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GRAFICI ED INSIEMI DI LIVELLO
GRAFICO → f: A ⊆ ℝm → ℝ z = f(x)
per m=2 tale grafico vive nello spazio per m=3 il grafico vive in uno spazio di dimensioni ℝ4.
CURVE DI LIVELLO → un grafico a curve di livello è un disegno nel piano in cui si tracciano le linee lungo le quali f ha un valore costante.
f(x, y) = K con K costante
Esempi
1. f(x, y) = x2 + y2
x2 + y2 = e → circonferenze centrate nell'origine e raggi: 1, √2, √3, 2...
Il grafico della figura sarà un PARABOLOIDE
2. f(x, y) = √(x2 + y2)
√(x2 + y2) = e → x2 + y2 = 1 → circonferenze centrate nell'origine e raggi: 1, 2, 3...
x2 + y2 = 9
x2 + y2 = 16
Il grafico della figura è un CONO
3. f(x,y) = x2 - y2
x2 - y2 = e per e = 0 → y = ±x per e ≠ 0 → sono iperboli equilatero aventi le rette y = ±x come asintoti se e > 0 → iperboli con vertici sull'asse x se e < 0 → iperboli con vertici sull'asse yIl grafico della funzione si chiama PARABOLOIDE IPERBOLOCO
4. f(x,y) = √(1 - x2 - y2)
√(1 - x2 - y2) = e x2 + y2 = 1 - e2 circonferenze con centro nell'origine e raggio √(1 - e2) purché 0 ≤ e ≤ 1Il grafico della funzione è una
GRADIENTE
Dvf(x0) = ∇f(x0)·v
-
f(x,y) = exsen2y
(0,0)
v = (cosθ, senθ)
∇f(x,y) = ?
fx = ex
fy = 2cos 2y
→ ∇f(x,y) = (ex, 2cos2y)
∇f(0,0) = (1,2)
Dvf(0,0) = ∇f(0,0)·v = (1,2)·(cosθ,senθ) =
= cosθ + 2senθ
-
f(x,y) = xy/x4+y2 se (x,y) ≠ (0,0)
0 se (x,y) = (0,0)
v = (cosθ,senθ)
g(t) = f(tcosθ, tsenθ) → per t ≠ 0
g(t) = t3cosθsenθ/t4cos4θ + t2sen2θ
g(t) = t cos2θ senθ/t2cos4θ + sen2θ
g'(t) = cos2θ senθ (t2cos4θ + sen2θ) + 2tcosθ (tcos2θsenθ)/(t2cos4θ + sen2θ)2 =
Dvf(0,0) = g'(0) = cos2θ senθ (sen2θ)/sen4θ = cos2θ/senθ (purché senθ ≠ 0)
SUPERFICI DI ROTAZIONE
Molte comuni superfici, si possono ottenere facendo ruotare una curva γ, detta GENERATRICE, attorno ad un asse.
Preso z l'asse attorno a cui vogliamo far ruotare una curva:
- x = x(t)
- z = z(t)
t ∈ I
In tal caso la superficie che si ottiene con una rotazione completa della curva γ attorno all’asse z:
- x = x(t) cosθ
- y = x(t) senθ
- z = z(t)
t ∈ I, θ ∈ [0, 2π)
SFERA
- x = Rsenφ
- z = Rcosφ
φ ∈ [0, π]
Equazione della sfera:
- x = Rsenφ cosθ
- y = R senφ senθ
- z = Rcosφ
φ ∈ [0, π], θ ∈ [0, 2π)
TORO
- x = R + rcosφ
- z = rsinφ
φ ∈ [0, 2π)
Equazione del toro:
- x = (R + rcosφ) cosθ
- y = (R + rcosφ) senθ
- z = rsinφ
φ ∈ [0, 2π), θ ∈ [0, 2π)
2- nell'ipotesi che la densità superficiale sia ρ(x,y) = e(1+x) con c costante:
Calcoliamo la massa totale:
M = ∫01∫01-x ρ(x,y) dx dy = ∫01 dx ∫01-x e(1+x) dy =
= ∫01 e(1+x)(1-x) dx = [e(1+x - x2/3)]01 = 2/3 e
Calcoliamo dunque il baricentro:
-x = 1/3 ∫01 x c(1+x) dx ∫01-x dy = 3/2e [x e(1+x)(1-x)]01 =
= 3/2e ∫01 x(1-x)2 dx = 3/2ϕ [x2/2 - x4/4 + x]01 = 3/4ϕ [x4/4 - x3/3 - x2/2 + x]01 = 3/4 (1/4 + 1/3 - 1/2 + 1) = 3/4 ∙ 5/12 = 5/16
= 3/4 (1/4) = 3/4
2-
I = ∫∫ sen(y3) dxdy
= ∫01 dx ∫0√x sen(y3) dy =
= ∫01 sen(y3) dy ∫0y2 dx = ∫01 y2 sen(y3) dy = [1/3 cos(y3)]01 =
= 1/3 (1 - cos2) = 1/3 (1 - cos2) ∼ 0,153
INTEGRAZIONE "PER STRATI"
Sia Ω un dominio:
Ω= { (x,y,z) : h₁ ≤ z ≤ h₂, (x,y) ∈ Ω(z) }
∭Ω f(x,y,z) dx dy dz = ∫h₁h₂ ( ∬Ω(z) f(x,y,z) dx dy ) dz
1- Ω= { (x,y,z) : x² + y² ≤ ( R/h )² z² , 0 ≤ z ≤ h }
∬Ω (x² + y²) dx dy dz = ∫0h ( ∬ (x² + y²) dx dy ) dz =
x² + y² ≤ ( R/h z)²
passando in coordinate polari: ρ ∈ [0, ], θ ∈ [0,2π]
= ∫0h dz ∫02π dθ ∫0(R/h)z ρ² ρ dρ =
= 2π ∫0h dz [ ρ⁴/4 ](R/h)z0 = 2π ∫0h R/4h⁴ z⁴ dz =
= 2πR⁴/4h⁴ [z⁵/5 ]h0 = 2πR⁴/4h⁴ h⁵/5 = R⁴πh/10
CAMBIO DI VARIABILE
{ x = x(u,v,ω)
y = y(u,v,ω)
z = z(u,v,ω)
∭D f(x,y,z) dx dy dz = ∭D' f(x(u,v,ω), y(u,v,ω), z(u,v,ω)) det DT(u,v,ω) du dv dω
dove DT(u,v,ω) indica la matrice Jacobiana
dx dy dz = |det DT(x,y,ω)| du dv dω
4.
Calcolare l'area della chiocciola di Pascal descritta in forma polare da ρ = 1 + cosθ per θ ∈ [0, 2π]
|∫| = 1/2 ∫Γ (x dy - y dx)
Γ: r(θ) = (1 + cosθ) cosθ, (1 + cosθ) senθ) θ ∈ [0, 2π]
r'(θ) = (-2 cosθ senθ, cosθ + cos2θ - sen2θ) =
= (- sen2θ, cosθ + cos 2θ)
= 1/2 ∫02π ((1 + cosθ) cosθ . cosθ + cos 2θ + (1 + cosθ) senθ . (sen 2θ + senθ)) dθ
= 1/2 ∫02π (1 + cosθ) (1 + cos2θ cosθ + sen 2θ senθ) = 1/2 ∫02π (1 + cosθ)2 dθ =
= 1/2 ∫02π (1 + 2 cosθ + cos2θ) dθ = 1/2 (2π + 0 + π) = 3/2 π
5.
Calcolare l'area dell'epicicloide r(θ)= (αcosθ - eos(αθ), αsenθ - sem(αθ))) per θ ∈ [0, 2π] dove α ≤ 2
r'(θ) = (- αsenθ + α sen(αθ), α cosθ - α cos(αθ))
|∫| = 1/2 ∫Γ (x dy - y dx)
= 1/2 ∫02π [(α cosθ - cos(αθ)):(αcosθ - αcos(αθ)) - (α senθ - sen(αθ)):(- α senθ + α sen(αθ))] dθ =
= 1/2 ∫02π (α2 + α - (α2 + α) cosθ cos(αθ) - (α2 + α) senθ sen(αθ) ) dθ =
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