Analisi Matematica II - Parte 1: teoria ed esercitazioni

CURVE NOTE VOLI E LE LORO RAPPRESENTAZIONI CARTESIANE

Equazione di una conica

Una equazione f(x,y)=0 dove f è un polinomio di secondo grado, definisceuna conica. L'equazione generale si scrive:

A₁₁x² + 2A₁₂xy + A₂₂y² + 2A₁₃x + 2A₂₃y + A₃ = 0

Alla conica si associano le matrici A = [A_hk] (h,k = 1,2,3) e A' = [a_hk] (h,k = 1,2)A' è la matrice della forma quadratica associata.

Scegliendo un opportuno sistema di coordinate cartesiane, l'equazione sipuò scrivere anche:

i)      αx² + βy² = γii)     αλx = 2δyiii)    βμy = 2δx

Una conica così scritta si dice in forma canonica.

Ellisse - Circonferenza

L'ellisse è una curva piana di equazione αx² + βy² = γ con α,β > 0.

Se a=b: R, l'equazione dell'ellisse diventa:

x² + y² = R², circonferenza di centro O e raggio R.

Se il centro è C(x₀,y₀) l'equazione diventa:

(x - x₀)²/a² + (y - y₀)²/b² = 1

Iperbole

L'iperbole ha equazione αx² - βy² = γ con αβ < 0.

Le rette y = ±(b/a)x sono gli asintoti.

Se a=b l'iperbole è equilatera, gli asintoti sono lebisettrici degli assi.

Se il centro è C(x₀, y₀) l’eq. diventa:((x-x₀)²) / a² + ((y-y₀)²) / b² = 1

Parabola

• Parabola ad asse orizzontale βy² = 2yx Se il vertice è V(x₀, y₀): β[(y-y₀)²] = 2y(x-x₀)
• Parabola ad asse verticale αx² = 2δy Se il vertice è V(x₀, y₀): α[(x-x₀)²] = 2δ(y-y₀)

Piani nello spazio

Ogni equazione polinomiale di primo grado nelle variabili (x, y, z)ax + by + cz + d = 0è l’equazione di un piano ortogonale al vettore v = ai + bj + ck

• Piano (Oxy): z = 0
• Piano (Oxz): y = 0
• Piano (Oyz): x = 0
• Piano // piano(Oxy): z = K
• Piano // piano(Oxz): y = K
• Piano // piano(Oyz): x = K
• Piano // asse x: by + cz + d = 0
• Piano // asse y: ax + cz + d = 0
• Piano // asse z: ax + by + d = 0

T: { (x,y,z) ∈ ℝ³ : z = e^y }

CONI

Cono di vertice V e direttrice la linea l: è il luogo delle rette convergenti V con i punti di l. Sono superfici rigate.

Coni di vertici 0 hanno equazioni f₀(x,y,z) = 0 dove f₀ è un polinomio omogeneo in x,y,z (omogeneo fanno tutti lo stesso grado).

Coni di vertici V=(a,b,c) : f₀(x,y,z) = 0 dove f₀ è un polinomio omogeneo m

x = x₁ - a, y = b, z = c

ES

x³ - 2√3• 7xz² + 4(x,y,z) = 0 è un cono

Coni quadrici

La linea direttrice è una conica.

x²/a² + y²/b² - z²/c² = 0

ES

{ (x,y,z) ∈ ℝ³ : x² + y² - z² = 0 }

Sezioni

z=0          x² + y² = 0          origine

z=1          x² + y² = 1          circ. di raggio 1

z=2          x² + y² = 4          circ. di raggio 2

y=0                z= x²

                             x = √z

Linee di livello

F : D ⊆ ℝ² → ℝ

L_K = curva di livello k

Dati c ∈ ℝ, f : D ⊆ ℝ² → ℝ curva di livello c sse F è l'insieme delle controimmagini

f^-1({c}) = {x ∈ Dom(f) : f(x, y) = c}

Es: f(x, y) = x² + y² curva di livello

Topologia in ℝ^m

Intorno di centro P₀ e raggio r:

B_r(P₀) = {P ∈ ℝ^m : d(P, P₀) < r}

Intorno forato di centro P₀ e raggio r

B_r^*(P₀) = B_r(P₀) / {P₀}

Intorno del punto all'infinito di estremo inferiore r:

B_r(∞) = {P ∈ ℝ^m : d(P, O) > r}

Distanza tra due punti P(x₁, ..., x_n) & Q(y₁, ..., y_m) : √[(y₁ + x₁)² + ... + (y_m - y₁)²]

Norma ∥(x₁, ..., x_n)∥² = x₁² + ... + x_m²

Prodotto scalare euclideo (x₁, ..., x_m)(y₁, ..., y_m) = x₁y₁ + ... + x_my_m

Punti in ℝ^m

Dati il sottoinsieme A ⊆ ℝ^m e il punto P₀ ∈ ℝ^m

P₀ si dice interno ad A se ∃ un intorno I di P₀ tutto contenuto in A

Int(A) = {P ∈ ℝ^m : P ∈ interno ad A} ⊆ ℝ

P₀ si dice esterno ad A se ∃ un intorno I di P₀ tutto contenuto in ℝ^m

Ext(A) = {P ∈ ℝ^m : P ∈ esterno ad A} = Int(ℝ^m / A)

f : D ⊂ E ² → R - D illimitato

lim _p→p0 f(p) = ∞

∀M ∈ R ⇒ ∃B(p₀ ) 0 | _r ⇒ f(p) > M

lim _p→p0 f(p) = -∞

∀M ∈ R ⇒ ∃B(p₀ ) 0 | _r ⇒ f(p) < M

Teoremi sui limiti per f : D ⊂ E|R → R|)

• Teorema di unicità del limite
• Limite della somma, prodotto e quoziente
• Teorema di permanenza del segno lim _p→p0 f(p) = ℓ, f(p) ≥ 0, R B(p₀) ∀p∈B(p₀) ⇒ f(p) ≥ 0
• Teorema del confronto lim _p→p0 f(p) = ℓ, lim _p→p0 g(p) = m, ℓ = m ∃B(p₀) ∀p∈B(p₀) ⇒ f(p) ≤ g(p)

ES

f(x,y) = e ^-x2y

| x | = 0

| x | = p ^-1/2, z : y ≤ 0;

∀ ε > 0, ∃ r > 0 : | p-l |, _r ⇒ | e ^-x2y | < ε

e ^-x2y | < ε

-x ² y < log ε

x ² | y | > - log ε, log ε : log _a ε

a ^-x2y ∈ (0,1) = p ( ε )

r = log _a ε

ES

lim _p→∞ ( x^-1, y) = ∞

(0,0)

f(x,y) = x^-1, p ∞

| x^-1

| z | = x^-1y

p → 0, l < ε

F(x,y) > M

| ∀ x^-1 y |

| x^-1

(0) (1) |

x^-1(x^-1 | z | < ε, A < ε

S₁ = M

S₂ = M

- punti esterni alla circonferenza a quota M cadranno sotto rami.

Simplificato geometrico delle derivate parziali di f: D⊂R²→R

• f_x(P_o):
  • La tangente trigonometrico dell'angolo che forma con il piano (0,y) la rete tg della curva intersezione di Graf(f) con il piano y=y_o passante per P_o ortogonale all'asse y.
• f_y(P_o):
  • La tangente trigonometrico dell'angolo che forma con il piano (x,0) la rete tg della curva intersezione di Graf(f) con il piano x=x_o passante per P_o ortogonale all'asse x.

f(x,y)=xe^xy

A=(z,0)

• f_x(A)=lim_t→0 [f(z+t,0) - f(z,0)] / t = z + t/2 = 1
• f_y(A)=lim_t→0 [f(z,0+t) - f(z,0)] / t = 2et - 2 = 2e_t=1 - 2

ES

f(x,y)=|x-y|

O(0,0)

A(1,-1)

f_x(O)=lim_t→0 f(t,0) - f(O,0) / t = 1

lim A(1,-1)

f_y(O)=lim_t→0 f(0,t) - f(O,0) / t = 1

Derivata parziale rispetto a x di f: D⊂R²→R

La derivata parziale rispetto ad x in P_o è la derivata in x_o della funzione della sola variabile x→F(x,y_o) fissando y=y_o.

Derivata parziale rispetto a y di f: D⊂R²→R

La derivata parziale rispetto ad y in P_o è la derivata in y_o della funzione della sola variabile y→F(x_o,y) fissando x=x_o.