Teoria di Analisi 2 Ingegneria

ANALISI 2

Scheda Riepilogativa (Teoria)

Aⁿ ⊂ Rⁿ = { (x, y) / x ∈ R, y ∈ R }

R³ = { (x, y, z) / x, y, z ∈ R }

• Norma |x| = √(x₁² + x₂² + ... + x_n²)
• Distanza d(x,y) = ||x-y|| = √(∑_i=1ⁿ(x_i - y_i)²)

• Intorno di un punto x ∈ Rⁿ raggio δ > 0

-> se I_δ(x) = B_δ(x) = B(x, δ) = { y ∈ Rⁿ / d(y, x) < δ }

• Punto interno A ⊂ Rⁿ A ≠ ∅, x ∈ A

-> se ∃ δ > 0: I_δ(x) ⊂ A

• Punto interno di un insieme A ⊂ Rⁿ

-> se int A ≠ ∅ = { x ∈ A / x è un punto interno di A }, int A ⊂ A

• Insieme aperto A ⊂ Rⁿ

A aperto se ogni punto di A è interno ad A = (int A = A)

• Insieme chiuso A ⊂ Rⁿ

A chiuso se A^C e un insieme aperto

• Complementare di A A ⊂ Rⁿ

A^C = Rⁿ / A , A^C = { x ∈ Rⁿ / x ∉ A }

• Insieme limitato A ⊂ Rⁿ

-> se ∃ r > 0, A ⊂ I_r(o) onvero : ∃ r > 0: ||x|| ≤ r ∀ x ∈ A

• Insieme connesso A ⊂ Rⁿ

se presi x, y ∈ A, c'è una poligonale che li congiunge

• Punto di frontiera A ⊂ Rⁿ x ∈ Rⁿ

se ∀ r > 0 I^r(x) ∩ A ≠ ∅ e I_r(x) ∩ A^C ≠ ∅

x ∈ Fr(A) se ogni intorno di x contiene punti sia di int A che di A^C

INSIEME DI LIVELLO

F: A⊂Rⁿ→R , c∈R

L_c(F) = {x∈A / F(x) = c}

L_c(F)={x∈Rⁿ/F(x)=c}

N=2 => L_c(F)={x,y∈A / F(x,y) = c}

Z=c PIANO

PUNTO DI ACCUMULAZIONE

A⊂Rⁿ x∈Rⁿ

SE ∃ ALMENO UN PUNTO DI A DIVERSO DA X CIOÈ

∀T>0 I(x) ∧ A ∧ X≠∅

DERIVATO

A⊂Rⁿ

L'INSIEME D(A)={x∈R / x È UN PUNTO DI ACCUMULAZIONE DI A}

PUNTO ISOLATO

A⊂Rⁿ x∈A

SE NON È UN PUNTO DI ACCUMULAZIONE

LIMITE PIÙ VARIABILI

F: A⊂R²→R (x₀,y₀)∈D(A)

lim_{(x,y)→(x0,y0)} F(x,y)=L ∈R SE

∀ε>0 ∃δ>0 |F(x,y)-L| Zⁿ = |z|ⁿ * e^iθn

Eq. 2^o Grado

∂z² + βz + С = 0, ∂, β, С ∈ ℂ, ∂ ≠ 0 => z = −b ± √(b² − 4∂С) / 2∂

Posto z²−w = e

Sia P_n(z)−P_n(z)₂ + z/n!−z ... ∂_n−1z

Polinomi di grado n con coefficienti in ℂ P_n(z)=0 ha almeno 1 sol

Se z₀ è soluzione (z−z₀)P_n−1(z)= P_n(z)

P_n(z)=0 ha esattamente n soluzioni in ℂ contate con la loro molteplicità

Successione

La funzione ⁿ: ℕ→ℝ

∂_n ∈ ℝ | {∂_n}

Convergenza e Divergenza

(^on) converge a l se ∀ε>0, ∃l ⊃, ∀n |0−|_lnⁿ

Analogamente si dice che (^on) è divergente (a +∞ - ∞)

Serie Numerica

Serie Numerica Associata a (^on) e simbolo

∑a_n ^≠ n=1

Successione delle Somme Parziali

Supposizione delle somme parziali di (^on) la successione (S_n)

S_n = ∑_k=1:_φ ∂_k=(∂₁+d₂+...+∂_n)

Carattere della Serie ∑a_{n:', ''}

_Cè, convergente se S_n è convergente

_{Divergente∂∂} ≠ divergente

_Irregulare inglese