Teoria Geometria

Def. Spazio Vettoriale

è un insieme V in cui sono definite le operazioni di somma e prodotto che soddisfano le seguenti proprietà:

• Associativa ⇒ ∀u, v, ω ∈ V (u+v)+ω = u+(v+ω)
• Elemento neutro ⇒ ∃0 ∈ V: ∀v∈ V 0+v = v+0 = v
• Esistenza opposto ⇒ ∀v ∈ V ∃-v ∈ V: v+(-v) = -v+v = 0
• Commutativa ⇒ ∀u, v ∈ V u+v = v+u
• Distributiva ⇒ ∀λ ∈ ℝ ∀u, v ∈ V λ(u+v) = λu+λv
• ∀λ, μ ∈ ℝ ∀v ∈ V (λ+μ)v = λv+μv
• Associativa ⇒ ∀λ,μ ∈ ℝ ∀v ∈ V (λμ)v=λ(μv)

Esempi:

1. ℝⁿ = {(x₁,..., x_n): x₁,..., x_n∈ℝ}
2. ℝ^mxn(ℝ) = {a₁₁.....a_1ma_m1.....a_mn a_ij ∈ ℝ} insieme delle matrici
3. ℝ[t]: insieme dei polinomi a coeff reali nella variabile t
4. V = {f: X → ℝ} funzioni a valori reali
5. ∅ insieme vuoto in cui sono soddisfatte tutte le proprietà eccetto quella dell’elemento neutro

Def. Sottospazio Vettoriale

Dato uno spazio vettoriale su ℝ, si dice sottospazio vettoriale W ⊆ V, un suo sottoinsieme non vuoto che è chiuso rispetto alla somma e ai prodotti per scalare.

Cioè:

• ∀u, v (u, v) ∈ W → (u+v)∈ W (somma)
• ∀λ ∈ ℝ ∀u ∈ W → λu ∈ W (prodotto)

Condizioni necessarie

1. Il vettore nullo è contenuto in ogni sottospazio vettoriale:

• 0 = ω ∈ W perché è non vuoto k ∈ 0; kω = 0 ∈ W
• 2. Se ω ∈ W allora -ω ∈ W ⇒ λ = -1

Esempio: rette passanti per l’origine del piano cartesiano y = mx

a₁x + b₁y + d₁= 0 b₁ ≠ 0

(^xy) ax + by + 0 y = x -^ba

W = {(^xy) ax + by = 0}

Spazi Vettoriali

Def. Spazio Vettoriale:

è un insieme V in cui sono definite le operazioni di somma e prodotto che soddisfano le seguenti proprietà:

• Associativa → ∀u,v,ω∈V (u+v)+ω=u+(v+ω)
• Elemento neutro → ∃ Θ∈V ∀v∈V v+Θ=v ∧ Θ+v=v
• Esistenza opposto → ∀v∈V ∃ -v∈V v+(-v)=Θ ∧ -v+v=Θ
• Commutativa → ∀u,v∈V u+v=v+u
• Distributiva → ∀λ∈ℝ v,u∈N λ(u+v)=λu+λv ∧ ∀λ,μ∈ℝ v∈V (λ+μ)v=λv+μv
• Associativa → ∀λ,μ∈ℝ v∈V (λμ)v=λ(μv)

Esempi:

• ℝⁿ = {(x₁, x₂, ..., xₙ): x₁, ..., xₙ∈ℝ}
• ℝᵐˣⁿ(ℝ[L]) = ( ...0... ) ; aᵢⱼ∈ℝ (insieme delle matrici)
• ℝ[t] = insieme dei polinomi a coeff reali nella variabile t
• V = {f: X → ℝ} funzioni a valori reali
• ∅= insieme vuoto in cui sono soddisfatte tutte le proprietà eccetto quella dell'elemento neutro

Def. Sottospazio Vettoriale:

Dato uno spazio vettoriale su ℝ, si dice sottospazio vettoriale W⊆V, un suo sottoinsieme non vuoto che è chiuso rispetto alla somma e al prodotto per scalare:

• cioè:
• ∀u,v (u,v ∈ W → u+v ∈ W (somma)
• ∀λ∈ℝ ∀v∈W → λu ∈ W (prodotto)

Condizioni necessarie:

• 1) Il vettore nullo è contenuto in ogni sottospazio vettoriale:
• ω ∈ W perché è non vuoto e 0 - ω = 0 ∈ W
• 2) Se ω∈W allora -ω∈W ⇒ λ=-1
• Esempio: retta passanti per l'origine del piano cartesiano

• W = {(x y); ax+by=0}

def. combinazione lineare

con ced .

def. span

• span
• span

si dice che

• ogni elemento di
• ed è una sottoscalo di

dimostrazione:

LINEARE INDIPENDENZA E INDIPENDENZA

DIPENDENZA

K vettori V₁, V₂ si dicono linearmente dipendenti se esiste una combinazione lineare nulla non banale

cioè ∃α₁, ..., αₖ ∈ ℝ non tutti nulli: α₁V₁ + ... + αₖVₖ = Φ

I vettori sono un dipendenti ⟺ uno è combinazione degli altri.

dimostrazione

→ ∃V: α₁V₁ + tα₂V₂ = Φ con α₁ ≠ 0

α₁V₁ = - α₂V₂ ⟹ -

α₁ Vk

Vk = α_i1 V₁ + - - - - α_k

α₁

← V₁ = β₂V₂ + ... + βₖVₖ ⟹ ⟹ (1) V₁ - β₂V₂ - - - βₖVₖ = Φ

non banale V nulla

INDIPENDENZA

Detto uno spazio vettoriale V, k vettori V₁, ..., Vₖ ⊂ V si dicono linearmente indipendenti se la loro combinazione è nulla e banale

∀α₁, ..., αₖ ∈ ℝ ⟹ α₁V₁ + ... + αₖVₖ = 0 ⟹ α₁, ..., αₖ = 0

BASE DI UNO SPAZIO VETTORIALE

datone uno spazio vettoriale V, un insieme di vettori B ⊆ V si chiama base di V; se