Teoria di Analisi 2 Ingegneria

Analisi 2: schema riassuntivo (teoria)

Rⁿ

Rⁿ = { (x₁, x₂, ..., x_n) / x_i ∈ R }

R² = { (x, y) / x ∈ R, y ∈ R }

R³ = { (x, y, z) / x, y, z ∈ R }

Norma

||x|| = √(x₁² + x₂² + ... + x_n²)

Distanza

d(x,y) = ||x - y|| = √∑_i=1ⁿ (x_i - y_i)²

Intorno di un punto

x ∈ Rⁿ, raggio s > 0

Se I_s(x) = B_s(x) = B(x,s) = { y ∈ Rⁿ / d(y,x) < s }

Punto interno

A ⊂ Rⁿ, A ≠ ∅, x ∈ A

Se ∃s > 0: I_s(x) ⊆ A

Punto interno di un insieme

A ⊂ Rⁿ

Se int A = A^° = { x ∈ A / x è un punto interno di A }, int A ⊆ A

Insieme aperto

A ⊂ Rⁿ

A aperto se ogni punto di A è interno a A = (int A = A)

Insieme chiuso

A ⊂ Rⁿ

A chiuso se A^c è un insieme aperto

Complementare di A

A ⊂ Rⁿ

A^c = Rⁿ / A A^c = ∑ x ∈ Rⁿ / x ∉ A

Insieme limitato

A ⊂ Rⁿ

Se ∃ r > 0, A ⊂ I_r(0) ovvero ∃ r > 0 : ||x|| ≤ r ∀x ∈ A

Insieme connesso

A ⊂ Rⁿ

Se presi x, y ∈ A, c’è una poligonale che li congiunge

Punto di frontiera

A ⊂ Rⁿ, x ∈ Rⁿ

Se ∀r > 0 I_r(x) ∩ A ≠ ∅ E I_r(x) ∩ A^c ≠ ∅

x ∈ F_r(A) se ogni intorno di x contiene punti sia di int A che di A^c

Analisi 2: schema riassuntivo (teoria)

Rⁿ

ⁿ = {(x,y) / x ∈ R, y ∈ R}

₂³ = {(x,y,z) / x,y,z ∈ R}

Norma

||x|| = √x₁² + x₂² + ... + x_n²

Distanza

d(x,y) = ||x-y|| = √∑_i=1ⁿ(x_i² - y_i²)

Intorno di un punto

⊆ ⁿ Raggio s > 0

I_s(x) = B_s(x) = B(x,s) = {y ∈ ⁿ / d(y,x) < s}

Punto interno

A ⊂ ⁿ ≠ Ø, x ∈ A

Se ∃ s > 0: I_s(x) ⊆ A

Punto interno di un insieme

A ⊆ ⁿ

int A = A^o = {x ∈ A / x è un punto interno di A}, int A ⊆ A

Insieme aperto

A ⊆ ⁿ

A aperto se ogni punto di A è interno ad A = (int A = A)

Insieme chiuso

A ⊂ ⁿ

A chiuso se A^c è un insieme aperto

Complementare di A

A ⊂ ⁿ

A^c = Rⁿ / A A^c = {x ∈ Rⁿ / x ∉ A}

Insieme limitato

A ⊂ ⁿ

Se ∃ r>0, A⊂I_r(o) ovvero ∃ r > 0. ||x|| ≤ r ∀ x∈A

Insieme convesso

A ⊂ ⁿ

Se presi x,y ∈ A, c'è una poligonale che li congiunge

Punto di frontiera

A ⊆ ⁿ x ∈ ⁿ

Se ∀ r>0 I_r(x) ∩ A ≠ Ø ∈ I_r(x) A^c ≠ Ø

x ∈ F, A = Se ogni intorno di x contiene punti sia di int A che di A^c

Insieme di livello

f: A⊆ℝⁿ→ℝ, c∈ℝ

L_c(f)= {x∈A / f(x)=c}

N=2 => L_c(f)= {(x,y)∈A / f(x,y)=c} ≡

Punto di accumulazione

A⊆ℝⁿ, x∈ℝⁿ

se ∃ l'intorno di A diverso da x cioè∀r>0 I(x) ∧ A \ {x}≠⊘

Derivato

A⊆ℝⁿ

l'insieme D (A)= {x ∈ℝⁿ / x è un punto di accumulazione di A}

Punto isolato

A⊆ℝⁿ x∈A

Se non è un punto di accumulazione

Limite più variabili

f: A⊆ℝ²→ℝ

(x₀,y₀)∈D (A)

lim_{(x,y)→(x0,y0)} f(x,y)= l∈ℝ se∀>0 ∃δ>0 |f(x,y)-l| continua in punto D (A)

Punto di massimo (minimo)

f: A⊆ℝ ⁿ→ℝ x₀∈A

se f(x