Teoria di analisi matematica II

Lezione 1 - 9 marzo

Argomento: le curve

Qual è il problema? Descrivere un punto materiale che si muove nello spazio, ossia in _R³ oppure nel piano, _R².

es. _R² = punto che si muove nel piano e di qui si voglia descrivere la traiettoria; da quale esiste funzione del tempo P(t).

Considerando un intervallo di tempo compreso tra a e s:

• t ∈ [a,s]
• all'istante iniziale avrò P(a)
• all'istante finale avrò P(s)

Dal momento che P(t) = (x(t), y(t))

Non è possibile descrivere questa esperienza tramite un'equazione esplicita delle funzioni piene.

Se considero le tempo t0, una retta verticale incontra due volte la traiettoria e questo contraddice la definizione stessa di funzione.

l'intervallo di tempo a,s, è un sottostante di _R, quindi t ∈ [a,s] ⊂ _R

Penso ad una funzione e^c, che al tempo t associa x(t), y(t)

• τ(t) ⊂ _R
• x(t), y(t) _R²

Allora la definizione di curva è

"funzione che a un parametro t della retta reale associa

un vettore (x(t), y(t)) in R²."

Se vado nello spazio R³

c: [a,b] ⟶ R³

t ⟶ x(t), y(t), z(t)

τ(t) = P(t) = (x(t), y(t), z(t))

= x(t) î + y(t) ĵ + z(t) k̂

dove:

c(a) viene detto punto iniziale

c(b) " punto finale

Dato un intervallo I ⊆ R chiamiamo curva continua o cammino

in R² o R³ una funzione

τ: I ⟶ R²

continua, ossia se τ(t) = (x(t), y(t)) allora

le componenti

x: I ⟶ R ∀

y: I ⟶ R ∀

sono tutte continue

Riassumendo:

c è continua se x, y: I → R sono continue cioè

lim_{t → t₀} x(t) = x(t₀) lim_{t → t₀} y(t) = y(t₀)

DEF: CURVA SEMPLICE

Una curva si dice semplice se non si interseca.

Non deve succedere:

non è semplice

• (t) = (x(t), y(t))

  x(t) = t²

  y(t) = 0

t ∈ [-1, 1]

• (0) = 0,0
• (1) = 1,0
• (-1) = 1,0 coincido

Curva non semplice ( si interseca dappertutto) chiusa ((t=1)=(t=1))

DERIVATA

• Sia (t) = (x(t), y(t), z(t)) una curva

  Diciamo che è derivante se le sue componenti sono semplicemente derivanti cioè:

  x: I→ℝ y: I→ℝ z: I→ℝ

  sono derivanti

  Quindi '(t) = x'(t), y'(t), z'(t)

Esempio:

• (t) = { t² cos(t) derivata

  '(t) = { 2t -sen(t) derivata

  ho derivato le singole componenti

Volendo calcolare il vettore tangente

r^'(θ) = (cosθ - θsenθ , csenθ + θcosθ)

x'                                 y'

= (cosθ - θsenθ , senθ + θcosθ)

‖r^'(t)‖ = √[ c² (cosθ - θsenθ)² + (senθ + θcosθ)² ]

= √[c²(1 + θ²)] = c√1+θ² > 0

⇒

LA SPIRALE DI ARCHIMEDE È UNA CURVA REGOLARE.

ds <−> √ [(x'(t)dt)² + (y'(t)dt)²]

ds = √ [x'(t)² + y'(t)²] dt

Quindi:

∫_γ g ds = ∫_a^b g(x(t)) ||x'(t)|| dt

Esempio: calcolo el integrale di g(x,y) = x² + y² sul semicerchio γ di estremi (1,0) (-1,0).

f: R² → R_v.s.

f(x,y) = y_es.

definito   su   tutto   R²

sulla sua scrittura

Vogliamo restringere la funzione alla curva semicerchio (1,0) (-1,0)

Come parametro γ?   r(t) = \begin{cases} cost = x(t) \\ sent = y(t) \end{cases} t ∈ [0, π]

f(r(t)) = (cos t)² + (sen t)² = cos²t + sen²t = 1

Per calcolare l'integrale: ∫_γ g ds = ∫_a^b g(x(t)) ||x'(t)|| dt

x'(t) = -sen t, cos t

||x'(t)|| = √[(- sen t)² + (cos t)²] = 1

∫_γ g ds = ∫₀^π 1 . 1 . dt = [t]₀^π = π

f(c₂(t)) = 2cos t + 4cos t

c'₂(t) = -2cos t, 2cos t

||c'₂(t)|| = √(4cos²t + 4cos²t) = √8 = 2√2

∫_c2 f = ∫₀^3/4π (2cos t + 4cos t) 2 dt

= 4[∫₀^3/4π cos t dt] + 4⋅2[∫₀^3/4π -cos t dt]

= 4√2 + 4⋅(√2_3/4π + 1) = 4√2 + 8(√2 + 1) = 12√2 + 8

∫_c3 f = ∫₀^√2 f(-t, t) ||c'₃(t)|| dt

f(c₃(t)) = -t + 2t

c'₃(t) = -1, +1 ⇒ ||c'₃(t)|| = √((-1)² + (1)²) = √2

= ∫₀^√2 (-t + 2t)√2 dt

∫₀^√2 √2t dt = [^√2/₂ t²]^√2₀ = √2

∮_C ∫ f ds = √2 + 12√2 + 8 + 2 = 18√2 + 10

\(\frac{1}{8} \int_0^1 (3t^2(t+1)) 3(2t^2+1) \, dt = \frac{23}{160}\)

\(\frac{1}{8} \int_1^2 (3t(t+1)) 3(2t^2+1) \, dt = \frac{1137}{1680}\)

9) Calcolare la massa e le coord. baricentro della linea materiale

di un'equazione

\[ \gamma(t) = \cos t, \sin t, t \quad t \in [0, 2\pi] \]

Sapendo che la sua densità lineare vale

\( \delta (x, y, z) = z \)

\( \gamma'(t) = -\sin t, \cos t, 1 \)

\( ||\gamma'(t)|| = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + 1} = \sqrt{2} \)

\( \delta (\gamma(t)) = t \)

\( m = \int_{s} \delta ds = \int_0^{2\pi} t \sqrt{2} \, dt = \sqrt{2} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^{2\pi} = 2\sqrt{2}\pi^2 \)

Le coord. baricentro

\( x = \frac{1}{m} \int_s x \, \delta \, ds = \left[ \int_0^{2\pi} \cos t \, t \sqrt{2} \, dt \right] \frac{1}{2\sqrt{2}\pi^2} \)

\( x = \frac{1}{2\pi^2} \left[ t \sin t + \cos t \right]_0^{2\pi} = 0 \)

\( y = \frac{1}{m} \int_s y \, \delta \, ds = - \frac{1}{2\sqrt{2}\pi^2} \int_0^{2\pi} \sin t \, t \sqrt{2} \, dt \)

\( = \frac{1}{2\pi^2} \left[ -t \cos t + \sin t \right]_0^{2\pi} = -\frac{1}{\pi} \)

\( z = \frac{1}{m} \int_s z \, \delta \, ds = \frac{1}{2\sqrt{2}\pi^2} \int_0^{2\pi} t \cdot t \sqrt{2} \, dt \)

\( = -\frac{1}{2\pi^2} \left[ \frac{t^3}{3} \right]_0^{2\pi} = \frac{8}{3\pi} \)

Cioè se _{t → t0} lim f(x(t)) = l

Questo non implica che _{(x,y) → x0,y0} lim f(x,y) = l

Questo teorema si usa per mostrare che una funzione

Esempio:

f(x,y) = ^x2⁄_x²+y²

Dom f = ℝ² \ {0,0}

\:

lim _{(x,y) → (0,0)} ^x2⁄_x²+y²

Primo di calcolarlo analiticamente che è sempre un po’ ostico,

vedo se esiste tramite solite curve

Prendo rette passanti per l’origine y=mx

f ristretto alla retta y=mx diventa

f(x,mx) = ^x2⁄_x²+m²x²

lim _{x → 0} f(x,mx) = lim _{x → 0} ^x2⁄_x²(1+m²) = lim _{x → 0} ¹⁄_1+m²

Esiste quindi il limite? Il limite non esiste perché il

risultato dipende da m