Teoria di analisi matematica II

Lezione 1 - 9 marzo

ARGOMENTO: le curve

Qual è il problema? Descrivere un punto materiale che si muove nello spazio, ossia in ℝ³ oppure nel piano, ℝ²

es. ℝ² → punto che si muove nel piano e di qui si vuole descrivere la traiettoria. La quale sarà funzione del tempo. P(t)

Considerando un intervallo di tempo compreso tra a e b

• t ∈ [a,b]
• all'istante iniziale avrò P(a)
• all'istante finale avrò P(b)

Dal momento che P(t) = ( x(t), y(t) )

è funzione del tempo

Non è possibile descrivere questa esperienza tramite le equipazioni delle funzioni perché...

passando alle varie ordinate

...se considero il tempo t₀, una retta verticale incontra due volte la traiettoria e questo contraddice la definizione stessa di funzione

L'intervallo di tempo a,b è un sottoinsieme di ℝ, quindi

τ ∈ [a,b]⊂ℝ

Penso ad una funzione τ, che al tempo t associa x(t), y(t)

τ(t) ⊂ ℝv attraverso τ x(t), y(t) [ ℝv² ]

y(t)y(a)

x(a) x(t)

Lezione 1

9 marzo

ARGOMENTO le curve

Quale è il problema? Descrivere un punto materiale che si muove nello spazio, o in oppure nel piano,

es. punto che si muove nel piano ed qui si vuole descrivere la traiettoria, la quale sarà funzione del tempo.

Considerando un intervallo di tempo compreso tra a e b

• all'istante iniziale avrò
• all'istante finale avrò

Dal momento che

Non è possibile descrivere questa esperienza tramite le equazioni delle funzioni perche

se considero te tempo , la sua retta verticale incontra due volte la traiettoria e questo contraddice la definizione stessa di funzione

L'intervallo di tempo è un sottoinsieme di quindi

Penso ad una funzione , che al tempo t associa x(t), y(t)

attraverso

Allora la definizione di curva è

“funzione che a un parametro t dello retta reale associaun vettore x(t), y(t) in ^R“

Se vado nello spazio ^R3

γ: [a,b] ⊆ ^R → ^R3

t ↦ x(t), y(t), z(t)

⇒ γ(t) = P(t) = (x(t), y(t), z(t))    = x(t) î + y(t) ĵ + z(t) k̂

dove:

γ(a) viene detto punto inizialeγ(b) ” punto finale

Dato un intervallo I ⊆ ^R chiameremo curva continua o camminoin ^R2 o ^R3 una funzione

γ: I → ^R2

continua, ossia se γ(t) = (x(t), y(t)), allora le componenti               x: I → ^R               y: I → ^R

sono tutte continue

Riassumendo:γ è continua se x, y: I → ^R sono continue cioè

    lim_t→t₀ x(t) = x(t₀)    lim_t→t₀ y(t) = y(t₀)

Esempio:

1. r: [0,1] → ℝ²

   t → (t, -t)

   r(0) = (0,0) r(1) = (1,-1)

   La rappresentazione della curva (anche detto sostegno) è:

   x(t) = t

   y(t) = -t

2. r(t) = { x(t) = cost y(t) = sent

   t ∈ [0, 2π]

   r(0) = (cos 0, sen 0) = (1,0)

   r(π/2) = (cos π/2, sen π/2) = (0,1)

   r(π) = (cos π, sen π) = (-1,0)

   r(2π) = (cos 2π, sen 2π) = (1,0)

   La rappresentazione o sostegno della curva è: il cerchio

3. r(t) = { x(t) = cost y(t) = sent

   t ∈ [0, π]

   r(0) = (1,0)

   r(π/2) = (0,1)

   r(π) = (-1,0)

   Il sostegno della curva è: una semicirconferenza

4)

r(t) =

• x(t) = cos(t)
• y(t) = sen(t)

r(0) = (1, 0) r(π/2) = (0, 1) r(π) = (-1, 0) r(2π) = (1, 0) r(5π/2) = (0, 1) r(3π) = (-1, 0) r(4π) = (1, 0)

Il sostegno di r sarà:

Circonferenza percorsa 2 volte (lungo senso antiorario)

5)

γ(t) =

• x(t) = cos(2π-t)
• y(t) = sen(2π-t)

r(0) = cos 2π, sen 2π = (1, 0) r(π/2) = cos(2π - π/2), sen(2π -