Teoria analisi 2

Derivata parziale

A ⊆ ℝⁿ → ℝ. A è un aperto, non include i punti di frontiera (bordi). La funzione f ammette derivata parziale rispetto a ciascuna componente xi se esiste finito il limite:

lim_h→0 ^{f(x₁,..., xi+h,..., xₘ) - f(x₁,..., xₘ)} / _h

Derivate parziali nel caso n=2

• lim_h→0 ^{f(x+h, y) - f(x, y)} / _h = f_x(x, y)
• lim_k→0 ^{f(x, y+k) - f(x, y)} / _k = f_y(x, y)

Significato geometrico: derivata parziale rispetto a x significa fissare y e variare solo x. Si taglia la superficie con un piano ⊥ al piano xy ottenendo una curva come intersezione. La derivata parziale rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto indicato.

Gradiente di una funzione

Il gradiente è un vettore (un n-pla) le cui componenti sono le derivate parziali:

Df(x) = ∇f(x) = (∂/∂x₁ f(x), ..., ∂/∂xₙ f(x))

f è derivabile in un punto x del dominio ⇒ f ammette gradiente in x (ammette tutte le derivate parziali nel punto).

Differenziabilità

A ⊆ ℝⁿ aperto. f: A → ℝ. f è differenziabile nel punto x ∈ A se:

1. f è derivabile in x (⇔ f ammette gradiente in x)
2. lim_h→0 ^{f(x+h) - f(x) - (Df(x),h)} / _|h| = 0

N.B. h è un vettore, ha componenti (h₁, ..., hₘ)

Derivata parziale di ƒ

A ⊆ ℝⁿ → ℝ. A è un aperto, non includo i punti di frontiera (bordi). ƒ ammette derivata parziale rispetto a ciascuna componente x_i se esiste finito il limite:

lim_h→0 [ƒ(x₁, ..., x_i+h, ..., x_m) - ƒ(x₁, ..., x_m)] / h

Derivate parziali per n=2

• lim_h→0 [ƒ(x+h, y) - ƒ(x, y)] / h = ƒ_x(x, y)
• lim_k→0 [ƒ(x, y+k) - ƒ(x, y)] / k = ƒ_y(x, y)

Significato geometrico: derivata parziale rispetto a x = fisso y e faccio variare solo x. Taglio la superficie con un piano ⊥ al piano xy ottenendo una curva come intersezione. La derivata parziale rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto indicato.

Gradiente di una funzione

Il gradiente è un vettore (un n-pla) le cui componenti sono le derivate parziali:

Dƒ(x) = ∇ƒ(x) = (∂/∂x₁ ƒ(x), ..., ∂/∂x_n ƒ(x))

ƒ è derivabile in un punto x del dominio ⇔ ƒ ammette gradiente in x (⇒ ammette tutte le derivate parziali nel punto).

Differenziabilità

A ⊆ ℝⁿ aperto, ƒ: A → ℝ. ƒ è differenziabile nel punto x ∈ A se:

1. ƒ è derivabile in x (⇔ ƒ ammette gradiente in x)
2. lim_h→0 [ƒ(x+h) - ƒ(x) - (∇ƒ(x),h)] / |h| = 0

N.B. h è un vettore, ha componenti (h₁, ..., h_n)

Il differenziale è il prodotto scalare del gradiente nel punto per l'incremento: \((Dg(x), h) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_{i}}g(x) \cdot h_{i}\)

\(f\) differenziabile ⇒ \(f(x+h) = f(x) + (Df(x), h) + o (|h|)\)

\(x = x_0 \;\;\; h = x-x_0\)

\(f(x) = g(x_0) + (Dg(x_0), x-x_0) + o (|x-x_0|)\)

Significato geometrico: Se \(f\) è differenziabile in un punto, allora esiste il piano tangente al punto (deve essere ben definito il prodotto scalare). Il piano tangente al grafico della funzione \(g(x)\) nel punto \(x_0\) è il grafico della funzione lineare \(x \in \mathbb{R}^n \rightarrow g(x_0) + (Dg(x_0), x-x_0)\).

Differenziabilità ⇒ Continuità

\(\lim_{h \to 0}f(x+h) = \lim_{h \to 0}[g(x) + (Dg(x), h) + o (|h|)] = g(x)\)

N.D. : derivabilità \(\not\Rightarrow\) continuità in \(\mathbb{R}^m\) con \(m > 1\)

Teorema del differenziale

\(g: A \subseteq \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}\), A aperto. \(g\) derivabile in un intorno di \(x \in A\)

Se \(\{g_x\) continua in \(x\}\) ⇒ \(\{g\) è differenziabile in \(x\}\)

Matrice Hessiana

Una funzione di 2 variabili è due volte derivabile in un punto se in questo punto ammette le derivate seconde. Nel caso di \(x=2\) è una matrice 2×2 i cui elementi sono le derivate parziali di ordine 2:

\(D^2 g = \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{bmatrix}\)

\(f\) è derivabile 2 volte in un punto se ammette la matrice hessiana \(D^2f\) nel punto.

Teorema di Schwarz

A ⊆ R² aperto, (x₀, y₀) ∈ A. La funzione f: A → R è derivabile 2 volte in un intorno di (x₀, y₀)

\(∂²xy f ∂²yx\) continue in (x₀, y₀). Il teorema vale in generale (non solo per u=v).

Derivata della funzione composta

(X(t) derivabile in t ∈ I ≠ > F(t) = f(X(t)) è derivabile in t ∈ I e f differenziabile in x(t) ∈ A. x: t ∈ I → (x₁(t), ..., x_m(t)) ∈ R^mm=2. x: t ∈ I → (x₁(t), x₂).