Analisi matematica II - Parte 2: teoria ed esercitazioni

Campi conservativi e integrali di linea

I campi conservativi sono importanti per due motivi:

• se _F è conservativo _F = ∇U, lo studio dei campi conservativi vettoriali _F può essere riportato allo studio, più semplice, delle funzioni scalare _U e infine si può ritrovare il campo conservativo vettoriale prendendo il gradiente del potenziale;
• l'integrale di linea di un arco su un campo conservativo dipende solo dagli estremi e indipendente dal cammino.

Teorema fondamentale dei campi conservativi

Sia _F : _Ω ⊆ ℝ^m → ℝ^m F continuo e conservativo su un aperto _Ω ⊆ _D. U un potenziale di _F su _Ω e _γ un arco di curva semplice e regolare (a tratti) contenuta in _Ω di estremi _A, _B. Allora:

∫_{γ F} • _dy = U(_B) - U(_A)

Se u è un potenziale di f su _Ω ∀_k∊ℝ, u⋅_k è un potenziale di _F su _Ω

Se u,v sono due potenziali di _F su _Ω se ∩( : ) è connesso (per archi), allora differiscono per una costante (∃_K∊ℝ : V-U=K)

Sia _F : _D ⊂ ℝ^m → ℝ^m continuo su un aperto _D ⊂ _D Sono condizioni equivalenti:

• _F è conservativo su _Ω ;
• se _γ ,δ sono due archi con sostegno _{⊂ Ω} semplici regolari di estremi coincidenti ∫_{γ F} • _dy = ∫_{δ F} • _ds ;
• se _γ è un arco chiuso e contenuto in _Ω semplice regolare allora ∫_{γ F} • _dy = 0 ;

Ritore e campi conservativi

Un aperto _Ω ⊂ ℝ^m se ogni arco con sostegno contenuto in esso può essere deformato con continuità fino a ridursi a un punto rimanendo sempre interno ad _Ω

Teorema di riconoscimento dei campi conservativi

Sia _F : _Ω ⊂ ℝ^m → ℝ^m (_m=3 o _m=2) _Ω un aperto semplicemente connessoL⋅_f(x,y,0)

F ∈ C¹(Ω), allora F conservativo su Ω ⟺ F irrotazionale su Ω

Su F: D ⊆ ℝⁿ=ℝ² F∈C¹(Ω) Ω ⊆ D semplicemente connesso, F:(x,y,z):F_xF_yF_z

∀ P(x,y)∈Ω

ES

F(x,y)=(−∂u/∂y, ∂u/∂x) F: D ⊆ ℝ²→ℝ³

D: ℝ \ {asse z}

Dem: F ²∈ℝ \ {0,0}

Non è conservativo su ℝ \ {0,0} ⟹∮_FFd_γ≠0

Non conservativo

Ricostruzione del potenziale

1) Metodo delle integrazioni parziali

Per n=2 si cerca U(x,y) : ∇U = F cioè :

∂U(x,y)/∂x = F₁(x,y)

Si inizia imparando ∫∂U(x,y)/∂x=∫f₁(x,y)dx

∂U/∂s = F₂(x,y)

Se m ⩾ 2 si opera in modo analogo con m-1 integrazioni parziali

2) Uso del Teorema Fondamentale del Campo Conservativi

Su F conservativo su Ω connesso "{ "P₀ e A \neq B" }"

si sceglie un cammino comodo γ ≡ che congiunge p con P(x₁, ...,x_m)

∮_γF.d_γ

Bordo

Superficie D regolare chiusa su Σ : 1m (σ ). Il bordo di Σ è l'insieme dei punti

di frontiera di Σ

Superfici regolari

• La superficie è regolare se:
• σ è iniettiva
• σ ∈ C¹ ∀ D
• la matrice jacobiana J_σ ha rango 2 in ogni P ∈ D

ES

• σ (u,v) = (u + 2 , u² 3u + 2 , 1 + u - v)

J_σ = ²/₃ v ²/₃ (v)

→ superficie regolare

ES

• x = u
• y = u
• z = f (u,v)

J_σ = ^{1 0 0 1}

→ F ∈ C¹ sono definite

• ¹
• ⁰
• df/du df/dv

ES

• σ (u,v) = (u cos v , u sen v , u )

z = x ² + y

J_σ = ^{cos v - u sen v sen v u sen v 1 0}

• u ∈ [0,π],
• v ∈ [0,2=π]

con u = 0 → rk ≠ 1

NON REGOLARE nel vertice

M = ∫ |V|₂ dσ = 2 ∫ V₂ d v dσ = ∫₀^π ∫_-y^y {{1}} d ϕ d y , z = - π/8√2

II) V₂

Massa su superfici

Massa di S M = ∬ M (x,y,z) dσ

Baricentro dS E : x₂ = 1, 2, 3

Momento di inerzia rispetto O: I_Ro = ∫ ||B-Po|| ρ(x,y,z) dσ

[(x-xo)²+(y-yo)²+(z-zo)²] / dσ(x,y,z)

E₃

Integrazione di flusso

se una calotta M : A ʃ b da =

M = 1,2 Area = ʃ 2 abar

ȳ = E = 12π√2

ǜ=π/2 لـ ȳθ

F = f(0_o,u,v) - N(w,o,v) da d v O

otteniamo

cederemo ∫ ( F ( ں,w,n,ŋ )) * ‫ الٮحید ,

camp: il camp del al pliano่าวาลา da d Θ

Serie geometrica

Di ragione q la serie ∑_n=0 a_n = 1 + q + q² + ... + q^m

Mettiamo insieme tutti i casi:

∑_n=0 a_n = 1 + q + q² + ...

• Converge se -1 < q < 1: S = ¹/_1-q
• Diverge se q ≥ 1
• È indeterminata se q = -1

Esempio

∑n=0 1/(-1n)2 1 converg. |q|<1 div. q≤-1

• Converge se -1 < x < 1
• Diverge se -1 ≥ x ≠ 0
• S = ?
• S = ¹/_1-x = ¹/₂I^{x = 1/₂>}
• q = ¹/₂ (c = ¹/_n) ^{x = 1}> 0 &sub
• S = ?
• S = ¹/_1-x = ¹/_-x = ¹ = -¹ = o
• S = ⁹/₁₀, x = -9/10 ¹ - ⁹/₁₀ -

ES

∑ (√n - 1)ⁿ

lim_n→∞ (√n - 1)^1/n

lim_n→∞ (√n - 1)^1/n = 1

lim_n→∞ a_n/_n = e^-1 × logn → e⁰ = 1

ES

∑₃ⁿ⁺¹/nⁿ

lim_n→∞ 3ⁿ⁺¹/(n⁺¹)ⁿ × nⁿ/3ⁿ

= (n/(n+1))ⁿ × 3/1

lim_n→∞ 3 × (n/(n+1))ⁿ = 3n/(n+1)

= 3/1

33 lim_n→∞ (n/n+1)ⁿ

lim_n→∞ = 1/e = 3/e

= 3/e > 1 diverge

Criterio integrale di MacLaurin

Sia f: [1, ∞ )→ℝ positiva, continua decrescente

Sia f(n) = a_n. Allora la serie ∑ a_n e l'integrale improprio ∫₁^∞

|f(t)| dt oppure

Va stesso comportamento

In particolare:

• Se ∑ a_n ≤ S allora S - a_n1 ≤ ∫_nⁿ⁺¹ f(x) dx ≤ S f(x) dx
• Se R_n = S - S_n allora ∫_n+1^∞ f(t) dt ≤ R_n ≤ ∫_n^∞ f(x) dx