Analisi matematica II - teoria

Appunti di TEORIA del corso di

ANALISI II

Beatrice Meucci

Appunti di TEORIA del corso di Analisi II tenuto dal professor Franco Flandoli presso l'Università di Ingegneria di Pisa (corso di Ingegneria Biomedica). Negli appunti vi sono ANCHE ALCUNI ESEMPI, oltre alla teoria. Gli argomenti trattati sono i seguenti:

• Limiti e continuità delle funzioni in una variabile

  Concetti di base, intorni sferici: "norma", "distanza", "disuguaglianza triangolare", teorema di Bolzano-Weierstrass. Limiti e continuità di funzioni: nozione di "funzione limitata", "funzione continua, teorema di Heine-Cantor, funzione "lipschitziana".

  Curve parametrizzate: immagine, sostegno di una curva, equazioni parametriche di una curva. Calcolo dei limiti: concetto di "punto di accumulazione", limiti in coordinate polari.

• Calcolo differenziale per funzioni con più variabili

  Derivate direzionali e parziali di funzioni a valori scalari: concetti di "versore", "direzione", "rapporto incrementale in una certa direzione", derivabilità di funzioni con più variabili, proprietà elementari e "regola della catena".

  Differenziabilità di funzioni a valori scalari: teoremi sulla differenziabilità, "piano tangente", direzione di massima e minima crescita, teorema del differenziale totale.

• Derivate di ordine superiore

  Derivate del secondo ordine: derivata parziale del secondo ordine, "funzioni k volte differenziabili", derivate miste, teorema di Schwarz, matrice Hessiana.

  Polinomio di Taylor: "polinomio di Taylor di ordine 2". Insiemi convessi e funzioni convesse: combinazione convessa, funzione concava e funzione convessa, teoremi su differenziabilità, convessità, concavità.

  Estremi liberi di funzioni a valori scalari: definizione di "punto critico" (o "punto stazionario"), punto di "estremo locale", "punto di sella". Derivabilità, differenziabilità di funzioni a valori vettoriali: definizioni, "matrice Jacobiana", teorema vari.

• Curve, integrali curvilinei

  Curve in ℝⁿ: definizione di curva "semplice", "chiusa", "piana", "curva cartesiana", coordinate polari di una curva, "concetto di orientazione", "curva di Jordan", "vettore velocità", "retta tangente al sostegno di una curva", "versore tangente" e "vettore tangente", "vettore accelerazione", "velocità e accelerazione scalare", definizione di "curva di classe C¹ a tratti".

  Cambiamento di parametro: curve equivalenti, cambiamenti di parametrizzazione.

  Integrabilità di funzioni vettoriali. Curve rettificabili e lunghezza: definizioni e teoremi. Integrali curvilinei di 1 specie: definizioni e teoremi, "ascissa curvilinea" o "parametro d'arco".

  Integrali curvilinei di 2 specie e forme differenziali: definizioni, teoremi, campo di forze.

  Forme differenziali lineari esatte e chiuse: concetto di differenziale, "funzione potenziale", teorema fondamentale del calcolo integrale, campo di forza "conservativo", forma differenziale "chiusa", concetto di "rotore" e di "campo vettoriale irrotazionale", costruzione del potenziale.

  Insiemi semplicemente connessi: definizioni, teoremi.

• Funzioni implicite, estremi vincolati

  Sistemi lineari e non lineari: concetto di "linearizzazione una funzione nell’intorno di un punto", matrice jacobiana.

  Curve di livello: funzione implicita relativa ad un'equazione, concetto di "punto regolare", curva di livello, retta tangente ad una curva di livello, gradiente di una funzione (ortogonale alla tangente alla curva di livello di una funzione), "piano tangente".

  Estremi vincolati di funzioni di due variabili: concetto di "vincolo" e di "punto di minimo vincolato", "punto di estremo vincolato", "punto stazionario vincolato", "moltiplicatori di Lagrange", "metodo dei moltiplicatori di Lagrange".

• Integrali doppi su rettangoli

  Integrali doppi su rettangoli: concetti di "somma superiore" e di "somma inferiore", suddivisioni di un insieme, "funzione integrabile secondo Riemann", interpretazione geometrica degli integrali doppi su rettangoli, criterio di integrabilità, proprietà dell'integrale, formula di "riduzione su rettangoli", formula di "scambio dell'ordine di integrazione".

• Integrali doppi (caso generale)

  Integrabilità di una funzione,

Distanza

• Distanza euclidea distanza fra due punti x e x^'

d(x,x^')

Proprietà riflessionale e definità

d ( x , x ^' ) = | | x - x ^' |

d ( x , 0 ) = | | x - 0 | | = | | x | |

Differenza di Vettori

e sottrarre il primo dall'opposto del secondo

l₁, l₂, l₃, ... I_m → vettori della base canonica son ortogonali, ovvero vettori posta direzione e di misura 1

X_o = ( x₁ , ...x_m ) = x₁ e₁ + x₂ e₂ + x₃ e₃... + x_m e_m

Un po' di topologia internno a sferico di centro x_o e di raggio ⟹

B_E (X) = { x^' ε Rⁿ : d (x , x^') ⟹ < ε }

S ( X ) = { x^' | d ( x , x^' ) = ε }

def: di limite e di punto di accumulazione

Sia X ⊂ R^m, f: X → R^R, x₀ ∈ ^R_d, Cx₀ è un punto di accumulazione per X.

Diciamo che lim_{X→x0 f(x) = e se ∀ βe(e) ∃ βε(x0). Tali che}

∀ x ∈ β_ε(x₀) ∩ X \ {x₀} succede che f(x) ∈ β _e(e).

Notiamo che:

• X → dominio (sottainsieme di in^m), r^d → codominio.
• x₀ → punto di accumulazione per il dominio.
• β_ε(e) → è un intercvo sferico β di e di raggio ε.
• β_ε(x₀) → è un intercvo sferico β di X_o di raggio ε

• IMP. OSSERVAZ.
• Sia V(c) x
• |funzioni non continue nel loro dominio

• N.B.: tutti i punti rotanti X di dominio non non compresi anche quelli alla frontiera cui iO sono i punti inclusi sono automaticamente i punti di accumulazione.
• NB.: Dato senza parlare di limite, soltanto per i punti di accumulazione e limitato di r e altro dei punti isolanti.

def: di continuità di una funzione in un punto x₀ del dominio.

Sia X ⊂ R^d f : X ⊆ R_a → R_d x ₀ ∈ X (se X₀ è interato), f continua (x₀) per definizione e per conversazione. Se X non è pronunciato (detto non pronunciata), (non pronunciato), per il punto di accumulizione, x₀ non punto isolato. In modo tale che lim _{X→x0 f(x)=f(xo)}

• def. continua.

^{∀ β_ε(x₀) ∃ β_ε (X, tale che ∀ x ∈ β_ε(X₀) ∩ X succede che: f(x) ∈ β_ε (f (x0))}

Ora restringo ƒ(x,y)

∫_A2 ƒ(x,y) = ∫_A1 (x + 2⋆y)

la mia y = -(x +2) / x

Ora che ho trovato ƒ

cerco di calcolarle il limite...

lim x→0 ƒ(x,y) = lim x→0 (x + 2 / x ) = ∞

lim f (x,y) = Ѵ lim x→0 ƒ(x,y) per il teo...

Altro esercizio

lim per (x,y) → ∞ ? lim per (x,y) → ∞

Intando definisco il dominio de la ƒ(x,y)...

e x e y sono molto piccoli si tratta di una forma indeterminata

numeratore denomina...

Se x e y sono molto piccoli

lim ƒ(x,y)

unicamente, il numeratore sempre una forma di determinata...

uso metodi...

r = ƒ² (x, y) ε'