Automazione Industriale, Ietto - Teoria + esercizi

AUTOMAZIONE INDUSTRIALE

TEORIA + ESERCIZI

• SISTEMI A BLOCCHI
• DIAGRAMMI DI BODE
• NYQUIST
• SINTESI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA
• LUOGO DELLE RADICI
• SINTESI NEL LUOGO DELLE RADICI
• PID + METODI DI TARATURA

RICHIAMI DI AUTOMATICA

ipotesi: - sistema lineare: c₁u₁ + c₂u₂ → c₁y₁ + c₂y₂

terzo isomorfismo: proprietà finora invariata rispetto al tempo

sistema causale: y(t) dipende dai valori futuri dell'impulso.

Si può verificare che tutti i sistemi lineari, non causali, hanno questa formula:

Questa rappresentazione è vera qualsiasi sia la forma del sistema.

• Dato l'ingresso u(t) e x(t₀) quale sarà lo stato finale? Quale l'uscita?

Forma esplicita

x(t) = e^A(t-t₀)x(t₀) + ∫_t₀^t e^A(t-τ)B u(τ)dτ

y(t) = Ce^A(t-t₀)x(t₀) + C ∫_t₀^t e^A(t-τ)Bu(τ)dτ

STABILITÀ

(necessaria per progetto)

• INTERNA: È un sistema si dice internamente stabile se per qualsiasi stato iniziale per un t → ∞ l'uscita va a zero.

• ESTERNA: E ogni ingresso limitato corrisponde un'uscita limitata.

INTERNA ⇒ ESTERNA

ESTERNA ⇒ INTERNA

solo se il sistema è sia raggiungibile sia osservabile.

• TRASFORMATA DI LAPLACE (da eq. diff. a eq. algebrica) per semplificare il problema

X(s) = (SI-A)^-1x(t₀) + (SI-A)^-1B u(s)

Y(s) = C(SI-A)^-1x(t₀) + C(SI-A)^-1B u(s)

Funzione di trasferimento W(s) = Y(s) (1x1) U(s)

Qualunque sia la natura di un sistema, W(s) è sempre rapporto di polinomi:

b₀ + b₁s + ... + b_ms^m b(s)

SEG SEMPRE! ai realizza lità

• Radii al numeratore: zeri

• Radii al denominatore: poli

• SISTEMI ISTANTANEI non hanno né zeri, né poli es. traduttore, amplificatore, la cui W è una costante

• STABILITÀ ESTERNA

CONDIZIONE DI STABILITÀ: interna è stabile se e solo se poli hanno parte Re<0.

CANCELLAZIONI

Esempio 1:

Nota - Le parti cancellate non si vedono ma ci sono, fanno dunque parte della dinamica del sistema

Esempio :

Nota - il cancellatore ha degli zeri che cancellano dei poli del processo.

(Posto kd=1)

V_d=^p/_1+Gp ^{1 a_b}/_pa=^p_c/_pa+qb^-

Esempio (con disturbo)

V_d = ^p/_1+Gp = ^b₊b_-/_a+a- = ^{p_c - b₊b_-}/_a+a- = ^p_b+b_-/_pa+qb^- = ^p₊b_-/_pa+qb^-

NON FARE CANCELLAZIONI INSTABILI → si possono cancellare solo poli/zeri STABILI

Esempio :

NO!

2

iw: MONOMIO G(iw) = (iw)^m

MODULO:

|G(iw)|dB = 20 log₁₀ |(iw)^m| = 20m log₁₀ i|iw| = 20m log₁₀

NOTA - Per ogni DECADE:

• m=1 - il valore aumenta di 20dB
• m=2 - il valore aumenta di 40dB

Fase 0 - il diagramma inverte: -20dB a decade (monomio al denominatore)

FASE:

<[G(iw)] = m·90°

• Se m = 1 - fase costante a 90°
• Se m = 2 - fase costante a 180°
• Se m = -1 - fase costante a -90°

3

(1+iwt)ⁿ: BINOMIO G(iw) = (1+iwt)ⁿ

MODULO:

|G(iw)|dB = 20 log₁₀ |1+iwt| = 20 log₁₀ |1+iwt| = 20 log₁₀(1+(wτ)²)^1/2 = 10 log₁₀(1+(wτ)²)

= 20 log₁₀ |1+iwt| = 20 log₁₀

Caso: w²τ²≪1

Log₁₀(1)≈0

Caso: w²τ²≫1

10 log₁₀(wτ)² = 20 log₁₀ wτ = 20 log₁₀ |τ| + 20 log₁₀ w

NOTA - Per ogni DECADE:

• m=1 - fino a 1/τ poi pendenza di 20dB (m=2 pendenza di 40dB)
• m=1 - Traslazione verso sx
• m=-1 - come m=1 ma verso il basso

dB fino alla pulsazione di rottura vale 0 poi sale di 20dB a decade

NOTA: in corrispondenza del p.to di pulsazione di rottura si inizia commettendo un errore pari a 3dB (la lera è la curva vera)

Commenti - MODULO

ω_m = 1600 rad/s^-1

ζ = 0.3

ω₁ = 20 dB rad/s

ω₂ = 40 rad/s

Guadagno statico di Bode: 20log|2| = 6 dB ➔ in ω₀ vale 6 dB, una decade prima vale +26 dB

1. Tratto 1: monomio del denominatore ➔ -20 dB/dec
2. Tratto 2: monomio al numeratore ➔ +20 dB/dec ➔ 0 dB/dec
3. Tratto 3: trinomi al denominatore ➔ 0 dB ▾ 40 dB/dec

Correzioni

• ω: 10, 20, 30, 40
• 1/ω₀: 4, 8, 12, 16
• (trin): -1, +1.5, +3, +4.5
• F(iω): +3, +4.5, +4, +3

Commenti - FASE (k_∞)

1. Tratto 1: constantes e monomio ➔ 0°, 90°, 90° con 0°/dec di pendenza
2. Tratto 2: si aggiunge il monomio al numeratore ➔ -45°/dec
3. Tratto 3: si aggiunge il trinomio al denominatore ➔ 45°/dec ▾ 135°/dec
4. Tratto 4: termina contributo del binomio ➔ 135° + 45° = 90°/dec
5. Tratto 5: termina contributo del trinomio ➔ -30°/dec + 0°/dec = 0°/dec

Correzioni

• ω: 10, 20, 30, 40
• 1/ω₀: 90°, 350°, 55°, 180°
• 1/(ω₁ω₀): 135°, 160°, 325°, 90°
• (trin)¹: -90°, -75°, -160°, -325°
• F(iω): -129°, -195°, -325°, -248°

Nota: fase iniziale - -90° perchè contribuisce solo il monomio

fase finale: -90°, -90°, -180° = 360°

MARIGNI

mg = 15 dB

mq = -180° -30° = -90°

Margini di Stabilità

Un sistema si dice a stabilità regolare quando

1. è stabile per 0 < K < K_c
2. è instabile per K > K_c

K_c: guadagno che corrisponde al passaggio sul polo -1.

Esempio:

F(jω) = ¹/_{(1+0.1jω)(1+0.1jω)}

M(0) = 0

M(∞) = 0

φ(0) = -90°

φ(∞) = -180°

Margine di Guadagno

Nyquist

• F₁(jω) è "più stabile" di F₂(jω) perché ha margine di guadagno più elevato → è più lontano dall'instabilità.
• Standardizzata come △R(jω_c) = -π ⇒ m^mg=1-F(jω_c)
• Poichè F(jω) = K^Π(s-z_i)/_Π(s-pi) = kF'(jω)

Allora m^mg = ^1-F'(jω_c)/₁ (k|F'(jω_c)|) = ^K_c-K/_Kc

Bode

20 log₁₀(^K_c/_K) = 20 log₁₀(k|F'(jω_c)|) = 20 log₁₀(¹/_{k|F'(jωc)|) = -20 log10(|R(jωc)|) dB}