipendenti, per il corollario 2 formano una base di V

ovvero la dimensione di uno spazio è il massimo numero di vettori linearmente indipendenti ed il minimo numero di vettori in un sistema di generatori

Somma e intersezione di sottospazi

dato V sottospazio vettoriale, U, W, CV, due sottospazi vettoriali definiamo

• intersezione: U non U W = {v ∈ V | v ∈ U ⋀ v ∈ W} CV
• somma U + W = {v ∈ V | a ∈ U, w ∈ W ∃ v = a + w} CV

esempio: W₁ + W₂ = R³ devo dimostrare che sono sottospazi

Up (U non W)

• Se vi, vi ∈ U ∪ W ⇒ vi ⊕ vi ∈ U ∧ W₁
• -vi ∈ U ∪ W

Tesi v₁ + v₂ ∈ U non W

Autoci: {v₁ ∈ U il sottospazio v₁ + v₂ ∈ U} _{v1,v2 ∈ U, W} sottospazio v₁+v₂ ∈ W

v₁ ∈ U, v₂ ∈ W appectator, v₁ ∈ U il sottospazio v₁+v₂ ∈ W

v₁ ∈ U, v₂ ∈ W vericato ai → n ∈ U ∪ W n ∈ U ∪ W vericato

A monotamente l'valiamo la v e u, v u ott u se U varicato u

Quindi v₁, v₂ ∈ U non W vi non w v₁ + v₂ ∈ u=U ∧ vi ∈ v₂

• v₁+v₂ ∈ (U ø W) ∈ (U₂+W₁) ∈ {a ∈ U, t>(w) il (w)=w ∈ U ∧W} ∈ liv W

Q ∧ W ∈ F → lvi = F U(a∈U+lwii) (∑(a∈U e)(∑ui∈U)\

Derivata di un polinomio

Esempio fondamentale:

Dato tⁿ e necessario conoscere la derivata prima:

• B = {e₁, ..., t³}
• {d_tⁿ} con dⁿ = dⁿ⁺¹
• {E=1}
• {µ=2}

Ci basta conoscere quanto vale la derivata sui vettori della base B

Nucleo e immagine applicazione lineare

Data T: V -> W, diremo che:

• Nucleo di T: ker(T) = {v ∈ V | T(v) = 0_W}⊆ V
• Sono i vettori dello spazio di partenza che vengono mandati tutti in zero - l'insieme controimmagine del vettore nullo
• Immagine di T: Im(T) = {T(v) | v ∈ V} ⊆ W

Teorema 1

Ker(T) e Im(T) sono sottospazi

1. Ker(T) ⊆ V
• ∀ v₁,v₂ ∈ ker(T) T(v₁) = 0 e T(v₂) = 0
• T(v₁ + v₂) = T(v₁) + T(v₂) = 0 + 0 = 0 ∀ additiva
• ∀ λv ∈ ker(T), T(λv) = λT(v) = λ0 = 0 ∀ omogenea
2. Im(T) ⊆ W
• ω₁, ω₂ ∈ Im(T) (ω₁ = T(v₁), ω₂ = T(v₂))
• ω₁ + ω₂ ∈ Im(T)
• T(v₁ + v₂) = T(v₁) + T(v₂) = ω₁ + ω₂ ∀ additiva
• ∀ ω ∈ Im(T), T(λv), λT(v) : λω ∀ omogenea

Teorema di struttura

Sia v₀ ∈ ℝⁿ una soluzione del sistema lineare Ax=b di m equazioni in n incognite. L'insieme delle soluzioni dell'omogeneo associato avrà la forma v₀+w.

• Insieme soluzioni: {v₀ + w : w ∈ W}
• w è un sottospazio vettoriale (generico)

Dimostrazione

L = V₀ + W. Dimostriamo prima che v₀ + W ⊆ L e poi L ⊆ v₀ + W.

• L = v₀ + W
• Prendiamo x ∈ v₀ + W ∴ x = v₀ + w
• Per HP x = v₀ è soluzione di Ax=b ∴ La(v₀) = bx è soluzione, ovvero La(x) = b
• La(x) = La(v₀ + w) = La(v₀) + La(w) = b + 0 = b

• W ⊆ v₀ + W
• Prendiamo x ∈ L cioè x è soluzione ∴ La(x) = b
• let x = v₀ + w. Allora w = x - v₀Devo verificare che La(w) sia zero
• La(w) = La(x - v₀) = La(x) - La(v₀) = b - b = 0

Quindi, in conclusione: L = x + v₀ + W ⊆ L

Sottospazi affini

Dato uno spazio vettoriale V, un suo sottospazio affine L è un sottoinsieme di V della forma L=v₀+W = {v_d + w : w ∈ W} con v₀ ∈ V e w ∈ V.

• Oss.: L è un sottospazio vettoriale ⇔ v₀ = 0

Quindi, in generale, un sottospazio affine NON è un sottospazio vettoriale, ma è un TRASLATO di un sottospazio vettoriale.

Spazio di giacitura parallelogismo

• Diciamo che W è lo spazio di giacitura di L
• Diciamo che W è parallelo a L (W || L)
• Diciamo che 2 sottospazi affini sono paralleli se hanno lo stesso spazio di giacitura
• Definiamo L = alm L = dim Wdim _Rⁿ g elementi della base