Teoria sparsa Algebra lineare - Schemi e mappe concettuali di Algebra lineare e geometria analitica

Teoria Importante

Algebra Lineare

Capitolo 1

Teorema di Talete

3 rette parallele tagliano imperfettamente su 2 rette

Trasversali coppie di segmenti di lunghezza proporzionale

Capitolo 3

n = ordine del sistema

Vettore dei termini noti

Vettore delle incognite

2 sistemi si dicono equivalenti se hanno esattamente le stesse soluzioni

Matrice non singolare = tutti i pivot sono nulli

Capitolo 4

IRⁿ = spazio geometrico n-dimensionale

Spazio Vettoriale

• (u+v)+w = u+(v+w)
• σ+0 = 0+σ = σ
• σ + (-σ) = (-σ) + σ = 0
• σ+v = v+σ
• (λσ)ω = λ(σω) = σ(λω) = λσν + λωσ
• λ(σω) = λσ + λωσ
• εσ = σ
• (λσ)v = λ(σv)

Ax = 0 (Sistema omogeneo associato al sistema Ax = 0)

Δx = b → b ∈ Span(A¹, ..., Aⁿ) (Spazio delle colonne)

Un sistema ha soluzioni uniche (banale, x=0) se e solo se colonne A¹, ..., Aⁿ sono linearmente indipendenti

Se V = U ⊕ W ⇒ V e W sono.

Proposizione:

Ogni sottospazio U di uno spazio vettoriale V di dim. finita.

Def: Completo una base di U in una base di V, pongo W come N-proiett. ma dim U = p, dim W = n-p.

Proposizione:

V = V₁ ⊕ V₂ ⊕ ... ⊕ V_k

V_i = {v | v₀ + v₁ + ... + v_k = 0}

Capitolo 5

Teorema di struttura

Sia Vⁿ ⊆ Rⁿ un sottosp. del sistema lineare Ax = b di ordine n.

Allora ogni altra soluzione è della forma:

u = v⁰ + w^*

dove w ⊂ Rⁿ è una soluzione del sistema omogeneo A* = 0.

La parte pos. L ⊂ Rⁿ è insieme delle soluzioni del sistema Ax = b

e W ⊂ Rⁿ è insieme delle soluzioni del sistemo omog. associato Ax = 0  si ha

L = u + W = {y = u + w | u ⊂ L, w ⊂ W}

Una soluzione se colonne di A linearmente indipendenti

P: V → U ∪ V) è detto proiezione su U lungo W

V: U ⊕ W P(u) = u

u + w

(MT): Iniettiva ⇒ Ker T = {0}

Se T iniettiva T(u) = 0 ⇒ Ker T = {0}; ⇒ implica &exists; 0 ∈ Ker T = {0}

Veniamo esprimo Ker T = {0}, ⇒ esisto ∀ u ⊂ V

T(u) = T(u)

T(u₁) = T(u₂) ⇒ T(u₁ - T(u₂)) = 0 ⇒ (u₁ - u₂) = 0 ⇒ u₁ = u₂

Teorema ⇔ rg T_S = dim V

T Sogettiva ⇔ rg T = dim W

Capitolo 10

d(P, Q) = √((x₂ - y₁)² + (y₂ - y₁)²) = ||V̅₂ - V̅₁|| = ||O̅Q̅ - O̅P̅|| in R²

||V̅|| = √〈V, V〉

〈V₁ , V₂〉 > 0

〈V₂ , V₃〉 ≠ 0 = Vettori linearmente dipendenti

Vettori ortogonali: θ = 0, σπ = ± 1

ω = 〈V̅₁ ||V̅₂||cos θ〉 = 〈 V̅₂ , V̅₃ 〉 V̅₃ ||V̅₂|| = V̅₅∼ V̅₂

Proiezione ortogonale di V̅₂ su V̅₃

Prodotto scalare

〈V̅₂ , V̅₃〉 = V̅₂ W₄ + ... + V̅₃ W₃ = W̅^T · V

||V̅|| = √〈V, V〉 = (V₁² + ... + V_n²)^½

Proprietà:

1. 〈λ V₁ + V₂ , W〉 = λ〈V₁ , W〉 + 〈V₂ , W〉
2. 〈λ V, W〉 = λ〈V, W〉
3. 〈W, V₃ + V₁〉 = 〈V₃, W〉 + 〈V₁, W〉
4. 〈V₁ , λ W〉 = λ 〈V₁, W〉

Lineare rispetto alla 1° variabile

Lineare rispetto alla 2° variabile

Biláncing

Definizione:

Un prodotto scalare su V è una forma bilineare g simmetrica, cioè:

g (V, V, V) = φ(V, V) ∀ V , ω ∈ V

Nucleo

del prodotto scalare: V⊥ = {u ∈ V : 〈u, v〉≤0 ∀ v ∈ V}

Un prodotto scalare è definito non degenere se V⊥ ≠ {0}, altrimenti degenere

Positivo

Se 〈V, V〉>0 (i quadrici non degeneri)

Spazio vettoriale metrico

= spazio fornito di prodotto scalare

〈., .〉 definito positivo