Elementi di Controlli Automatici - Teoria

E LEMENTI DI

C A

ONTROLLI UTOMATICI

(Teoria)

Università degli Studi di Brescia – Dipartimento di Ingegneria Meccanica

Appunti a cura di Ing. Liu Junxiang

I

NDICE

01 INTRODUZIONE .................................................................................................................................................................................................................................... 2

02 STRUMENTI MATEMATICI .................................................................................................................................................................................................................... 7

03 ANALISI DEI SISTEMI ........................................................................................................................................................................................................................... 16

04 ANALISI IN FREQUENZA (Diagramma di Bode) .................................................................................................................................................................................. 35

05 SISTEMI DI CONTROLLO ..................................................................................................................................................................................................................... 43

06 CONTROLLORI ANALITICI PID ............................................................................................................................................................................................................. 50

07 CONTROLLO MOTORE ........................................................................................................................................................................................................................ 65

08 TECNICHE DI CONTROLLO .................................................................................................................................................................................................................. 70

TEMI ESAME ............................................................................................................................................................................................................................................ 78

L

EZIONI

01 LEZIONE ................................................................................................................................................................................................................................................ 3

02 LEZIONE .............................................................................................................................................................................................................................................. 11

03 LEZIONE .............................................................................................................................................................................................................................................. 20

04 LEZIONE .............................................................................................................................................................................................................................................. 27

05 LEZIONE .............................................................................................................................................................................................................................................. 36

06 LEZIONE .............................................................................................................................................................................................................................................. 44

07 LEZIONE .............................................................................................................................................................................................................................................. 51

08 LEZIONE .............................................................................................................................................................................................................................................. 57

09 LEZIONE .............................................................................................................................................................................................................................................. 66

10 LEZIONE .............................................................................................................................................................................................................................................. 74

1

01

INTRODUZIONE

2

01 LEZIONE

INFORMAZIONE

- ESAME

o Pre-appello ultima settimana di lezione

o Pre-appello scritto di 3-4 esercizi, possono esserci anche una parte di teoria. Tempo a disposizione circa 2,5 h!

o Appello è orale! Data da concordare con il docente! Anche fuori sessione! 1 oretta!

- RICEVIMENTO

o Venerdì: 8-10/Appuntamento

- MATERIALE

o Lucidi del corso (di solito bastano)

- LIBRO

o Fondamenti di Controlli Automatici – P. Bolzern, R. Scattolini, N. Schiavoni, McGraw-Hill

3

PROBLEMA DI CONTROLLO

- INTRODUZIONE

o Il corso ha la finalità di risolvere il problema di “controllo”

o I problemi di controllo consistono nell’imporre un FUNZIONAMENTO DESIDERATO ad un PROCESSO assegnato (sistema sotto controllo)

▪ ESEMPI

• BICICLETA

o Io sulla bici, in discesa, vorrei curvare. Se non agisco sul manubrio, la bicicletta NON curva e va dritto.

o Il cervello, elaborata un punto opportuno (magari NON ottimale) per curvare senza schiantarsi

o Questo è un esempio banale di “controllo”

• COLAZIONE

o La scelta di cosa mangiare è un “problema di controllo”

▪ Attenzione ai VINCOLI

• TRAGITTO PER L’UNIVERSITA’

o Scegliere quale trasporto prendere per arrivare all’università

▪ OSSERVAZIONE

• In questo corso, ci occupiamo di dare un’infarinatura matematica e teoria ai Problemi di Controllo, posto che ne

risolviamo senza pensarci tutti i giorni (es: venire in università con la metro)

- OBIETTIVO FINALE DEL CORSO

o Far funzionare un motorino come voglio io

- NOMENCLATURA

o FUNZIONAMENTO DESIDERATO

▪ Andamento nel tempo che alcune variabili del processo devono avere (variabili controllata)

• Esempio: la temperatura all’interno di un’aula dalle 8.30 alle 18.30

o NON mi interessa cosa succede prima delle 8.30, ma arrivato alle 8.30, voglio che ci siano 21°C in aula

o L’obiettivo da raggiungere e mantenere per la variabile è detto SET-POINT

▪ In realtà, ci si può accontentare di un certo margine di errore attorno al set-point

o SET-POINT

▪ Segnale di riferimento costante nel tempo

• A volte possiamo accontentarci di un errore abbastanza “grosso”

o Il controllore è troppo costoso

o Il processo è difficile da controllare, ma cerco di tenerlo a “bada”

• Esiste anche funzionamento desiderato NON a set-point

o Esempio: Trattamento Termico

o OBIETTIVO DEL SISTEMA DI CONTROLLO

▪ Variabile Controllata = Segnale di Riferimento

o COME?

▪ Tipicamente agendo sugli input (alcuni) del processo

• Esempio: Controllare la Temperatura di una Stanza

o Parametri NON Controllabile: Irraggiamento Solare, Temperatura Corporea

o ←

Parametri Controllabile [INPUT]: Aria Condizionata, Riscaldamento Agisco su questi parametri

4

- SCHEMI DI CONTROLLO

o ANELLO APERTO (feedforward)

▪ OSSERVAZIONE

• Modifico l’ingresso a priori perché mi aspetto una determinata reazione del sistema MA NON posso far fronte a

disturbi, NON li leggo (NON feedback)

o Sappiamo cosa succede di fronte ingresso di un certo input

▪ ESEMPIO: EROGATORE DELLA DOCCIA

• Posiziono la manopola in una certa posizione, so che l’acqua raggiungerà ad una temperatura che mi andrà bene

• Se invece, il coinquilino apre l’acqua in cucina per lavare i piatti, la temperatura si abbassa, viene chiamato disturbo!

• Δ, →

Se mi accorgo del posso agire sulla maniglia feedback

o ANELLO CHIUSO (feedback)

▪ ESEMPIO

• Noi che siamo sotto la doccia, la pelle sente l’acqua più fredda (feedback), e girò di più la manopola verso l’acqua

caldo o La pelle = sensore; quindi, la differenza tra l’anello aperto e l’anello chiuso, sta nel sensore

▪ OSSERVAZIONE

• In anello chiuso, esiste un sensore che misura la variabile controllata e permette di raffrontarla al segnale di

riferimento

• Il feedback è preferibile e ampiamente diffuso, grazie allo sviluppo sensoristico

• Tuttavia, vi sono applicazioni particolari ove NON è realizzabile o economicamente sostenibile

o Esempio: Controllare la temperatura di un pezzo in forno

▪ Se la temperatura è troppo alta per il sensore, allora si fa una misura indiretto

▪ CONTROLLORE

• Il controllore ha la facoltà di cambiare i valori in ingresso

• Più voglio che sia performante il controllore, più devo avere altri componenti performanti (sensore ecc…)

- SOLUZIONE DI UN PROBLEMA DI CONTROLLO

o 1. Riformulazione Matematica del Problema

▪ 1. Ruolo della Modellistica

• Esempio: Temperatura all’interno di una stanza

o Flussi d’aria in ingresso e in uscita (Informazione dominante)

o Scambio termico delle persone all’interno della stanza (NON informazione dominante)

• Rappresentare il meno possibile (approssimazione il più possibile), tanto quanto basta poter ricostruire le dinamiche

del problema

o Il ruolo della Modellistica è Ingegneristico: Semplificare il più possibile

o È diverso dal Fisico, in quanto deve creare modelli il più possibile aderenti alla realtà, con complessità

crescente

▪ Il Fisico = Approssimare il meno possibile

▪ L’Ingegnere = Approssimare il più possibile

o 2. Determinazione del Modello Matematico del Controllore

▪ 1. Teoria del Controllo

• Il controllore in seguito al feedback ricevuto, genera opportuni input

o 3. Realizzazione

▪ 1. Informatica (PLC)

• Più utilizzata ultimamente, perché è molto flessibile

▪ 2. Elettronica (Cablaggi)

• NON è così

flessibile

▪ 3. Meccanica

• ←

Esempio: Sterzo di 20 anni fa Tecnologia già quasi superata

▪ 4. Pneumatico

• Esempio: Back Up del Sottomarino 5

- ESEMPI – MODELLISTICA

o SCHEMA

o DATI ▪ = Costante Elastica

▪ ℎ = Coefficiente d’Attrito Viscoso

o VARIABILE

▪ =

VARIABILE DI DISTURBO: Forza Esterna Costante

▪ =

VARIABILE CONTROLLATA: Posizione

▪ =

VARIABILE DI CONTROLLO: Forza Motrice

o FORMULAZIONE MATEMATICA

▪ () () ()

̈ = −ℎ̇ − () + −

6

02

STRUMENTI

MATEMATICI

7

01 LEZIONE – PART 2

STRUMENTI MATEMATICI

- RAPPRESENTAZIONE MATEMATICA DI UN SISTEMA

o Una delle possibili rappresentazioni matematiche di un sistema è realizzata mediante un’EQUAZIONE DIFFERENZIALE

() ()

=0

▪ ∑ ∑

= Combinazione Lineare

=0

• () = input, da noi chiamati Forzanti

o Di fronte agli input, voglio sapere cosa succede in output

o L’andamento del SISTEMA LIBERO è caratteristico del sistema, ma non ci interessa

• () = output

o 1. Servono le condizioni iniziali

o /

2. Può avere coefficienti tempo varianti

▪ Per i problemi che trattiamo noi, può essere a tempo “variante” ma nel lungo periodo

• Per esempio: Frizione, Freno … a lungo andare, si consumano, e cambiano la loro risposta, ma è talmente lento che

noi non ce ne accorgiamo! O meglio, ci siamo adattati!

o Noi, come essere umano, siamo pieno di sensori, e ci adattiamo velocemente

o 3. Per conoscere l’andamento dell’uscita potrei risolvere l’equazione differenziale

▪ ()

DIFFICILE, soprattutto per forzanti scomode!

▪ ESEMPIO

• Dato o ()

̈ + 3̇ = 4̇ + () () = sin()

• La risoluzione può NON essere così

banale!

- APPROCCIO DIVERSO

o Si “trasforma” il problema (equazione differenziale) in un problema immagine (equazioni algebriche) la cui soluzione è più semplice

▪ →

Equazione Differenziale Equazioni Algebriche

o Spesso la “soluzione immagine” può essere usata per trovare delle informazioni/caratteristiche della soluzione del problema, per cui

l’operazione di “ritorno”, complessa, NON è necessaria

▪ Il parallelo è il dominio del fasore per i circuiti elettrici

o L’operatore che permette il passaggio al problema immagine è la TRASFORMATA DI LAPLACE

- TRASFORMATA DI LAPLACE

o DEFINIZIONE

▪

Sia data una funzione complessa della variabile reale

▪ = + ∈ ℂ

Sia poi una variabile complessa (in particolare, è la frequenza complessa)

▪ Se la funzione +∞

• −

() = () ⋅

∫

0

▪ , ()

Esiste (converge) almeno per qualche valore di essa si dice TRASFORMATA DI LAPLACE di

o OSSERVAZIONE

▪ Di solito, NON si usa mai la definizione, perché

• 1. Ci sono le trasformate notevoli

• 2. I segnali interessanti in natura NON sono molti, e sono già stati risolti

o 1. Gradino

o 2. Lineare

o 3. Parabolico

o 4. Sinusoidale

o OSSERVAZIONE

▪ Di solito, la trasformata di Laplace si denota con la stessa lettura, ma maiuscola, che indica la funzione del tempo

(trasformanda) e si usa scrive

• −1 [()]

() = ℒ[()] () = ℒ

e

▪ Ed è una trasformazione BIUNIVOCA!

o PROPRIETA’

▪ 0. Biunivoca

• −1 [()]

() = ℒ[()] () = ℒ

e

▪ 1. Linearità (Integrale)

• ℒ[ ⋅ () + ⋅ ()] = () + () ∀, ∈ ℂ

o Parto da ODE lineari, questa proprietà è conservata

▪ 2. Traslazione nel Tempo

• −

ℒ[( − )] = ()

o L’avvenimento del fenomeno viene ritardata

o Esempio: Erogatore

▪ L’acqua che mi manda la caldaia è ritardata rispetto al movimento della manopola

▪ Questo ritardo dev’essere modellizzato

8

▪

3. Traslazione in [NON usata]

•

ℒ[ ()] = ( − ) ∀ ∈ ℂ

o Esponenziale nel Tempo vs Traslazione in Laplace, NON si usa mai

▪ 4. Derivazione nel Dominio del Tempo

−1

() −()

• =1

−

∑

ℒ[ ] = () − |

−1

=0

−1

−()

=1 −

o ∑ | → Serve per calcolare le condizioni iniziali

−1

=0

▪ Derivata Prima

• ℒ[̇()] = () − (0)

▪ Derivata Seconda

• ℒ[̈()] ̇

2 (0)

= () − (0) −

▪ N.B. • Utilizzeremo quasi sempre condizioni iniziali nulle

o 1. Un po’ perché è anche vero

o 2. Difficile da schematizzare

()

•

ℒ[ ] = ()

Con le condizioni iniziali nulle, le derivate diventano moltiplicazioni per

o ESEMPIO

▪ Dato • ()

̈ + 3̇ = 4̇ + ()

▪ ℒ

Con la trasformata di Laplace diventa

• 2

() + 3() = 4() + ()

▪ Quindi 4+1

• () = ()

2

+3

4+1

o = ,

NON dipende né da né ma dipende dalla loro relazione

2

+3

(non dipende dall’entrata, né dall’uscita), ma caratteristica proprio del

sistema, infatti, si chiama “Funzione di Trasferimento” del sistema

▪

Cioè, trasferisce un effetto di sulla funzione

▪

5. Derivazione nel Dominio di

−()

• ℒ[ ⋅ ()] =

o

È utilizzata abbastanza spessa, perché utilizziamo l’anti-trasformata, cioè dal dominio al tempo

▪ Equazioni Differenziale nel dominio Tempo ha un concetto fisico, tiene conto dell’effetto

memoria nel tempo

▪ ,

Equazione Differenziale nel dominio di invece è solo un elemento matematico

▪ 6. Integrazione nel Dominio del Tempo

1

• ℒ[∫ () ] = ()

0

1

o è una funzione di trasferimento assai importante, come vedremo più avanti, se la metto nel controllore,

ottengo inseguimento del SET-POINT asintoticamente con errore nullo

▪ Importantissimo per sistemi retroazionati!

▪ Soprattutto per Set-Point nei sistemi retroazionati

▪ 7. Convoluzione nel Dominio del Tempo [NON serve]

∞

• () ( () ()

ℒ[∫ − ) ] =

1 2 1 2

−∞

∞

• ( () ()

ℒ[∫ − ) ] = ()

1 2 1 2

−∞

o TEOREMI (ESAME)

▪ 1. TEOREMA DEL VALORE INIZIALE

• (0) = lim ()

→∞