Teoria di elementi di controlli automatici

Controlli Automatici

Il problema del controllo

Il controllo automatico torna a certe variabili di un processo un comportamento desiderato.

Elementi essenziali del problema di controllo:

• Processo = sistema controllato
• Variabili
• Relazioni tra variabili = modello matematico
• Comportamento desiderato
  • Andamento desiderato delle uscite
  • Tolleranze ammesse
• Criteri di scelta per le possibili soluzioni
  • Prestazioni
  • Costo di attuazione

Esempio: Controllo della velocità

Voglio cambiare il tuo numero da massimo veicolo ambiente e ovviamente rivestazione e gestione dell'informazione per elaborare una legge di controllo che mi induca a compiere un'azione.

Ove relazionale... allora...

• L'ABS è uno controllo automatico è uno esercizio.
• Regolazione = comparazione e conservano una velocità istantanea e velocità consente.
• Segnale e comando

= attuo un'azione in modo consapevole.

Valutazione della velocità attraverso Ai ⇒ Controllo automatico che deve modificare e modulare l'andare di controllo.

Controllo automatico è atto svolto in modo automatico sulla base di determinate leggi stabilite in anticipo.

L'oggetto che controlla prove e idoneo processo e le prove che feo denovole devo avere un comportamento desiderato.

Devo calcolare e provare che feche ascavenel e comportamento e regolamente desiderato che vuole che il procomet acvar.

Modulazione dell'azione in modo che il comportamento attuale si avvicina a quello desiderato (riduttore roller velocità).

... dei comportamenti desiderati e pericolo da alcuneincertezze ovvero una tolleranza tra comportamentoe disturbi e effetti * che potrebberocomprometterlo *

Rappresentazione del sistema modello numerico usanoovunque tutti i modelli matematici che più uno usae/o schemi rappresentanze schematiche eo descrittive sistema astratto orientato (SAO)

u(t) y(t)

La *... quantitativi verificatigenericamente controllati e controllabili devono fornire * dei livellie un obiettivo sul sistema di controllo aumentando ... *(seguire).

CE: ingressi possono essere:

• manipolabili → input obbligato che dobbiamo gestire
• non manipolabili → disturbi

(* ....)

* ...

Per poter ottenere un sistema ho quindi bisogno di 6 elementi:

X, Y, U, N, X₀, T

Avrò quindi bisogno di una legge matematica che mi permette di calcolare ed individuare lo stato del sistema e il modo in cui esso varia...

Funzione di transizione di stato ϕ

Verrà applicatione lo stato inizialeX₀ per ogni valore t ∈ T è oppurted T, in funzione di un'imnito u(t)

X(t) = ϕ(t, t₀, X₀, U(t))

per lo stato X t₀ che è necessario quindi mettere l'integrato da t₀ a t.

Il sistema e poi descrive dell'uscita y(t) che equivale idéa

funzione di trasformazione di uscita di quel ψ

che ci dice come evoluto nel tempo l'uscita del sistema

y(t) = η(t, x(t), u(t))

Allora un sistema dinamico S è un ennuplo ordinato come:

S = (A, X, Y, ∈, η)

Tornando alla macchina di caffe:

t₀ = 0 → 2h, t → 10

x(t₀) = ϕ(t, t₀, X₀, U(t))

Supporre x(t₀) = 0

y(t) = η(t, X(t), U(t)))

Devo sapere quale è l'evoluta dei quei integratore: X = X(x₀, X(t), X(t₁), ...) = (a, b, c

x(3) = ϕ(3, 0, d, g(t))

y(3) = η(3, x(3), u(3))

L'uscita e funzione dell'evoluzione dell'uscita η - per calcolare funz la

Devo considerer di stato evoluto e gli ingressi

L'uscita è funzione dell'innoto al tempo. Sia o in quelli l'interno è impresso.

η - funzione...

ϕ = funzionale di pace &o cerca da una funcione di S.

Esempio: CIRCUITO RL

Sistema astratto orientato

equazioni del sistema

equazione che descrivono il sistema

J _______ l {\forall}

Soluzione ED diff: somma di due contributi: e^t primo dipende applicazione di tempi cosi e un funvule continuo e dipende atte condizioni iniziali il dependo avendo dal tempo e aperso esperienza dell’impreso

L' evoluzione dello siste é sempre somma di un cambia che dipende dalle condizioni iniziali e uno che dipende dell’unitimo che o funzuci e di sistema.

Risposta Libera

Calcolo del primo contributo

_xE(t) = Φ(t-t₀) × X₀ = e^A(t-t₀) X₀ (rapporto detta successione A)

GE n autovalori della matrice A sono distinti

E il calcolo degli autovettori di A. Si considerino n autovettori destri

Linearmente indipendenti U_i. In n gli autovettori sinistri V₁, ... V_n tali

Ossia _[Ui] = V'

• Ogni autovettore sinistro è una combinazione delle colonne sue basi
• autovettori destri: (A - Λ_i1) U_i = 0
• autovettori sinistri: V'_i [A - Λ_i1] = 0

Teorema: D con n autov. defficienti (>1) convergono obliqui e colonne

RAPPRESENTAZIONE INIZIALE

e = Λ_i U_i V'_i + ... + e^A(t-t₀) U_n

D convergenza la risposta libera nello spazio e

_xE(t) = Φ(t-t₀) X₀ = e^A(t-t₀) X₀ =

Σ e^Λ_i(t-t₀) U_i V'_i X₀

Che si ottiene dal tempo il modo predominante meglio una variabile per termine e da due componenti monomiali composte

generico autovettore destro

[_Uil] = ^U_in

Generico autovettore n orizzontale: V' = [V_i1 V_in] (in)

Generico vettore colonnare iniziale:

X(t) = X₀ = [_x01x_0n]

Ponendo X₀ V'_i = C_i (scalare)

Dove sono le varianti di moto

_xE(t) = Σ e^Λ_i(t-t₀) C_i U_i

La risposta libera quindi appare decomponibile nella somma di n termini espressivi proprio coincide con

Riassumendo

La risposta in evoluzione libera dello stato é costituita da termini del tipo

C_i e^{λ_i t} modi normali periodici

2mk e^{λ_i t} [cos((w_r + f)₁) C_m · sen((w_i + f)₁)] modi normali pseudoperiodici

Lo decompositore dello spazio stato in modi normali e minimali é duplico solo dello spazio iniziale.

Ogni elemento può essere accentuato in modo che la risposta libera situata cosi una sola da esso.

GF : n autovalori della matrice A sono non distinti :

Siano λ₁ = λ₂ ...λ_n pù autovalori distinti di A e una

m_i = i_r per molteplicità fourifiche degli autovalori algebra.

Proposizione:

X_c(t) = ∑_i=1 ^p ∑_k=1 ^m_i e^{λ_i t} (A - λ_iI)^k-1 C_i I= matrice identità

esempio: λ₁ = 1 λ₂ = 1 λ₃ = 3 n = 3 p = 2 (autovalori con ordinati)

m₁ = 2 m₂ = 1

X_c(t) = ∑_i=1 ² ∑_k=1 ^m_i e^1t (A - I)^k-1 C_i t^k-1 k!

= e^-3t ∑_k=1 ¹ (A - 3I)^k-1 C_k t^k-1

= e^-3t C₁ + e^1t (A - I)² C₁ t ²

= e^-3t C₁ + e^1t (A - I)² C₂ t ¹

e^-3t C₁ + e^t C₁ t + e^t (A−I) C₁ t

modi normali ordinario derivata quinta

Per il sistema con autovalori cm m = 1 fm ha una dipete risposta che tempi riperà per espresivo tranite polinimale e di nas polinimale che cresca di crescere di di che dipende dallo varoche polinimale

Le polinomi non "ridiviano" polinomii dache ricorda libero e tempo. perché l'espoimenti alcuni varisce una quival

X_c(t) converge = cm per cm nei X_c(t) divergi uno qussi cos quanti condizioni negative tan e sono espresioni con alcuno occurrime e li dipendente dei tempo che solo ale zonzovili (m_i = 2 colinico m_i = 5) diverge secondo e inclive polinomiali