Teoria di Automazione industriale

SISTEMI

ESEMPIO: UN CIRCUITO ELETTRICO ESEMPIO: AMMORTAMENTO

Somma di una serie di potenze:

ⁿΣ aⁱ = 1 + a + a² + ... + aⁿ = ^{1 - an+1}/_{1 - a}

DIM

(a⁰ + a¹ + a² + ... + aⁿ) (1-a) = 1 - aⁿ⁺¹

ESEMPIO: CRESCITA GEOMETRICA ESEMPIO: CRESCITA LOGISTICA DISCRETA ESEMPIO: PIL ESEMPIO: UN ALLEVAMENTO ESEMPIO: PREVISIONE DEI LAUREATI ESEMPIO: DINAMICA DEI PREZZI MODELLI PER FASI DI ETà DI LESLIE

Un sistema di n equazioni alle differenze del I ordine:

{ x(k+1) = Ax(k) + bu(k)     y(k) = cx(k) + du(k) RIICAVO

y(k) + a₁ y(k-1) = b_o u(k) + b₁ u(k-1)

y(k) = b_o u(k) + (b₁ - a₁ b_o) Σ_i=1 (-a₁)^i-1 u(k-i)

h(i) = {     b_o    se i = 0     (b₁ - a₁ b_o)    se i ≥ 1 y(k) = Σ_i=0 h(i) u(k-i) = Σ_i=0 A_(k-i) u(i)

Impulso e Sinusoide

• f = 0 se n < 0
• S(n) = 1 se n >= 0

Se applico l'impulso a un sistema ottengo:

u(n) = 2 se n >= 0

g(n) = y(n)

Se applico l'impulso di un sistema, ottengo:

g(n) = risposta all'impulso

Teorema sul criterio di stabilità

1) Cond. necessaria: |a(k)| ≤ Un e Σ |a(k)| >= ∞

2) Sejo u=(1,-1) = sgn |a(k)|

u(n) u(n-k)=1

|a(k)| ≤ ∞

y(n) = Σ |a(k) < 1, n ,+1

Σ |a(k+1)| > 0

• sistema esternamente stabile
• sistema instabile

Raddizione:

1. u(n) = a1 u(n-1) + a2 (n-2) + ... + an + 1 + a(n+1)
2. u(k) p a posizioni
3. x1(n+2) t(1,n-1)
4. x2(n) x
5. x(n+1) y(k=1)

Sostituisco:

Se altre n-1 equazioni saranno

x1(n+4) x

Ode:

y(t) + a₁y(t-t₁) + ... + a_ny(t-nt) = b₁u(t-t₁) + ... + b_mu(t-m) (1)

(1 + a₁z^-1 + ... + a_nz^-n) Y(z) = (b₁z^-1 + ... + b_mz^-m) U(z) (2)

Y(z) =                                     U(z)                  a₁z^-(n-1) + .... + a_n(a₀ + a₁z^-1 + ... + a_nz^-n)

H(z)

La risposta impulsiva:

y(t) = ∑ δ (t - kT)        k

y(t) = ½ ρ A_pKquindi H(z) = ½ ρ A_pK

Trasformate

y_p = Kx + b_vu

r_u = KPx - b_vu

r_y = Cx + d_vu

∫y(t) = cX(s) + dU(z)

y(t) = ∫x(t) = A x(t) + b U(z)        x(t) = (zI - A)^-1b U(z)y(t) = (c (zI - A)^-1b + d) U(z)

H(t) =

Stati di equilibrio

x(t + 1) = A x(t) + b u(t)

Supponiamo che u(k + 1) = u_eq = cost k ≥ kT₀Condizione di equilibrio: x(k + 1) = x(k), u(t) = u_eq x(2k) = x(k)

Quindi: x = Ax + buex = (I - A)x = bue

(I - A)x = bue

- se bue = 0, sistema omogeneo (e: rA ¬ 1) potrà avere 0 o soluzioni

- Se u ¬= ue = 0

- Se det (I - A) ¬= allora x = (I - A)^-1 bue

Mos taorren Bjska: Capelli sì

rank (bue) = m₁

rank (I - A | b) = soluzioni

- Se det (I - A) = 0(T - I_θ)

det (I - A) = 0 det T₁ = TmT^-1 = 0

det (T (I ¬ A) = 0det T - bueT ^* = 0det T | det (I - Ax) det (I - T) = 0

quindi det (I - A) = 0 =

det (I - A)∪(I ¬ A) = I θ

quindi almeno l’autovalore di A (ν =

ESEMPIO: il modello di LeontiefES;MPIO: SATURAZIONQMODELLO PREDA-PREDATORE

Se faccio la differenza tra le uscite mi rimane

γ₁(k) - γ₂(k) = CA^kx(k) = 0 ∀k≥0

Per vedere se ci sono stati che danno luogo a una uscita libera non nulla, cioè ci sono stati non osservabili, devo trovare x(0)≠0 e γ(i) non osservabile.

O =     C     CA     CA^n-1

TEOREMA

• Gli stati non osservabili di un sistema appartengono al nullo della matrice O.

1) x ∈ Ker(O) ⇒ x non osservabile

x ∈ Ker(O) ⇔ CAⁱx = 0 ∀ i ≥ 0

2) x ∈ Ker(O) ⇒ x non osservabile

Se x ∈ Rel(O) allora: c*x = 0 ⇒ y(i)=0 ∀i≥0

CA^n-1c = 0 ⇒ y(i)=0

Cioè le prime m uscite sono nulle, ma devo dimostrare che lo sono tutte. Se x che non è in Rel(O), per i ≥ 0 faccio i prodotti:

C(OA - I)ⁱAⁿ - Aⁿ A^-n = 0 ∀ induzioni.

CA^n-1x≠0 e cost via ∀ k≥0

Se il sistema non è completamente osservabile uso una base con le quattro equazioni delle matrici sopra

A₀ = [ A_a1 0 ]

b_s = [ b_a ]

c₀ = [ C₀ ]

γ₁(x) = CA^k x(0) con la trasformazione

γ₁(x) = C T^-1 A^T T x(0)

γ₁(x) = [ C_a1 0 ]

x₂(x) non condiziona l'uscita!

Proprietà 2

La matrice P ha sempre un autovalore di 1, F è un autovettore destro di P. x₀ =