Analisi 2 (Riassunto Teoria)

TOPOLOGIA IN Rⁿ

NORMA EUCLIDEA

||x⃗|| = √_i=1ⁿ(x_i)² ≥ 0 x⃗ · y⃗ = x₁y₁ + ... + x_ny_n ∈ ℝ

DISEGUAGLIANZA CAUCHY–SCHWARZ

|x⃗ · y⃗| ≤ ||x⃗|| · ||y⃗||

DISEGUAGLIANZA TRIANGOLARE

||x⃗ + y⃗|| ≤ ||x⃗|| + ||y⃗||

DISEGUAGLIANZA DI SCHWARZ

⟨x⃗|y⃗⟩ ≤ ||x⃗|| · ||y⃗||

DISTANZA EUCLIDEA

d(x⃗, y⃗) = ||x⃗ - y⃗||

INTORNO SFERICO

Intorno sferico di x⃗₀ = B_ε(x⃗₀) per qualche ε>0

PUNTO DI ACCUMULAZIONE

X₀ è accumulazione per E se per ogni ε>0 ∈ (B_ε(x⃗₀)) \ {x⃗₀}

PUNTO ISOLATO

X₀ è isolato di se x⃗₀ ∈ E e non è di accumulazione, ossiaesiste ε > 0 per cui B_ε(x⃗₀) ∩ E = {x⃗₀}

PUNTO INTERNO

x⃗₀ interno ad E se esiste intorno di x⃗₀ contenuto in E ⟺∃ε intorno al x⃗₀ ⊆ E (⟹ x⃗₀ ∈ E⁰)

PUNTO ESTERNO

x⃗₀ esterno ad E ⇔ x⃗₀ ∈ intorno al complementare di E(x⃗₀ ∈ ℝⁿ \ E ⟹ x⃗₀ ∈ (E^c)⁰)

PUNTO DI FRONTERA

x⃗₀ ∈ frontiera di E se non è né interno né esterno

INSIEME APERTO

E aperto se E = E⁰

INSIEME CHIUSO

E chiuso se E = ℝⁿ \ E^c (E chiuso ⟺ ℝⁿ \ E aperto)

INTORNI DI ∞

Sottoinsiemi di Rⁿ che contengono il complementare di una pallachiusa: B_A(∂^o) = {x⃗ : |x⃗| ≤ A}

LIMITI

LIMITI DI FUNZIONI SCALARI DI n VARIABILI

f: Rⁿ ⊃ X → R, ξ ∈ Rⁿ

f(x) ad accumulazione per x, l ∈ R [spor (apro)]

f(x) → l se per ogni intorno V di l, esiste un intorno U di ξ tale

che (U \ {ξ}) ∩ X → f(x) ∈ V

LIMITI FUNZIONI VETTORIALI DI n VARIABILI

f: Rⁿ ⊃ X → R^m f(x) = (f₁, ..., f_m) con f: Rⁿ ⊃ X → R, ξ ad accumulazione per

f(x) → L se per ogni intorno V di ξ, esiste

un intorno U di ξ tale che (U \ {ξ}) ∩ X → f(x) ∈ V

lim _{x → ξ} f(x) = L L ∈ R^m con L = (l₁, ..., l_m)

CONTINUITÀ

f: Rⁿ ⊃ X → R si dice continua in ξ₀ ∈ X se: ξ₀ isolato in X oppure

f: Rⁿ ⊃ X → R si dice continua in ξ₀

se: f è continua in ξ₀ se e solo se:

f: Rⁿ ⊃ X → R^m (f_j, ..., f_m) con f: Rⁿ ⊃ X → R, f continua in ξ₀ f

LIMITI SUCCESSIONI IN Rⁿ

(x_k) successione a valori di Rⁿ, L ∈ Rⁿ Si dice che (x_k) converge ad

L se: per ogni intorno U c’è un k̄ tale che

x_k ∈ U ∀k > k̄

(x_k) = (a_1k, a_2k, ..., a_nk) convergente ⇔ (a_ik) converge

ad l_i per i = 1, ..., n ⇔

TEOREMA PONTE

F: Rⁿ ⊃ X → R, ξ ∈ ad accumulazione per X sono equivalenti:

• 1) lim _{x → ξ} f(x) = L
• 2) lim _{k → ∞} f(x_k) = L per ogni successione (x_k) con x_k ∈ X, x_k → ξ (x_k)
• converge a ξ per k → ∞

LIMITI E RESTRIZIONI

f: Rⁿ ⊃ X → R, ξ ∈ ad accumulazione per X, Y_d c X tale che ξ sia

ad accumulazione per Y_d Allora:

lim _{x → ξ, x ∈ X} f(x) = l ⇐⇒ se esiste lim _{yd → ξ, x ∈ Yd} f(x) questo vale l

lim _{x → ξ, x ∈ X} f(x) = l ⇐⇒ lim _{yd → ξ, x ∈ Yd} f(y) = l

lim _{x → ξ, x ∈ X} f(x) = l ⇐⇒ se: lim _{x → ξ} f(x) = l₂, l₁ ≠ l₂ ⇐⇒ lim _{x → ξ} f(x) = f(x)

x ∉ z ⇐ x appartenente finito

non esiste x ∀u ∀l ∀Y _k lim _{x → ξ, x ∈ Yk} F(x) = l

LIMITI E COORDINATE POLARI

(x, y) ∈ R² | x = x₀ + ρcosϑ con ρ, E ⊃ [0, 2π] lim

x → X (x, y)

(x = y₀ + ρsinϑ) ⇐

lim _{ρ → 0⁺} f(x₀ + ρcosϑ, y₀ + ρsinϑ) = F(x, y)

Forme Quadratiche

Forme quadratiche associate a matrici simmetriche

A ∈ M_n (simmetrica) forma quadratica associata ad A: q_A Rⁿ ⟶ R,

q_A (x) = x^TAx

Forme definite e semidefinite positive e negative, forme indefinite

Si dice

• definita positiva (rispettivamente negativa) se q_A (x) > 0 (rispettivamente < 0).
• semidefinita positiva (rispettivamente negativa) se la disuguaglianza vale per x ≠ 0 ma non se x = 0

Caratterizzazione forme mediante gli autovalori

• a) A ≥ 0 (rispettivamente ≤ 0) ⟺ tutti gli autovalori sono ≥ 0 (rispettivamente ≤ 0)
• b) A > 0 (rispettivamente < 0) ⟺ tutti gli autovalori sono > 0 (rispettivamente < 0)
• c) A indefinita ⟺ autovalori di ambo i segni

Curve

Curva semplice

\(\vec{\gamma} : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n\) si dice semplice se \(\vec{\gamma}\) iniettiva se \(\vec{\gamma}\) è chiusa

Curva chiusa

\(\vec{\gamma} : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n\) si dice chiusa se \(\vec{\gamma}(a) = \vec{\gamma}(b)\)

Curva di Jordan

\(\vec{\gamma} : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^2\) si dice di Jordan se è semplice e chiusa

Curva regolare

\(\vec{\gamma} : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n\) si dice regolare se \(\vec{\gamma}'(t) \neq \vec{0} \, \forall \, t \in (a,b)\)

Curva regolare a tratti

\(\vec{\gamma} : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n\) si dice regolare a tratti se esiste una suddivisione \([t_i]_{i=0}^n \text{ di } [a,b] \text{ tale che } \vec{\gamma} \, \text{ sia regolare } \forall \, i : 0,1,...,N-1\)

Vettore e versore tangenti ad una curva

Se \(\vec{\gamma}\) è derivabile in \(t_0\) allora \(\vec{\gamma}'(t_0)\) si dice vettore tangente

\(\vec{T}(t) = \frac{\vec{\gamma}'(t)}{|\vec{\gamma}'(t)|}\) si dice versore tangente in \(\vec{\gamma}\) in \(t_0\)

Coordinate polari di una curva piana

Se \(p : (c,d) \rightarrow \mathbb{R}^2\) si dicono coordinate polari della curva \(p : I \rightarrow R^2\)

\(p(\theta) = (p(\theta)\cos{\theta}, p(\theta)\sin{\theta}) \text{ con } \theta \in I\)

Curve equivalenti

\(\psi'(t) < 0 \ o \ \psi'(t) > 0\) sempre

\(\vec{\gamma} : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n\), \(\vec{\gamma}' : [c,d] \rightarrow \mathbb{R}^n\) sono equivalenti se esiste \(\psi : [c,d] \rightarrow [a,b]\) regolare, b1-1 tale che \(\vec{\gamma}'(t) = \vec{\gamma}(\psi(t))

(\(t \in [a,b]\), \(t \in [c,d]\), \(t = \psi(t) \text{ cambio di parametri}\))

Notai. \(\psi'(t) > 0 \, \forall \, t\) oppure \(\psi'(t) < 0 \, \forall t\) (crescente o decrescente)

Integrali Doppi su un Rettangolo

Suddivisione per Funzioni Positive

F: Q → R, F ≥ 0, limitata.

Q = [a, b] x [c, d] ⊂ R², P = {x₀, x₁, ..., xₘ; y₀, y₁, ..., yₙ}, x₀ ≤ x₁ ≤ ... ≤ xₘ, y₀ ≤ y₁ ≤ ... ≤ yₙ

Qᵢⱼ = [xᵢ, xᵢ₊₁] x [yⱼ, yⱼ₊₁]

Somme Superiori Inferiori Funzioni Positive

1. Somma inferiore: s(P, F) = Σ Σ mᵢⱼ |Qᵢⱼ| con mᵢⱼ = inf_Qᵢⱼ f
2. Somma superiore: S(P, F) = Σ Σ Mᵢⱼ |Qᵢⱼ| con Mᵢⱼ = sup_Qᵢⱼ f

Funzioni Positive Integrabili su un Rettangolo

f è Riemann integrabile su Q se sup_P s(P; f) = inf_P S(P; f) e si pone ∫_Q F(x, y) dxdy tale valore

Parte Positiva e Parte Negativa

F: Q → R, limitata

• Parte positiva: F⁺(x, y) = f(x, y), f(x, y) ≥ 0
• altrimenti F⁺(x, y) = 0
• Parte negativa: F^-(x, y) = -f(x, y) f(x, y) ≤ 0
• altrimenti F^-(x, y) = 0

Funzioni Integrabili su un Rettangolo

f ∈ R(Q) se F⁺, F^- ∈ R(Q) e si pone ∫_Q F = ∫_Q F⁺ - ∫_Q F^-

Proprietà Integrali Doppi su Rettangolo

• F, g ∈ R(Q), a, b ∈ R
• Se 3F + bg ∈ R(Q) allora 3∫_Q F + b ∫_Q g = a ∫_Q F + b ∫_Q g (linearità)
• Se F ≤ g in Q allora ∫_Q F ≤ ∫_Q g (monotonia)
• F ∈ R(Q) e - | ∫_Q ≤ ∫_Q |F| (triangolare)
• inf_Q F ≤ F ∫ |Q| ≤ sup_Q F
• "media" = (media integrale)

Formule di Riduzione

• Q compatto ⇒ limitata
• Q = [a, b] x [c, d], F ∈ C(Q), allora F ∈ R(Q) e vale ∫_Q F(x, y) dx dy =
• ∫^b_a F(x, y) dy dx = ∫^b_a (∫^d_c F(x, y) dy) dx