Appunti Teoria dei sistemi

Richiami generali

L'insieme dei tempi si denota con T. Esso può essere:

• T = R per i sistemi a tempo continuo;
• T = Z per i sistemi a tempo discreto.

Per indicare con un unico simbolo l'equazione dell'aggiornamento dello stato si fa uso della notazione generale Δx(t), che corrisponde a:

Δx(t) = { ẋ(t) se T = Rx(k+1) se T = Z

da cui Δx(t) = Ax(t) + Bu(t)

con A matrice dinamica del sistema e B matrice di ingresso.

L'equazione di uscita del sistema è y(t) = Cx(t) + Du(t)

con C matrice di uscita e D matrice del legame diretto ingresso - uscita. Il sistema S complessivo è

• Δx(t) = Ax(t) + Bu(t)
• y(t) = Cx(t) + Du(t)

in cui lo stato tiene "memoria" di tutti gli effetti dinamici del sistema, mentre l'uscita è combinazione lineare delle variabili di stato e degli ingressi applicati (in maniera statica - non contribuisce alla dinamica del sistema).

Per il sistema S,

Richiami generali

L'insieme del tempo si denota con T. Esso può essere:

• T = ℝ per i sistemi a tempo continuo
• T = ℤ per i sistemi a tempo discreto

Per indicare con un unico simbolo l'equazione del l'aggiornamento dello stato si fa uso della notazione generale Δx(t), che corrisponde a:

da cui

Δx(t) = Ax(t) + Bu(t)

con A matrice dinamica del sistema e B matrice di ingresso. L'equazione di uscita del sistema è

y(t) = Cx(t) + Du(t)

con C matrice di uscita e D matrice del legame diretto ingresso-uscita. Il sistema S complessivo è

in cui lo stato tiene “memoria” di tutti gli effetti dinamici del sistema, mentre l'uscita è combinazione lineare delle variabili di stato e degli ingressi applicati (in maniera statica - non contribuisce alla dinamica del sistema). Per il sistema S,

x(t) = φ(t, x₀, u(·))

è la risposta dello stato del sistema, che dipende dalle condizioni iniziali e dall'ingresso del sistema e che può essere divisa in risposta libera x_e(t) e risposta forzata x_f(t).

x(t) = x_e(t) + x_f(t)

La risposta libera è la risposta che darebbe lo stesso sistema senza ingresso u (dunque φ(t, x₀, 0)). La risposta forzata è la risposta che avremmo nello stato del sistema a seguito dell'ingresso di u(·) nel sistema stesso (dunque φ(t, 0, u(·)) a partire da condizioni di riposo.

Il poter rappresentare x(t) come somma della risposta libera e della risposta forzata deriva della proprietà di sovrapposizione degli effetti, che deriva della linearità del sistema.

Uno stato x ∈ ℝᵐ è raggiungibile (da zero) se ∃ t ∈ ℝ, t > 0 e u(·):

φ(t, 0, u(·)) = x

Ovvero, se a partire da zero è possibile "trasferire" lo stato del sistema ad uno stato finale prefissato in un intervallo finito di tempo (progettando opportunamente un controllo per il sistema e supponendo che l'ingresso u(·) sia manipolabile a piacere), lo stato...

prefissato è raggiungibile. Il sistema S è raggiungibile (da zero) se tutti i suoi stati sono raggiungibili.

È opportuno notare come u(.) sia un ingresso del sistema che può avere varia natura. Può essere sia un ingresso di controllo che un ingresso di disturbo.

Uno stato x ∈ ℝ^m è controllabile (a zero) se ∃t ∈ T, t > 0 e u(.):

φ(t, x, u(.)) = 0

Ovvero, se partendo dallo stato x è possibile, mediante anche l'azione di controllo, raggiungere lo stato finale pari a zero in un tempo finito, lo stato x è controllabile. Il sistema S è controllabile quando tutti gli stati sono controllabili. (ovvero, ∀x ∈ ℝ^m φ(t, x, u(.)) = 0).

Nella definizione di raggiungibilità, lo 0 è il punto di partenza, mentre nella definizione di controllabilità è il punto di destinazione. In particolare, lo zero è quel punto che, per ingresso nullo, è sempre equilibrio per il sistema dinamico in esame.

In generale, per i sistemi a tempo continuo, se il sistema è raggiungibile, esso è anche osservabile, e viceversa.

Da tali definizioni derivano due proprietà:

• se uno stato x è raggiungibile, allora

x̄ = φ(t̄, x, 0)

è raggiungibile.

x̄ è la risposta libera a partire da x al

tempo t. A dimostrazione di tale proprietà,

è sufficiente notare come, partendo da 0

e assumendo x raggiungibile, è possibile

raggiungere x in un tempo finito t₁ ap-

plicando al sistema un opportuno ingresso

u(t). A tal punto si annulla l'effetto

dell'ingresso portandolo a 0 e si attende

l'intervallo t durante il quale l'evolu-

zione libera del sistema permette di raggiun-

gere lo stato x̄.

Sinteticamente, è sufficiente non fare nulla

se dopo una prima azione di controllo il

sistema si trova nello stato x̄

• se uno stato x̄ è controllabile, allora se ∃x :

x = φ