Teoria Algebra lineare e Geometria analitica

ESEMPIO:

2 2

⟺ + 60 + − + 26 + 26 + − − 36 = 0

2 2 2 2

( (

⟺ + 30) + + 13) = 36 + 30 + 13

2 2

( (

⟺ + 30) + + 13) = 1105

(−30, −13) =

Centro Raggio √1105

2 2

+ + + + = 0

Circonferenza generica:

NOTA: per trovare l’equazione della Circonferenza passante per tre punti, bisogna risolvere un sistema di tre equazioni:

) )

( , ( , ( , )

1 1 2 2 3 3

12 12

+ + + + = 0 1

1 1 1 1

22 22 1 ||

= ≠ 0 ⟸

{ + + + + = 0 ( ) condizione di non allineamento

2 2

2 2 1

32 32

+ + + + = 0 3 3

3 3

Ellisse

2 2

+ =1

2 2

2

2 2 2

> > 0 (±, 0) = − = ±

Asse maggiore orizzontale: Fuochi con Direttrice

2

2 2 2

> > 0 (0, ±) = − = ±

Asse maggiore verticale: Fuochi con Direttrice

Iperbole 2 2 2

− = 1 (±, 0) = ±

Asse trasverso orizzontale: Direttrice

2 2

2 2 2

− + = 1 (0, ±) = ±

Asse trasverso verticale: Direttrice

2 2

Per trovare gli asintoti si considera una generica retta passante per l’origine e si pone il sistema:

2 2

2 2

− = 1 1 1

2 2 2

⟺ − =1 ⟺ ( − )=1

{ 2 2

2 2 2 2

= 2

In generale questa equazione ha due soluzioni reali o complesse, tranne nel caso in cui si annulli il coefficiente della :

2

1

− =0 ⟺ = ±

2 2

Parabola

2

= + +

Δ

(− , − )

Vertice: 2 4

∆−1

(− , − )

Fuoco: 2 4

= −

Asse di simmetria: 2

Equazioni canoniche:

1 2

= (0, 0) (0, ) : = −

Asse verticale: 4 1 2

= (0, 0) (, 0) : = −

Asse orizzontale: 4

Spezzate

1

11 12 13

11 12

= = ( )

( )

12 22 23

33 12 22

13 23 33

= , () = la conica è degenere in due rette distinte:

• || < 0, Incidenti

• || = 0, Parallele

Spezzata doppiamente degenere:

||

= , () = , = due rette coincidenti

Per trovare le equazioni delle due rette, basta considerare la parte quadratica:

2 2

+ 2 + = 0, = 1

prima per e poi in funzione di

11 12 22 2 2

(, ) = − 2 + − 4

ESEMPIO:

1 −1 0 1 −1 0

... ||

= → det = 0, = 0, () = 2 ⟹

( ) ( ) Due rette distinte parallele

−1 1 0 0 0 1

0 0 −4 0 0 0

2 2

− 2 + = 0

2 2

(

= 1: − 2 + 1 = 0 ⟺ − 1) = 0 ⟺ = 1 soluzione doppia

1,2

( − + ℎ)( − + ) = 0

1 2

( − + ℎ)( − + ) = 0

2 2

− + − + − + ℎ − ℎ + ℎ = 0

2 2

− 2 + + ( + ℎ) + (− − ℎ) + ℎ = 0

4

+ℎ=0 − = −ℎ 2

= −ℎ 4 = ℎ ℎ=2

ℎ

⟺ ⟺ ⟺ ⟺ {

{ { { {

− − ℎ = 0 4 4

= − = −

4 = −2

= −

ℎ

ℎ = −4 ℎ

ℎ

: − + 2 = 0 : − − 2 = 0

Le rette in questione saranno: 1 2

2 2

(, ) = 9 − 6 +

ESEMPIO: 1

9 −3 0 1 − 0

... 3 ||

= → det = 0, = 0, () = 1 ⟹

( ) ( ) Due rette coincidenti (doppiamente degenere)

−3 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

2 2

9 − 6 + = 0 1

2 2

(3

= 1: 9 − 6 + 1 = 0 ⟺ − 1) = 0 ⟺ = soluzione doppia

1,2 3

( − + ℎ)( − + ) = 0

1 2

1 1

− + ℎ) − + ) = 0

( (

3 3

1 1 1 1 1

2 2

− + − + − + ℎ − ℎ + ℎ = 0

3 3 9 3 3

2 2

9 − 3 + 9 − 3 + − 3 + 9ℎ − 3ℎ + 9ℎ = 0

2 2

9 − 6 + + (9 + 9ℎ) + (−3 − 3ℎ) + 9ℎ = 0

9 + 9ℎ = 0 ℎ=0

⟺ {

{ −3 − 3ℎ = 0 =0

9ℎ = 0 1

: − = 0

Le rette in questione saranno: 1,2 3

Applicazioni Lineari

Matrice associata

ℬ

: → ()

{ } { }

= , … ℬ = , …

1 2 1 2

= + … +

1 2

= + … +

1 2

= + … +

1 2

1 1 1

ℬ 2 2 2

=( )

⋮ ⋮ ⋮

Nucleo e immagine

3 3

: → (, , ) = (, + , + + )

{(1,0,0), (0,1,0),

= (0,0,1)}

1 {(1,0,0), (0,1,0),

= (0,0,1)}

2

= ()

1 0 0 1 0

1

= () = 2 ℬ =

( ) {( ) ( )}

0 1 1 0 1

2 1 1 1 1 1

= −

dim = 3 − 2 = 1

1 0 0 1 0 0 =0 0

...

→ = , ∈ }

( ) ( ) { {( )

0 1 1 0 1 1 = − −

1 1 1 0 0 0 =

Cambiamento di base

2 0 0

3 2 3

: → = ( )

0 1 −1

2

{(1, (0,1,1),

= −2, −2), (0,0,1)}

1 {(1,1), (1,

= −1)}

1

Dobbiamo determinare:

−1 1

= = ()

1

= ( ) = (, , ) = (, , )

3

(1, (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)

−2, −2) = + +

1 2 3

(0,1,1) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)

= + +

1 2 3

(0,0,1) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)

= + +

1 2 3

1 0 0

= ( )

−2 1 0

−2 1 1

= ( ) = (, ) = (, )

2

(1,0) (0,1)

(1,1) = +

1 2

(1,0) (0,1)

(1, −1) = +

1 2 1 1

1 1 2 2

−1

=( ) = ( )

1 1

1 −1 −

2 2

1 1 1 1

1 0 0 0 −

2 0 0

2 2 2 2

−1 1

= ( ) = = ()

( ) ( ) ( )

−2 1 0

1 1 1 1

0 1 −1 1

− 0

−2 1 1

2 2 2 2

Applicazioni lineare con Matrici

(22) : (22) → (22)

Nello spazio vettoriale delle matrici di ordine 2 a coefficienti reali, si consideri l’endomorfismo

() = − ∈ (22).

definito da , dove { }

, = , , ,

Per trovare la matrice associata a consideriamo la base ordinata dove:

1 0 0 1 0 0 0 0

= ( ) = ( ) = ( ) = ( )

11 12 21 22

0 0 0 0 1 0 0 1

0

1 0 1 0 0 0 0

) )

( = ( )−( )=( ) ( = ( )

11 ℬ 11

0 0 0 0 0 0 0

0

0

0 1 0 0 0 1 1

) )

( = ( )−( )=( ) ( = ( )

12 ℬ 12

0 0 1 0 −1 0 −1

0

0

0 0 0 1 0 −1 −1

) )

( = ( )−( )=( ) ( = ( )

21 ℬ 21

1 0 0 0 1 0 1

0

0

0 0 0 0 0 0 0

) )

( = ( )−( )=( ) ( = ( )

22 ℬ 22

0 1 0 1 0 0 0

0

Possiamo quindi definire la matrice dell’applicazione lineare:

−

() = ( )

−

=

0 0 0 0 0 1 −1 0 =

0 1 −1 0 0 0 0 0

....

→ ker = , , , ∈ }

( ) ( ) { {( )

=

0 −1 1 0 0 0 0 0 =

0 0 0 0 0 0 0 0

= 1, = 0, = 0 = 0, = 1, = 0 = 0, = 0, = 1

1 0 0

0 1 0

( ) ( ) ( )

0 1 0

0 0 1

1 0 0 1 0 0

• ( ),( ),( )

Il nucleo è quindi costituito dalle matrici 0 0 1 0 0 1

• dim = dim − dim ker = 4 − 3 = 1

Per il teorema delle dimensioni:

• ()

Una base per l’immagine è costituta da una delle colonne di ai cui corrispondono i Pivot,

ℬ

0 1

( )

ad esempio la matrice −1 1

1 2

(( ))

ESEMPIO: proviamo a calcolare 3 4 0 0 0 0 1 0

1 2 1 2 0 −1 1 2 0 1 −1 0 −1 0 −1

1 3 2 ℬ

(( )) = ( )−( )=( ) ⟺ (( )) = = → ( )

( )( ) ( )

3 4 3 4 1 0 3 4 0 −1 1 0 1 1 0

2 4 3

0 0 0 0 4 0

Applicazioni lineari con Polinomi ′

( ()

() = + 1, : ℙ → ℙ (()) = + 1) ()

Fis