Analisi 2 (Riassunto Teoria)

Topologia in Rⁿ

Norma euclidea

||x̅|| = √(x₁² + ... + xₙ²) > 0

x̅ = x₁y₁ + ... + xₙyₙ ∈ R

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

(x̅ | y̅) ≤ ||x̅|| ||y̅||

Disuguaglianza triangolare

||x̅ - y̅|| ≤ ||x̅|| + ||y̅||

Disuguaglianza di Schwarz

||x̅ + y̅|| ≤ ||x̅|| + ||y̅||

Distanza euclidea

d(x̅, y̅) = ||x̅ - y̅||

Intorno sferico

Intorno sferico di x̅₀ = B_ε(x̅₀) per qualche ε > 0

Punto di accumulazione

x̅₀ è accumulazione per ξ se per ogni ε > 0 ∈ (B_ε(x̅₀)) ∈ {x̅₀}

Punto isolato

x̅₀ è isolato se x̅₀ ∈ ξ e non è di accumulazione, ossia esiste ε > 0 per cui B_ε(x̅₀) ∩ ξ = {x̅₀}

Punto interno

x̅₀ interno ad ξ se esiste intorno di x̅₀ contenuto in ξ ⇔ x̅₀ ∈ intorno ad ξ ⇔ x̅₀ ∈ ξ°

Punto esterno

x̅₀ esterno ad ξ ⇔ è interno al complementare di ξ (x̅ ∈ Rⁿ \ ξ)

Punto di frontiera

x̅₀ è frontiera di ξ se non è né interno né esterno

Insieme aperto

ξ è aperto se ξ = ξ°

Insieme chiuso

ξ è chiuso se ξ = ξ̅ (ξ chiuso ⇔ Rⁿ \ ξ aperto)

Intorni di A

Sottoinsiemi di Rⁿ che contengono il complementare di una palla chiusa B̅_ε {x̅ ∈ Rⁿ ||x̅|| ≤ A}

Norma euclidea

|x| = √⟨x, x⟩ = √x₁² + ... + x_n² > 0

⟨x, y⟩ = x₁y₁ + ... + x_ny_n ∈ ℝ

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

⟨x, y⟩ ≤ |x||y|

Disuguaglianza triangolare

|x + y| ≤ |x| + |y|

Disuguaglianza di Schwarz

⟨x, y⟩ ≥ 0 se x = αy

Distanza euclidea

|x - y| = √⟨x - y, x - y⟩

Intorno sferico

Intorno sferico di x₀: B_ε(x₀) per qualche ε > 0

Punto di accumulazione

x₀ è accumulazione per E se per ogni ε > 0 ∈ (B_ε(x₀) ∩ E) &backslash; {x₀}

Punto isolato

x₀ è isolato se x₀ ∈ E e non è di accumulazione, ossia esiste ε > 0 per cui B_ε(x₀) ∩ E = {x₀}

Punto interno

x₀ interno ad E se esiste intorno di x₀ contenuto in E E⁰ = interno di E ⇔ E⁰ ⊆ E

Punto esterno

x₀ esterno ad E se è interno al complementare di E (E^c)⁰ = Rⁿ &backslash; E

Punto di frontiera

x₀ ∈ frontiera di E se non è né interno né esterno

Insieme aperto

E aperto se E = E⁰

Insieme chiuso

E chiuso se E = E⁰ (E chiuso ⇔ Rⁿ &backslash; E aperto)

Intorni di x

Sottoinsiemi di Rⁿ che contengono il complementare di una palla chiusa B_A(x₀): {x | |x| ≤ A}

Limiti

Limite funzioni scalari di n variabili

f: Rⁿ → R c'è Rⁿ | f(x) ad accumulazione per X, L è R, U ⊃ {p}, X ⊃ Rⁿ se f(x) = L se per ogni intorno V di L esiste un intorno U di x₀ tale che x ∈ ((U \ {x₀}) ∩ X → f(x) ∈ V

Limite funzioni vettoriali di n variabili

f: Rⁿ → R^m, f(x) = (f₁, ..., f_m) con f_i: Rⁿ → R, ad accumulazione per x₀ {f(x)} = {f₁(x), ..., f_m(x)} se per ogni intorno V di x₀ esiste un intorno U di x₀ tale che x ∈ ((U \ {x₀}) ∩ X → f_i(x) ∈ V_i, i = 1, ..., , m con U = (V₁ × ... × V_m)

Continuità

f: R^m → R si dice continua in x₀ ∈ X se: x₀ ∈ isolato in X oppure ad accumulazione per x₀, lim_{x ∈ X^x0} f(x) = f(x₀)

f: Rⁿ → R^m continua in x₀ ∈ X se e f_i continua in x₀ i = 1, ..., , m

Limite successioni in Rⁿ

{x_k} successione a valori in x₀ ∈ Rⁿ si dice che {x_k} converge ad x₀ se per ogni intorno U di x₀ esiste h> 0 tale che n ≥ h tale che x_k ∈ successione in Rⁿ

lim_{k → +∞} x_k = x₀ qualora {x_k} con