Appunti Teoria dei sistemi

Richiamo generale

L'insieme dei tempi si denota con T. Esso può essere:

• T = R per i sistemi a tempo continuo
• T = Z per i sistemi a tempo discreto

Per indicare con un unico simbolo l'equazione dell'aggiornamento dello stato si fa uso della notazione generale Δx(t), che corrisponde a:

Δx(t) = {_ẋ(t) se T = Rx(k+1) se T = Z}

da cui

Δx(t) = A x(t) + B u(t)

con A matrice dinamica del sistema e B matrice di ingresso.L'equazione di uscita del sistema è:

y(t) = C x(t) + D u(t)

con C matrice di uscita e D matrice del legame diretto ingresso-uscita. Il sistema S complessivo è

S {_{Δx(t) = A x(t) + B u(t)y(t) = C x(t) + D u(t)}}

in cui lo stato tiene "memoria" di tutti gli effetti dinamici del sistema, mentre l'uscita è combinazione lineare delle variabili di stato e degli ingressi applicati (in maniera statica non contribuisce alla dinamica del sistema).Per il sistema S,

x(t) = φ(T, x₀, u(.))

e la risposta dello stato del sistema, che dipende dalle condizioni iniziali e dall’ingresso del sistema e che può essere divisa in risposta libera x_e(t) e risposta forzata x_f(t).

x(t) = x_e(t) + x_f(t)

La risposta libera è la risposta che darebbe lo stesso sistema senza ingresso u (dunque φ(T, x₀, 0)). La risposta forzata è la risposta che avremmo nello stato del sistema a seguito dell’ingresso di u(.) nel sistema stesso (dunque φ(T, 0, u(.)) a parità di condizioni di risposo.

Il poter rappresentare x(t) come somma della risposta libera e della risposta forzata deriva dalla proprietà di sovrapposizione degli effetti, che deriva dalla linearità del sistema.

Uno stato x < Rⁿ è raggiungibile (da zero) se ∃ T ∈ T, t > 0 e u(.):

φ(t, 0, u(.)) = x

Ovvero se a partire da zero è possibile trasferire lo stato di sistema ad uno stato finale prefisso in un intervallo finito di tempo (progettando opportunamente un controllo per il sistema, supponendo che l’ingresso u(.) sia manipolabile a piacere), lo stato

possibile in tempo t_a, t_b e applicando v_a / v_b arrivare in x_a / x_b.

x_a = φ (t_a, 0, u_a(.))x_b = φ (t_b, 0, u_b(.))

con v_a definita in [0, t_a] e v_b definita in [0, t_b]. Supponendo t_a ≥ t_b senza perdati di generalità, si definisce

τ ∈ [0, t_a-t_b]̅u_b(t) = {    0                t ≤ t_a-t_b    u_b(t-(t_a-t_b))       t > t_a-t_b

che corrisponde ad una traslazione di u_b per la quale sia v_a che ̅u_b finiscono di agire nello stesso istante t_a. A tal punto si può effettuare la somma

φ (t_a, 0, u_a(.)) + β̅u_b(.)) =

= φ (t_a, 0, u_a(.)) + β φ (t_a, 0, ̅u_b(.)) =

= x_a + β x_b. □

In questa dimostrazione, se fosse stato t_a = t_b,sarebbe bastato applicare unicamente la somma.

Si consideri una matrice E ∈ R^{k x m}. Si definisce il nucleo di E come l'insieme di vettori che sono ortogonali alle righe di E.

Ker (E) = { w ∈ R^m: Ew = 0 }

Vale a questo punto una proprietà:

dim (Ker (E)) = m - rank (E)

Proprietà di matrici quadrate

Si prendono in considerazione una matrice triangolare superiore E ed una matrice triangolare inferiore F

E = [_{E11   E12}]

  [ O  ]

F = [_{F11   O}]

  [ F₂₂  ]

con le matrici sulla diagonali (E₁₁, E₂₂, F₁₁, F₂₂) necessariamente quadrate, risulta che

det (E) = det (E₁₁) det (E₂₂)

det (F) = det (F₁₁) det (F₂₂)

Se il determinante di una matrice è 0, la matrice si definisce singolare e non è invertibile. Se E e F sono non singolari, tali sono anche E₁₁, E₂₂, F₁₁, F₂₂, e si ha che

E^-1 =[_{E11^-1   -E11^-1E12E22^-1}]

  [ O    E₂₂^-1 ]

F^-1 = [_{F11^-1   O}]

  [ -F₂₂^-1   F₂₂^-1F₁₁^-1]

dim (X_r) = n = dim (Im (P)) = m <=>

rank (P) = n = m.

Si vuole ora dimostrare il punto a) dell'ultimo teorema, e per farlo occorre mostrare che ogni stato raggiungibile appartiene al sottospazio Im (P), e che ogni stato appartenente a Im (P) è raggiungibile.

Dimostrazione

Il primo passo della dimostrazione consiste nel dimostrare che l'immagine di P_r è contenuta in X_r, e cioè che se x ∈ Im (P_r), allora x è raggiungibile.

Si sa che

x ∈ Im (P) => x = P_r β

= [B^T; AB^T; ...; A^m-1B]      [B₁      B₂      ...      B_m]

avendo ogni vettore β_i dimensione fissa p.Ponendo u(0) = β_m, u(1) = β_m-1, ..., u(m-2) = β₂,u(m-1) = β₁, si può riscriverex = [A^m-1B; A^m-2B; ...; B]      [u(0)      u(1)      ...      u(m-2)      u(m-1)]

Confrontando questa espressione con quella delle

Esempio:

Il sistema derivato dalla coppia di matrici

è raggiungibile?

Trovare una base per lo spazio degli stati raggiungibili: X_r

Per rispondere ai quesiti: non è necessario calcolare A²B, la terza e la quarta colonna sono combinazioni lineari delle prime due:

e dunque AB è un prodotto che fornisce come risultato delle colonne linearmente dipendenti da B. Moltiplicarlo per A nuovamente non influirà nel cercare il rango di P, ne una base per X_r.

Dunque, essendo rank(P) = 2 < n, il sistema non è raggiungibile, e

Sia G una matrice quadrata. Se G = G^t, allora si ricorda che G e' detta simmetrica

Lemma:

data una matrice reale quadrata e simmetrica G, per essa si ha che

(Im (G))^⊥ = ker (G).

Dimostrazione:

si indichi con m la dimensione della matrice G. Il sottospazio (Im (G))^⊥ e' per definizione l'insieme dei vettori w ∈ ℝ^m tali che w^t · G · β = 0 ∀β ∈ ℝ^m.Vice (dato l'arbitrarieta di β) tali che w^t = 0; ovvero, trasponendo i due membri dell'ultima relazione tali che G · w = 0. ■

Lemma:

per una qualunque matrice reale L vale la relazione

Im (L) = Im (LL^t).

Per avere una rappresentazione grafica di tale risultato,

L ∈ ℝ^m×l,

nel caso in cui l sia

[ L ]