Geometria Analitica - Teoria

Geometria euclidea

E₁: retta euclidea E²: piano euclideo Eⁿ: spazio euclideo

Eⁿ: spazio a n dimensioni

E¹ → ℝ corrispondenza biunivoca

OU: segmento unità

OP: numero reale corrispondente di P

E² → ℝ² corrispondenza biunivoca

P(x, y) se x è le coordinate della proiezione ortogonale di P asse sull’asse OX

Ogni coppia di numeri individua un unico punto e viceversa

Nel caso di Eⁿ ogni punto individua tre coppie di numeri e viceversa

Esempio di applicazione

Dato (x, y) creo un algoritmo che mi dice se (x, y) è esterno o interno al quadrato

0 ≤ x ≤ 1^o AND 0 ≤ y ≤ 1:

sì interno no esterno

Posizioni reciproche di 2 rette

In E² le rette possono essere:

• PARALLELE
• INCIDENTI

Due rette si dicono parallele quando dato un retta "r" e un punto P non appartenente ad essa esiste una e una sola retta s passante per P e parallela ad r. (POSTULATO DELLE PARALLELE)

L'angolo tra 2 rette parallele è = 0.

Tra 2 rette incidenti si forma un angolo e 2 angoli supplementari hanno stesso seno e coseno opposto rispetto ad angoli acuti.

Se 2 rette formano angoli retti allora si dicono ortogonali. (⊥)

In E³ le rette possono essere:

• PARALLELE
• INCIDENTI
• SGHEMBE - non sono contenute nello stesso piano

Quando le rette appartengono allo stesso piano si dicono complanari.

Anche le piani in E³ possono essere paralleli tra loro oppure si possono intersecare in una retta. Inoltre una retta può intersecarsi solo in un punto nel piano o può essere parallela, o ancora può essere contenuta nel piano.

r = retta π = piano

r contenuta in π (Tutti i punti sono in comune)

r incidente a π (un solo punto in comune)

r parallela a π (nessun punto in comune)

Il vettore v₁ viene chiamato una base del sottospazio vettoriale mentre il valore x viene detto coordinata di v nelle base v_i.

Span di n vettori:

Span(v₁, v₂) = {xv₁ + βv₂ | α, β ∈ ℝ} corrisponde all'insieme di tutte le combinazioni lineari di v₁ e v₂ dove v_i ∈ V

Con lo Span(v₁, v₂) indici il sottospazio chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto tra v₁ e v₂ (i vettori non devono essere paralleli).

Quindi lo span (v₁, v₂) ≡ un piano.

^v₂ i = { x ^| v₃

α e β sono le coordinate x₁, β₁, rispetto alla base {v₁, v₂}

Span(v₁, v₂) ⊆ v₂} ∈ ∅

Si può trovare tutti i punti sul piano tracciando le proiezioni sugli span

Span(v ₁, v₂, v ₃) dove v₁, v₂, v₃ non devono essere di 2 a 2 paralleli; il massimo deve appartenere allo degli elet(s)i due.

I tre vettori vengono quindi definiti indipendenti

di a, β, γ, ∈ ℝ ∊ v ₁v₁ + βv₂ + γv₃, ∁ v ∈ V&ftimes;

V {v₁, v₃} viene detta base di V mentre α, β e le coordinate di αv₁ + βv₂ + δv₃; rispetto alle base

GEOMETRIA ANALITICA LINEARE

ℝ² = l'insieme delle coppie ordinate (x₁, x₂) di numeri reali ed ha una struttura notevole di spazio vettoriale.

x₁, x₂ ∈ ℝ²

• Operazioni di somme

( x₁ ) ( x₂ ) + ( y₁ ) ( y₂ ) = ( x₁ + y₁ ) ( x₂ + y₂ )

∈ ℝ²

Operazione binaria interna dove vengono sommate le singole componenti

( 0 ) ( 0 ) → elemento neutro

• Operazione di prodotto per uno scalare

Per ogni scalare α ∈ ℝ vale

α ( x₁ ) ( x₂ ) = ( αx₁ ) ( αx₂ )

∈ ℝ²

Si moltiplica ciascuna delle componenti per lo scalare α

( 1 ) ( 1 ) → ilè

Ovviamente valgono tutte le proprietà dei vettori geometrici.

Vengono definiti vettori canonici che hanno la particolarità di avere una coordinata uguale ad 1 e le altre nulle.

( 1 ) ( 0 ) e₁, ( 0 ) ( 1 ) e₂ {e₁, e₂} → base canonica di ℝ²

Ad esempio

( x₁ ) ( x₂ ) = x₁ ( 1 ) ( 0 ) + x₂ ( 0 ) ( 1 ) = x₁e₁ + x₂e₂