Corso di analisi matematica II
Le successioni {an} ∈ ℝ
Limn→∞ an = l ∈ (-∞, +∞)
Successione di funzioni
{fn}n∈ℕ fn ∈ ℝ
f1, f2, ... fn ...
Le successioni di funzioni
Esempi:
fn(x) = xn m ∈ ℕ x ∈ [0, 1]
f1(x) = x
f2(x) = x2
f3(x) = x3
... fn(x) = xn ...
xn ≤ xn+1
limn→∞ fn(x) = limn→∞ xn = 0 x ∈ [0, 1]
limn→∞ fn(x) = limn→∞ xn = 1 x = 1
limn→∞ fn(x) = { 0 se x ∈ (0, 1) 1 se x = 1 }
Convergenza puntuale
Definizione: convergenza puntuale
fn: I ⊂ ℝ → ℝ
Una successione converge puntualmente se converge punto per punto.
La successione {fn(x)}n∈ℕ converge ∀ x ∈ I ∀n→∞ |fn(x) - f(x)| = 0 ∀ x ∈ C
Lim puntuale della successione:
f: I ⊂ ℝ → ℝ
(∀n→∞ |fn(x) - f(x)| < ε ∀ n ∈ N: n > ∃ n
Esempio
fn(x) = x1/n ∀ ∈ [0,1] ∀n, ∀x,
∃∀n→∞ fn(x) + ∀x→0 = { 0 se x = 0 1 se x ∈[0,1] = f(x)
Convergenza uniforme
Converge uniformemente
Oss. Convergenza uniforme ≠ convergenza puntuale ↔ ∀ x ∈ I
↔ limm→∞ (sup |fm(x) - f(x)|) = 0
fn(x) = xm x ∈ I
limm→∞ x = f(x) = { 0 x ∈ [0, α] 1 α < x ≤ 1 }
limm→∞ xm x = 0 ∀ x ∈ [0, α]
limnsup xm = sup xm = 1 e=0
metro x ∈ E con E ∈ r+ e 0 ≤ x ≤ 1
fn → 1 sn = fn o xn ≤ x
Definizione convergenza uniforme:
fn → f uniformemente ↔ limnsup |fn(x) - f(x)| = 0
m → +∞
∇²x∈Efn(x) = xm x∈ ∈ 0 10 2x∈∈ 0 1
f(x)= {1 ∈ x∈1
Teorema 1: continuità del limite di una successione di funzioni
H 1 { fn : I →β continuo in I
fn → f uniformemence
T 1 } f I →β continua
Dimostrazione
∀x∈E lim |fn(x) = f(x)|
f → lim __|lim fn(x)|
m→+∞∈ x∈E m→+∞
limx→x0fn(x) = limx→x0fn(x)= limx→x0 (fn(x)
=∀E>0\(E≥0).
∀ ∈f0 continuain .Bs&o x-x0L E7.
∀E&e= E∧ ∈, ∀, ∈Eanzion f ∈L f0(x) gli x Ef0 continuo . Bs,o|x-x0|.
fn(x) e la numerazione (3→fn ∈ .B)
lim (f0 (d | fn (x)| ≠ | fn (x) - fn(x)|__ ∈ fn ≐. ∈ dice o xH
lim (fn(x-x0))I &lope; enforcendo la dei frequenza≤ÿ frelede 3
Conclusione
|x - x₀| < ε
|f(x₁ - f(x₀)| < 3ε
Abbiamo ottenuto, Perciò, il contenuto finale teorema di Cauchy
Se ∀ε > 0 . ∀n ∈ ℕ ∃m ≥ ∀ε ⇒ |aₙ - aₘ| < ε{aₙ} ⇔ {aₙ} . . . . . . . .(2)
Abbiamo la puce di C. se {fₙ} converge.
Criterio di convergenza uniforme di Cauchy:
f: I ⊆ D ⊕ → converge uniformemente a f ↔:
∀ε > 0 ∃N ∈ ℕ ∀m,n ≥ ∀ε ∀ε ⇒ |fₙ(x) - fₘ(x)| < ε∀x ∈ I.
Dimostrazione
1) fₙ → f uniformemente
TH {valle} ⑤fₙ → uniformemente ⑤
Per la convergenza uniforme ∃x₀ ∃y ∈ ε : m ≥ yε ⇒ |aₙ(x₁) - f(x₁)| < ε∀x ∈ I-m,n ≥ ∀ε ⇔ |fₙ(x₁) - fₘ(x₁) . . . . . . . < 2ε|fₘ(x₁) - f(x₁) ≦ |fₙ(x₁) . . . . . . < 2ε⑤ ⇒ fₙ → f uniformemente ∃x ∈ I - {a} ⇔ ⑤ dicel cúc fe . . . . .{fₘ(x₁)?} ε
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