Analisi Matematica 2- teoria

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Esame Analisi matematica 2

Facoltà Ingegneria

Università Università della Calabria

A.A. 2016-2017

77 pagine

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GRAFICI ED INSIEMI DI LIVELLO

GRAFICO → f: A ⊆ ℝⁿ → ℝ z = f(x)

per n=2 tale grafico vive nello spazio

per n=3 il grafico vive in uno spazio di dimensioni ℝ⁴.

CURVE DI LIVELLO → un grafico a curve di livello è un disegno nel piano

in cui si tracciano le linee lungo le quali f ha un

valore costante.

f(x,y)=K con K costante

Esempi

1- f(x,y) = x²+y²

x²+y² = e → circonferenze centrate nell'origine e raggi:

1, √2, √3, 2...

Il grafico della figura sarà un PARABOLOIDE

2- f(x,y) = √(x²+y²)

√(x²+y²) = e → x²+y²=1 → circonferenze centrate nell'origine e

x²+y²=2²=4 raggi: 1,2,3...

x²+y²=9

x²+y²=16

Il grafico della figura è un CONO

GRAFICI ED INSIEMI DI LIVELLO

GRAFICO → f: A ⊆ R^m → R z = f(x)

per m = 2 tale grafico vive nello spazio

per m = 3 il grafico vive in uno spazio di dimensioni ≥ 4.

CURVE DI LIVELLO → un grafico a curve di livello è un disegno nel piano in cui si tracciano le linee lungo le quali f ha un valore costante.

f(x,y) = k con k costante

Esempi

1 - f(x,y) = x² + y²

x² + y² = e → circonferenze centrate nell'origine e raggi: 1, √2, √3, 2...

Il grafico della figura sarà un PARABOLOIDE

2 - f(x,y) = √(x² + y²)

√(x² + y²) = e →

x² + y² = 1 → circonferenze centrate nell'origine e raggi: 1, 2, 3...

x² + y² = 9

x² + y² = 16

Il grafico della figura è un CONO

3. f(x,y) = x²-y²

x²-y²=e

per e=0 → y=±x
per e≠0 → sono iperboli equilatere aventi le rette y=±x come asintoti
se e>0 → iperboli con vertici sull'asse x
se e 0

x² - y ≥ 0
x + y > 0
x + y ≠ 1

2 - SIA E = {(x,y) ∈ ℝ² : x² + y² ≤ 1 e y > x²}

(0, ¹/₂) è INTERNO AD E
(1,0) è ESTERNO AD E
(0,0) è DI FRONTIERA PER E (non appartiene ad E)
(0,1) è DI FRONTIERA PER E (appartiene ad E)

3 - E₁ = {(x,y ) ∈ ℝ² : x² + y² < 1}

INSIEME APERTO

E₂ = {(x,y) ∈ ℝ² : 2x + 3y - 1 = 0}

INSIEME CHIUSO

E₃ = {(x,y) ∈ ℝ² : x² + y² ≤ 1 e y < x²}

INSIEME NÉ APERTO NÉ CHIUSO

Eᵒ = insieme dei punti interni di E (interno di E)

∂E = frontiera e bordo di E

Ē = insieme E∪∂E (chiusura di E)

4. Sia E il "cerchio bucato":

E = {(x,y)∈ℝ²: 0<x²+y²≤1}

∂E = {(x,y)∈ℝ²: x²+y²=1} ∪ {(0,0)}

Ē = {(x,y)∈ℝ²: x²+y²≤1}

Eᵒ = {(x,y)∈ℝ²: 0<x²+y²<1}

DERIVATE PARZIALI

f(x,y) = x²y³
- f_x = 2xy³
- f_y = 3x²y²

PIANO TANGENTE

z = f(x₀, y₀) + f_x(x₀, y₀)(x-x₀) + f_y(x₀, y₀)(y-y₀)

z = x² + y² NEL PUNTO (1,1)
- f_x = 2x
- f_y = 2y
- f_x(1,1) = 2
- f_y(1,1) = 2
- f(x₀, y₀) = 2
z = 2 + 2(x-1) + 2(y-1)
z = 2 + 2x - 2 + 2y - 2
z = 2x + 2y - 2
f(x,y) =
- x y / (x² + y²) se (x,y) ≠ (0,0)
- 0 se (x,y) = (0,0)
le derivate parziali di f nell'origine esistono e sono nulla, dunque il piano tangente sarà: z = 0

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