Analisi matematica II - Parte 2: teoria ed esercitazioni

Campi conservativi e integrali di linea

I campi conservativi sono importanti per due motivi: se F è conservativo F=∇U, lo studio dei campi conservativi vettoriali F può essere riportato allo studio, più semplice, della funzione scalare U, e infine e in più ritrovare il campo conservativo vettoriale prendendo il gradiente del potenziale; l'integrale di linea di un arco su un campo conservativo dipende solo dagli estremi ed è indipendente dal cammino.

Teorema fondamentale dei campi conservativi

Sia F: D⊂ℝ^m→ℝ^m F continuo e conservativo su un aperto Ω⊂D, U un potenziale di F su Ω, γ un arco di curva semplice regolare (a tratti) contenuta in Ω di estremi A, B. Allora:

∫_γF·dγ=U(B)−U(A)

Se U è un potenziale di F su Ω ⇒ ∀K∈ℝ, U+K è un potenziale di F su Ω. Se U, V sono due potenziali di F su Ω, se Ω è connesso (per archi), allora differiscono per una costante (∃K∈ℝ: V−U=K).

Sia F: D⊂ℝ^m→ℝ^m continuo su un aperto Ω⊂D. Sono condizioni equivalenti:

• F è conservativo su Ω;
• Se γ, γ' sono due archi con sostegno c∈Ω semplici regolari di estremi coincidenti, ∫_γF·dy=∫_γ'F·ds;
• Se γ è un arco chiuso contenuto in Ω semplice regolare, allora ∫_γF·dy=0.

Rotore e campi conservativi

Un aperto Ω⊂ℝ^m→ℝ^m si dice semplicemente connesso se ogni arco con sostegno contenuto in esso può essere deformato con continuità fino a ridurlo a un punto rimanendo sempre interno ad Ω.

Teorema di riconoscimento dei campi conservativi

Sia F: D⊂ℝ^m→ℝ^m (m=3 o m=2), Ω⊂D aperto semplicemente connesso.

Campi conservativi e integrali di linea

I campi conservativi sono importanti per due motivi: se F è conservativo F=∇U, lo studio dei campi conservativi vettoriali F può essere riportato allo studio più semplice della funzione scalare U, e infine si può ritrovare il campo conservativo vettoriale prendendo il gradiente del potenziale; l'integrale di linea di un arco su un campo conservativo dipende solo dagli estremi ed è indipendente dal cammino.

Teorema fondamentale dei campi conservativi

Sia F: D ⊂ ℝ^m → ℝ^m F continuo e conservativo su un aperto Ω ⊂ D. U un potenziale di F su Ω e γ un arco di curva semplice e regolare (a tratti) contenuto in Ω di estremi A, B. Allora:

∫_γ F · dy = U(B) - U(A)

Se U è un potenziale di F su Ω ⇒ ∀k ∈ ℝ, U+k è un potenziale di F su Ω. Se U, V sono due potenziali di F su Ω, se γ, γ´ connessi (per archi), allora differiscono per una costante ∃k ∈ ℝ: V - U = k

Sia F: D ⊂ ℝ^m → ℝ^m continuo su un aperto Ω ⊂ D. Sono condizioni equivalenti:

• F è conservativo su Ω;
• Se γ, γ´ sono due archi con sostegno Ω semplici regolari di estremi coincidenti ∫_γ F · dy = ∫_γ´ F · ds;
• Se γ è un arco chiuso contenuto in Ω semplice regolare allora ∮_γ F · dy = 0.

Robore e campi conservativi

Un aperto Ω ⊂ ℝ^m → ℝ^m si dice semplicemente connesso se ogni arco con sostegno contenuto in esso può essere deformato con continuità fino a ridursi a un punto rimanendo sempre interni ad Ω.

Teorema di riconoscimento dei campi conservativi

Sia F: D ⊂ ℝ^m → ℝ^m (m = 3 o m = 2), Ω ⊂ D aperto semplicemente connesso ⇒ L := f(x,y,o) F ∈ C¹(Ω) allora F conservativo su Ω ⇔ F irrotazionale su Ω.

Sia F : D ⊆ Rⁿ → Rⁿ F ∈ C¹(Ω) Ω ⊆ D semplicemente connesso, F(x,y,0) : F1(x,y,0), F2(x,y,0) F conservativo su Ω ⇔ ∂F₂/∂x = ∂F₁/∂y ∀P(x,y) ∈ Ω ESF(x,y) = ( -y/(x²+y²) , x/(x²+y²) ) F : D ⊆ R² → R³ D : R² \ l'asse z Dim. F : R² \ {(0,0)} Non è conservativo su R² \ {(0,0)} F conservativo su Ω ⇔ ∮_y F^⏌ dy = 0 F = ( -y/(x²+y²) , x/(x²+y²) ) ⇒ ∮_y F^⏌ dy ≠ 0 NON CONSERVATIVO x' = y ; x y' = -1 ∫ F(t) , j'(t) dt = ∫ ( -sen t, cos t ).