Analisi Matematica II - Parte 1: teoria ed esercitazioni

Curve notevoli e le loro rappresentazioni cartesiane

Equazione di una conica

Una equazione f₂(x, y)=0, dove f₂ è un polinomio di secondo grado, definisce una conica. L'equazione generale si scrive:

a₁x² + a₂y² + 2a₃xy + 2a₄x + 2a₅y + a₆ = 0

Alla conica si associa la matrice A = (a_hK) (h, k = 1, 2, 3) ➡ A²: (a_hK) (h, k = 1, 2) ➡ A è la matrice della forma quadratica associata.

Scegliendo un opportuno sistema di coordinate cartesiane, l'equazione si può scrivere anche:

1. αx² + βy² = γ
2. αx = 2δy
3. βy = 2δx

Una conica così scritta si dice in forma canonica.

Ellisse - Circonferenza

L'ellisse è una curva piana di equazione αx² + βy² = γ, con αβ > 0.

x²/^a2 + y²/^b2 = +1 (1 a punti reali) (-1 a punti immaginari)

Se a = b = R, l'equazione dell'ellisse diventa:

x² + y² = R², circonferenza di centro O e raggio R.

Se il centro è C(x_o, y_o), l'equazione diventa:

(x-x_o)²/a² + (y-y_o)²/b² = +1

Iperbole

L'iperbole ha equazione αx² - βy² = γ, con αβ < 0.

x²/^a2 - y²/^b2 = -1

Le rette y = ±(b/a)x sono gli asintoti.

Se a = b l'iperbole è equilatera e gli asintoti sono le bisettrici degli assi.

Equazione di una conica

Una equazione f₂(x,y)=0, dove f₂ è un polinomio di secondo grado, definisce una conica. L'equazione generale si scrive:

a₁₁x² + a₂₂y² + 2a₁₂xy + 2a₁₃x + 2a₂₃y + a₃₃=0

Alla conica si associa la matrice A=(a_hk) (h,k=1,2,3) ➡ A = (a_hk) (h,k=1,2) ➡ A è la matrice della forma quadratica associata.

Scegliendo un opportuno sistema di coordinate cartesiane, l'equazione si può scrivere anche:

1. αx′² + βy′² = γ
2. αx′ = 2δy′
3. βy′ = 2εx′

Una conica così scritta si dice in forma canonica.

Ellisse - Circonferenza

L'ellisse è una curva piana di equazione αx² + βy² = γ con αβ>0.

x²/a² + y²/b² = ±1 (1 a punti reali -1 a punti immaginari)

Se a=b: R, l’equazione dell’ellisse diventa:

x² + y² = R²; circonferenza di centro O e raggio R.

Se il centro è C(x_o, y_o), l’equazione diventa:

(x-x_o)²/a² + (y-y_o)²/b² = -1

Iperbole

L’iperbole ha equazione αx² - βy² = γ con αβ<0.

x²/a² - y²/b² = 1

Le rette y=±(b/a)x sono gli asintoti.

Se a=b l'iperbole è equilatera e gli asintoti sono le bisettrici degli assi.

Se il centro è C(x_o, y_o), l'eq. diventa:

(x - x_o)²/a² + (y - y_o)²/b² = +1

Parabola

Parabola ad asse orizzontale

βy² = 2γx

Se il vertice è V(x_o, y_o):

β(y - y_o)² = 2γ(x - x_o)

Parabola ad asse verticale

αx² = 2σy

Se il vertice è V(x_o, y_o):

α(x - x_o)² = 2σ(y - y_o)

Piani nello spazio

Ogni equazione polinomiale di primo grado nelle variabili (x, y, z) ax + by + cz + d ≤ 0 è l'equazione di un piano ortogonale al vettore v = ai + bj + ck

• Piano (xy)   :   z = 0
• Piano (0xz)   :   y = 0
• Piano (Oyz)   :   x = 0
• Piano // piano(Oxy)   :   z = k
• Piano // piano(Oxz)   :   y = k
• Piano // piano(Oyz)   :   x = k
• Piano // asse x   :   by + cz + d ≤ 0
• Piano // asse y   :   ax + cz + d ≤ 0
• Piano // asse z   :   ax + by + d ≤ 0

Retta nello spazio

Dati P₀ ∈ ℝ³ e v∈V₃, la retta r passante per P₀ e parallela a v.

Se P₀ = (x₀, y₀, z₀) e v = li + mj + nk, allora r: