Appunti teoria Fondamenti di controlli automatici

B

Scrittura delle Equazioni

(ω(t), (t),

Ho 6 variabili e 2 equazioni (2 gradi di libertà)

c(t), T v(t), i(t), e(t))

= =

Si dimostra inoltre che K K K

e m ⎧ = + +

di

v Ri L e

dt

⎨ =

e Kϕ ω

e

⎩ =

c Kϕ i

e

dω

−J − + + = 0

Bω c T

dt

=

Elimino le variabili ponendo H Kφ

e → Meccaniche

ω, T

{ + = −

di

Ri L v Hω

dt → Elettriche

v, i

dω + = +

J Bω Hi T

dt

(T ,

Ho due ingressi → Due cause per muovere il motore

v)

Applico la trasformata di Laplace

{ Assumendo che = (s) = Ω(s) = (s) = ]

L[i]; L[v]; L[ω]; L[T

+ = (s) − I(s) V T

RI(s) LsI(s) V HΩ(s)

+ = + (s)

J sΩ(s) BΩ(s) HI(s) T

Con dei raccoglimenti algebrici si ottiene che {

(Ls + = (s) −

R)I(s) V HΩ(s)

(J + = + (s)

s B)Ω(s) HI(s) T

1 H

Eliminazione di I(s): = (s) − Ω(s)

I(s) V

+ +

Ls R Ls R

2

H H

(J + = + (s) = (s) − Ω(s) + (s)

s B)Ω(s) HI(s) T V T

+ +

Ls R Ls R

2

(Ls + + = (s) − Ω(s) + (Ls + (s)

R)(J s B)Ω(s) HV H R)T

2

[(Ls + + + ]Ω(s) = (s) + (Ls + (s)

R)(J s B) H HV R)T

Ho ottenuto un’equazione nelle 3 incognite H L R

Modellizzazione di Sistemi Fisici 9

+

H Ls R

Ω(s) = (s) + (s)

V T

2 2

(Ls + + + (Ls + + +

R)(J s B) H R)(J s B) H

con +

H Ls R

(s) = (s) =

W W ,ω

v,ω T

2 2

(Ls + + + (Ls + + +

R)(J s B) H R)(J s B) H

Prima funzione di trasferimento Seconda funzione di trasferimento

Analisi Tramite Schema a Blocchi

Parte Elettrica di

+ = − con componene dato da il resto circuito RL

Ri L v Hω Hω e(t);

dt −

Questa equazione può essere interpretata come sistema elettrico RL con ingresso la tensione e uscita corrente

v Hω i

Parte Meccanica dω + = + =

J Bω Hi T c

dt +

Questa equazione può essere interpretata come sistema meccanico rotatorio con ingresso la coppia e come uscita la velocità angolare

Hi T ω

Accoppiando i due sistemi si ottiene:

Si può usare la manipolazione degli schemi ab locchi per trovare le varie funzioni di trasferimento

Funzione di Trasferimento tra e

v ω

Modellizzazione di Sistemi Fisici 10

Funzione di Trasferimento tra e

T ω

Funzione di Trasferimento tra e

v θ 1 H

(s) = (s) =

W W

v,θ v,ω 2 2

+ (RJ + + (RB + ))

s s(LJ s LB)s H

Dinamica di Flussi tra Serbatoi (t) (t)

Dati serbatoi, rappresenta il volume di liquido nel serbatoio e indica il flusso dal serbatoio al serbatoio

n x i F i j

i ij

∑ ∑

(1) (t) = − (t) + (t) − (t) + (t)

x F F F F

0i

ih hi i0

h=i h=i

 

NOTE:

− (t)

∑ → Flusso uscente da

F i

ih

h=i

 (t)

∑ → Flusso entrante ad

F i

hi

h=i



Modellizzazione di Sistemi Fisici 11

−F (t) + (t) → Resto dell’universo visto come un unico serbatoio fittizio (flussi entranti ed uscenti dall’esterno della rete di serbatoi)

F

0i

i0

Caso Lineare (t) = (x (t)) (t) = (t)

F f F a x

ij ij i ij ij i

NOTA: Se il flusso può essere comandato tramite valvole o pompe allora è un ingresso o un disturbo

Esempio (1) = −a + + − = −F + +

x x a x a x u F F

10 1 21 2 31 3 10 21 31

1 (1) = −a + +

x x a x u

21 2 32 3

2

(1) = −a32x − +

x a x d

3 31 3

3

= (s) (s)

Calcolare funzioni di trasferimento da e l’uscita ( e )

u y x W W

1 uy dy

(1) (1) (1)

+ + = −

OSSERVAZIONE: → É come un grande serbatoio dove tutti i cambiamenti di flussi interni si cancellano

x x x d a x

10 1

1 2 3

Svolgimento (1) = −a + + −

x x a x a x u

10 1 21 2 31 3

1 (1) = −a + +

x x a x u

21 2 32 3

2

(1) = −a32x − +

x a x d

3 31 3

3

Applico Laplace alle condizioni iniziali nulle = −a + + −

sX X a X a X U

1 10 1 21 2 31 3

= −a + +

sX X a X U

2 21 2 32 3

= −a − +

sX X a X D

3 32 3 31 3

Elimino e

X X

2 3 1

=

X D

3 + +

s a a

32 31

1 1 1

a

32

= + = +

X X U D D

2 3

+ + + (s + )(s + + ) 2 +

s a a s a a a a a

21 32 21 21 32 31 21

+ + −s

a s a a a a

31 21 31 21 32

= +

X D U

1 (s + + )(s + )(s + ) (s + )(s + )

a a a a a a

31 32 21 10 21 10

Funzioni di trasferimento −s

(s) =

W

uy (s + )(s + )

a a

21 10

+ +

a s a a a a

31 21 31 21 32

(s) =

W

dy (s + + )(s + )(s + )

a a a a

31 32 21 10

Esercizio

Esercizio 5 del file

Esercizio d’Esame

Esercizio 6 del file

Dinamica di Popolazioni

In un intervallo di tempo ogni individuo ha una certa probabilità di generare un individuo ed ha una certa probabilità di morire

Variabili Utilizzate

→ Numero reale che descrive il numero di individui appartenenti ad una popolazione

x(t)

(t) → Flusso di individui che nasce

F

n (t) → Flusso di individui che muore

F

m → Flusso di migrazione

u(t) = =

NOTA: e → Questi due flussi sono proporzionali al numero di individui della popolazione

F nx(t) F mx(t)

n m

Modello “Semplificato” (1) (t) = (t) − (t) + = (n − + = +

x F F u(t) m)x(t) u(t) ax(t) u(t)

n m

Risposta Libera ed Osservazioni − )

x(0 U(s)

−

+ ⇒ − ) = + ⇒ = +

ax(t) u(r) sX(s) x(0 aX(s) U(s) X(s) −

− s a

s a

−

at

⇒ Risposta Libera: (s) = )

x e x(0

ℓ

<0 = 0 > 0

Se Se la popolazione rimane costante Se → Esplosione demografica

a a a

Modellizzazione di Sistemi Fisici 12

→ Estinzione (L’esponenziale è convergente a 0)

CONCLUSIONE: Questo modello non è realistico

Modello Più Realistico - Modello Logistico

Idea

Trasformo il parametro in una funzione che dipende dalla popolazione

a a(x)

Modello x(t)

(1) = +

(t) = − )x(t) + u(t) f(x(t)) u(t)

x a(1 K

Equilibri

ˉ = 0

NOTA ; Questo è uno dei pochi modelli non lineari che si riesce a risolvere analiticamente

u ˉ

x

− ) ˉ = 0 ⇒ = 0; =

a(s x x x K

1 2

K

ˉ = 0

Linearizzazione nell’Intorno di X

1

(s) = 1/(s −

La funzione di trasferimento è W a)

at

La risposta impulsiva è e

che è instabile: se la popolazione è 0 e metto un po’ di popolazione, essa tende ad esplodere esponenzialmente (questa considerazione vale solo vicino allo 0)

ˉ

Linearizzazione nell’Intorno di X

2 ~

~ (1)

= − ⇒ (t) = −ax(t) +

x x k x u(t)

1

Funzione di trasferimento: (s) =

W +

s a

NOTA: Rispetto a prima cambia il segno → Equilibrio stabile

Dinamica di Popolazioni che Migrano tra Aree Geografiche o Categorie

(t) → Popolazione della regione

x i

i (t) = (x (t), (t)) → Flusso dalla regione alla regione (è funzione a due variabili)

F F x i j

ij ij i j

Equazione del Modello ∑ ∑

(1) (t) = (t) − (t) + (t) + (t)

x a x F F u

i i ih hi i

i  

h=i h=i

∑ ∑

= (t) − (x (t), (t)) + (x (t), (t)) + (t)

a x f x f x u

i i ih i h hi h i i

h=i h=i

 

NOTA: (t) → Indica la natalità/mortalità

a x

i i

Questo è un modello di stato non lineare

Caso Lineare 1 (t) = (t)

F a x

ij ij i

Dall’equazione del modello ricavo:

∑ ∑

(1) (t) = (t) − (t) + (t) + (t)

x a x F F u

i i ih hi i

i h=i h=i

 

∑ ∑

= (t) − (t) + (t) + (t)

a x a x a x u

i i ih i hi h i

 

h=i h=i

∑ ∑

= (a − )x (t) + (t) + (t)

a a x u

i ih i hi h i

h=i h=i

 

Caso Lineare 2 (t) = (x (t) − (t))

F a x

ij ij i j

Dall’equazione del modello ricavo:

∑ ∑

(1) (t) = (t) − (t) + (t) + (t)

x a x F F u

i i ih hi i

i h=i h=i

 

∑ ∑

= (t) − (x (t) − (t)) + (x (t) − (t)) + (t)

a x a x a x u

i i ih i h hi h i i

 

h=i h=i

∑ ∑

(a − (a + ))x (t) + (a + )x (t) + (t)

a a u

i ih hi i ih hi h i

h=i h=i

 

Esempio - Due Popolazioni

(t), (t) → Popolazioni

x x

1 2

= (x − ), = (x − ) → Flussi

F a x F a x

12 12 1 2 21 21 2 1

→ Flusso esterno verso la seconda popolazione

u ( )

Modellizzazione di Sistemi Fisici 13

(1) = − + = − (x − ) + (x − ) = + (a + )(x − ) = + − )

x a x F F a x a x a x a x a x a x α(x x

1 1 12 21 1 1 12 1 2 21 2 1 1 1 12 21 2 1 1 1 2 1

1 (1) = − + + = + (a + )(x − ) + = + − ) +

x a x F F u a x a x u a x α(x x u

2 2 21 12 2 2 12 21 1 2 2 2 1 2

2 Con = +

α a a

12 21

=

Calcolo Funzione di Trasferimento tra Ingresso ed Uscita

u y x

1

Calcolo Trasformata di Laplace = + − )

sX a X α(X X

1 1 1 2 1

= + − ) +

sX a X α(X X U

2 2 2 1 2

Applico un po’ di procedimenti algebrici 1

α

Dalla seconda: (s − + = + → = + U

a α)X αX U X X

1

2 2 1 2 − +

− + s a α

s a α 2

2

2

α α

Sostituico nella prima: (s − + = = +

a α)X αX X U

1 1 2 1

− + − +

s a α s a α

2 2

α

= =

Y X U

1 2

(s − + − + −

a α)(s a α) α

1 2

α

(s) =

W (s − + − + − 2

a α)(s a α) α

1 2

Dinamica delle Epidemie

Modello SI → Numero di Infetti

x(t) −

→ Numero di suscettibili →

s(t) N x(t)

MODELLO DI STATO (1) (t) = −F (t) = −as(t)x(t)

s sx

(1) (t) = (t) =

x F as(t)x(t)

sx

(1) (t) = − = (t)

x a(N x(t))x(t) e s(t) N

x

= 0 =

EQUILIBRI: ,

x x N

1 2

LINEARIZZAZIONE

~ ~ ~ ~

(1) (1)

(t) = (t) =