Teoria analisi 2

Derivata Parziale

f: A ⊂ Rⁿ → R

A è un aperto, non include i punti di frontiera (bordo)

f ammette derivata parziale rispetto a ciascuna componente x_i se esiste

finito il limite:

lim_h→0 [ f(x₁,..., x_i+h,..., x_n) - f(x₁,..., x_n) ] / h

nel caso n=2:

lim_h→0 [ f(x+h,y) - f(x,y) ] / h = f_x(x,y)

lim_k→0 [ f(x,y+k) - f(x,y) ] / k = f_y(x,y)

Significato geometrico:

derivata parziale rispetto ad x = f_x è f(x,y) variare solo x

Taglio le superficie con un piano ⊥ al piano xy ottenendo una curva

La derivata parziale rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente

alla curva nel punto indicato

Gradiente di una funzione

Il gradiente è un vettore (un n-pla) le cui componenti sono le

Derivate parziale

Df(x) = ∇f(x) = ( ∂/∂x₁ f(x), ..., ∂/∂x_n f(x) )

f è derivabile in un punto x del dominio (A) ⇔ f ammette gradiente in x (f ammette tutte le derivate parziali nel punto)

Differenziabilità

A ⊂ Rⁿ aperto

f: A → R

f è differenziabile nel punto x ∈ A se:

1) f è derivabile in x ( ⇔ f ammette gradiente in x )

2) lim_|h|→0 [ f(x+h) - f(x) - ( Df(x),h ) ] / |h| = 0

N.B. h è un vettore, ha componenti (h₁,...,h_n)

Il differenziale è il prodotto scalare del gradiente nel punto per l'incremento

_i=1ⁿ ∂ⱼf(x)·h_i

f differenziabile ⇒ f(x+h) = f(x) + [Df(x),h] + o(||h||)

x = x₀

h = x - x₀

f(x) = f(x₀) + (Df(x₀), x - x₀) + o(||x-x₀||)

Significato geometrico:

Se g è differenziabile in un punto, allora esiste il piano tangente al prodotto scalare.

Il piano tangente al grafico della funzione f(x) nel punto x₀ è il grafico della funzione lineare

x ∈ Rⁿ → f(x₀) + (Df(x₀), x - x₀)

differenziabilità ⇒ continuità

lim_h→0 f(x+h) = lim_h→0 [f(x)+ (Df(x),h)+ o(||h||)] = f(x)

N.D. derivabilità ≠ continuità in Rⁿ con n > 1

Teorema del differenziale

f: A ⊆ R^m→R, A aperto

• derivabile in un intorno di x ∈ A
• ∂_i continua in x

⇒ (f è differenziabile in x)

Matrice hessiana

Una funzione di 2 variabili è due volte derivabile in un punto se in questo punto ammette le derivate seconde.

nel caso n = 2, è una matrice 2x2 i cui elementi sono le derivate parziali di ordine 2

D²f =

f è derivabile 2 volte in un punto se ammette la matrice hessiana D²f nel punto

Old

punto critico o stazionario

punto x₀ t.c. Dg(x₀) = 0

N.B. deve essere un punto interno

Condizioni sufficiente

f: ℝⁿ→ℝ di classe C²

x₀ è punto critico

1. D²g(x₀) definita positiva ⇒ x₀ punto di min relativo
2. D²g(x₀) definita negativa ⇒ x₀ punto di max relativo
3. D²g(x₀) indefinita ⇒ x₀ è un punto sella

Caso n=2

∇f_☐(x₀,y₀) = ∇g_☐(x₀,y₀) = 0

1. se Hf(x₀,y₀) > 0 , f_xx(x₀,y₀) > 0 ⇒ D²g(x₀,y₀) è definita positiva (x₀,y₀) punto di min relativo
2. se Hf(x₀,y₀) > 0 , f_xx(x₀,y₀) < 0 ⇒ D²g(x₀,y₀) è definita negativa (x₀,y₀) punto di max relativo
3. se Hf(x₀,y₀) < 0 ⇒ D²g(x₀,y₀) è indefinita (x₀,y₀) è un punto sella
4. caso Hf(x₀,y₀) = 0 è più delicato (D²g(x₀,y₀) è semidefinita)

A f definita in A ⊆ ℝⁿ

x₀ ∈ A è punto di max relativo per f se esiste un intorno circolare Bγ(x₀) di centro x₀ e raggio γ>0 t.c. g(x) ≤ f(x) ∀x ∈ Bγ(x₀) ∩ A

Lunghezza di una curva

ϕ: [a,b] → ℝⁿ, ϕ ∈ C¹

: I ∈ I → ϕ(t) = (ϕ₁(t), ..., ϕₙ(t)) ∈ ℝⁿ fint. vett.

L (ϕ) = ∫_a^b |ϕ'(t)| dt con |ϕ'(t)| = √(∑_i=1ⁿ ϕ'ᵢ(t))

Integrale curvilineo

∫_γ ds = ∫_a^b |ϕ'(t)| |ψ(t)| dt

n = 2 |ψ'(t)| = √(x'(t)² + y'(t)²)

In forma cartesiana |ϕ'(t)| = √(ϕ'₁(t) + ϕ'₂(t))

Integrali doppi

• inversione normale rispetto a x
  • a ≤ x ≤ b
  • α(x) ≤ y ≤ β(x)
• inversione normale rispetto a y
  • c ≤ y ≤ d
  • γ(y) ≤ x ≤ δ(y)

Integrali tripli

• per f(x)
  • (x, y) ∈ D
  • α(x, y) ≤ z ≤ β(x, y)
• per strati
  • a ≤ x ≤ b
  • (x, y) ∈ V_x

Coordinate polari

• x = ρ cos θ
• y = ρ sin θ

• ρ = √(x² + y²)
• θ = arcctg y/x

det J(ρ, θ) = ρ

Coordinate cilindriche

• x = ρ cos ϕ
• y = ρ sin ϕ
• z = z
• 0 ≤ ρ ≤ a
• 0 ≤ ϕ ≤ 2π

det J = ρ

Coordinate sferiche

• x = ρ sin θ cos ϕ
• y = ρ sin θ sin ϕ
• z = ρ cos θ
• ρ ≥ 0
• 0 ≤ θ ≤ π
• 0 ≤ ϕ ≤ 2π

det J = ρ³ sin θ

Formula di Taylor

A aperto in Rⁿ (escludo i punti sulla frontiera)

Sia f ∈ C¹(A) (le derivate seconde sono continue)

x, x+th, h ≠ 0, ∈ A

Segmento l(t) = x+th sia contenuto in A

F(t) = f(x+th) = f(x+t h)

rettungo le funzioni al segmento

F'(t) = (Df (x+th),h) = Σ_i=1ⁿ f_xi(x+th) h_i (h_i = d_i x)

F''(t) = (D² f (x+th),h,h) = Σ_i,j=1ⁿ f_xixj(x+th) h_i h_j

Formula di Taylor con il resto di Lagrange:

esiste Θ ∈ ]0,1[, t = 1

f(x+h) = F(1) = F(0)+F'(0)+1/2F''(Θ)(1-0)²

=) f(x+1) = f(x) + Σ_i=1ⁿf_xi(x) h_i + 1/2 Σ_i,j=1ⁿ f_xixj(x+Θh) h_i h_j

= Σ_i,j=1ⁿ (D²f(x),h,h) + (D²f(x+Θh),h)

le derivate seconde sono continue, quindi:

lim_h→0 D₂f(x+Θh) = D₂f(x) + o(h)

si ha → (D²g(x+Θh),h) = (D² g(x),h,h) + o(|h|²)

cioè Σ_i,j=1ⁿ f_xixj(x+Θh) h_i h_j = Σ_i,j=1ⁿ f_xixj(x) h_i h_j + o(|h|²)

= Σ_i,j f_xixj(x) h_i h_j + o(|h|²)

=) Formula di Taylor con il resto di Peano

f(x+h) = f(x) + (D²f(x),h) + 1/2 (D²f(x),h,h) + o(|h|²)