Geometria Analitica - Teoria

Geometria euclidea

Definizioni e corrispondenze

E¹: retta euclidea
E²: piano euclideo
E³: spazio euclideo
Eⁿ: spazio a n dimensioni
E¹ ↔ ℝ corrispondenza biunivoca
ΟΥ: segmento unità
ΟΡ ⟶ numero reale corrispondente a P
E² ↔ ℝ² corrispondenza biunivoca
P(x,y) se x e y le coordinate della proiezione ortogonale di P assi sull'asse OA
Ogni coppia di numeri individua un unico punto e viceversa
Nel caso di Eⁿ ogni punto individua tre coppie di numeri e viceversa

Esempio di applicazione

Dato (x,y) cerco un algoritmo che mi dica se (x,y) è esterno o interno al quadrilatero
0 < x < 1 e 0 < y < 1
SI → INTERNO
NO → ESTERNO

Geometria euclidea ripresa

E¹ = retta euclidea
E² = piano euclideo
E³ = spazio euclideo
Eⁿ = spazio a n dimensioni
E¹ → R corrispondenza biunivoca
OU = segmento unità
OP/OU = numero reale corrispondente a P
E² → R² corrispondenza biunivoca
P(x,y) se x e y le coordinate della proiezione ortogonale di P asse sull'asse
Ogni coppia di numeri individua un unico punto e viceversa
Nel caso di Eⁿ ogni punto individua n-tuple di numeri e viceversa

Esempio di applicazione ripreso

Dato (x,y) cerco un algoritmo che mi dica se (x,y) è esterno o interno al quadrato
0 < x < 1 AND 0 < y < 1
SI INTERNO
NO ESTERNO

Posizioni reciproche di due rette

In E² le rette possono essere:

• Parallele
• Incidenti

Posizioni in E³

In E³ le rette possono essere:

• Parallele
• Incidenti
• Sghembe (non sono contenute nello stesso piano)

Spazi vettoriali geometrici

Gli elementi di V₀ sono coppie ordinate (O;A) che corrispondono a segmenti orientati con A ∈ E (tra sb per tutti gli elementi euclidei E¹, E², E³). In V₀ è possibile effettuare le operazioni di somma e prodotto (da cui poi derivano le altre):

• Somma → Se OA e OB ∈ V₀ definisco OA + OB = OC dove BC è il segmento parallelo e congruente ad OA e OC è la diagonale del poligono con lati OA e OB. Il vettore nullo 0 si indica con ∅ ⃗
• Prodotto → prodotto scalare per vettore, il risultante è un vettore V sempre appartenente alla retta individuata da V con modulo moltiplicato per lo scalare. ⍺ ⋅ OA = OB → se ⍺ ≥ 0 B è sulla semiretta con origine O passante per A e il rapporto → se ⍺ < 0 B è sulla semiretta opposta con OB/|⍺|

Proprietà delle operazioni

1. Il vettore nullo soddisfa: ϕ + V = V
2. ∀V OA ≠ V ⟹ (−OA) ≠ ϕ
3. ∀V OA − a des. ϕ ⟹ − (OA) = OA
4. ∀ OA ≠ ϕ ⟹ OA ≠ OB ⟹ OB + OA
5. ∀ OA, OB, OCϵ v (OA+OB)+OC = OA+ (OB+OC)
6. 7.a(x⋅B)⋅OA = x(B⋅OA) ∀ x, β ϵ R(x⨀β)⨀OA = xOA ⨀βOA OA+(OB+OC) = xOA + xOB

Differenza di due vettori

Esprimibile attraverso la somma V−W : V+ (−W). Scambiando i termini il verso del vettore cambia. Es: Visualizzare −2V + 3W.

Operatore di traslazione

Dato \( v_o, oo \in \mathbb{R} \), ch...