(6/6) Scienza delle Costruzioni: Teoria delle strutture

Teoria delle Strutture

Legame elastico lineare per la trave monodimensionale

Si considerano MATERIALI ELASTICI, LINEARI e ISOTROPI, in quanto qualunque materiale può, in prima approssimazione, essere ricondotto a questa classe.

Comportamento Assiale

Nella FASE ELASTICA la contrazione trasversale è modesta, pertanto l'area effettiva A della sezione retta si può assumere uguale a quella iniziale A₀. E la tensione normale pari a:

• TENSIONE NORMALE ^{FORZA DI} T _{TRAZIONE NORMALE} = ^N / _A A_EFFETTIVA

Poi, se il materiale si comporta seguendo un comportamento elastico lineare, si ha:

σ = ε •（tg α / E）→ N = EEε → ε = N / AE

La relazione può essere ritenuta valida localmente anche per il generico elemento infinitesimo di trave.

DEFORMAZIONE ASSIALE

Infatti, nel generico elemento di trave dovuta alla forza assiale agente su essa si ha:

ε_a(z) = N(z) / EA

• FORZA ASSIALE agente sull'elemento di trave
• RIGIDEZZA ASSIALE della trave (forza normale da applicare all'elemento di trave per ottenere una deformazione assiale unitaria)
• MODULO DI YOUNG
• AREA SEZ. RETTA

Comportamento Flessionale

Curvatura-tensione, nel generico elemento di trave dovuta al momento flettente agente su esso si ha:

χ(z) = M(z) / EI

• MOMENTO FLETTENTE agente sull'elemento di trave
• MOMENTO D'INERZIA della sez. in rispetto all'asse
• RIGIDEZZA FLESSIONALE
• Modulo di Young

TEORIA delle STRUTTURE

Legame elastico lineare per la trave monodimensionale

Si considerano MATERIALI ELASTICI, LINEARI e ISOTROPI, in quanto qualunque materiale può, in prima approssimazione, essere ricondotto a questa classe

COMPORTAMENTO ASSIALE

Nella FASE ELASTICA la contrazione trasversale è modesta, pertanto l’area effettiva A della sezione retta si può assumere uguale a quella iniziale A_o. e la tensione normale pari a:

TENSIONE NORMALE

T = F / A

Poi che il materiale si comporta secondo un comportamento elastico lineare si ha:

ɛ = (t - t_o) / E

N = EEɛ = ɛ = N / AE

La relaziona puo essere ritenuta valida localmente anche per il generico elemento infinitesimo di trave

DEFORMAZIONE ASSIALE

Incide a

c_e(z) = N(z) / EA

COMPOR.TAMENTO FLESSIONALE

CURVATURA TELESC

c_e(z) = M(z) / EI

Distorsioni termiche

Nelle applicazioni strutturali, le deformazioni possono essere provocate non solo da azioni meccaniche interne, ma anche da cause di origine diversa.

Distorsioni termiche: si constata sperimentalmente che, sottopendo l'attacco a variazioni di temperatura, questa manifesta deformazioni assiali e incurvamenti la cui entità dipende dalla geometria e dal materiale.

• Variazione termica uniforme: data una trave isostatica e appeso d'appoggio, si supponga la temperatura dell'ambiente circostante vari uniformemente di ΔTm (aumenta positiva in caso di riscaldamento). Trascurando un appoggio intersecato ortermo, la temperatura all'interno della trave si modifica di ΔTm e, se la variazione termica si mantiene entro limiti opportuni, essa rimane indefinita (χ = 0) con deformata assiale.

Deformata Assiale

Coefficiente dilatazione termica

Variazione Temperatura

• Variazione termica attrattiva: si considera una trave con sezione di altezza h e doppio asse di simmetria; che separa due diversi ambienti inizialmente alla stessa temperatura, si raffredda il primo ambiente di ΔT e si riscalda il altro di ΔT. La temperatura varia linearmente lungo l'altezza della sezione (asse y) e la trave si incurva senza allungarsi (ε = 0).

Curvatura Termica

➞ VARIAZIONE TERMICA LINEARE: Las che separa due ambienti a t.temp, T_A e T₂. A regime lungo l'altezza della trave la temperatura varia ed è

prossimativamente in modo lineare. Nel caso di sezioni con doppio asse

di simmetria, la trave si deforma assialmente e si incurva

_Et = ^{α ΔTm} _γt = ^{2α ΔT} h

dove ΔT_m = ^{T₂ + T_A} 2 ΔT = T₂ - T_A

(Disegni)

NB: In travi isostatiche le distorsioni termiche non influenzano le Cds

ma solo la risposta in termini di spostamenti e deformazioni. In travi

iperstatiche comportano invece variazioni rilevanti anche sulle Cds

Metodo delle Forze

Nei casi in cui l'altezza della sezione è notevole, si verifica che la

temperatura varia in modo non lineare e questo fa nascere sollecit.

zioni interne anche nel caso delle strutture isostatiche

Equazioni Costitutive per la trave monodimenionale

Se sono presenti contemporaneamente le azioni interne e le distorsioni

termiche ci si avvale del principio di sovrapposizione degli effetti:

• Ε(z) = Ε_I(z) + Ε_t = ^N(z) + αΔT_m EA
• Χ(z) = Χ_I(z) + Χ_t = ^M(z) + ^2αΔT EI h

(Disegno)

Sistemi di Travi

Metodo delle Forze

Sistemi a volta iperstatici

1. SISTEMA PRINCIPALE: dal sistema di partenza, SISTEMA EFFETTIVO, si

sopprime un vincolo semplice in modo da ottenere un sistema isostatico,

detto SISTEMA PRINCIPALE (scelte non univoca). Si sostituisce poi al vincolo

Soppresso la reazione incognita che esso esercita nel sistema effettivo e la si tratta come azione esterna.

2. Si considerano il sistema principale e si suppongono le sole forze esterne attive che agiscono nel sistema effettivo.Quindi si calcolano le Cds N0, T0, M0 che equilibrano le forze esterne del sistema.

3. Si considera il sistema principale e vi si applica la forza incognita iperstatica cui si assegna un valore arbitrario (unitario). Quindi si calcolano le Cds Nλ, Tλ, Mλ che equilibrano le forze esterne del sistema.

4. Incognita iperstatica X: si determina X calcolando lo spostamento in corrispondenza del vincolo soppresso e imponendo che esso soddisfi le condizioni di compatibilità cinematica con il vincolodella struttura reale.

Li = Le = 0

Li = ∫₀^L Nλ E ds + ∫₀^L Mλ X ds = ∫₀^X (N0 + XNλ)/(EA) dz - ∫₀^X (M0 + XMλ)/(EI) dz

5. Diagrammi finali: ricavata la X, si determinano le Cds effettive N^eff, T^eff, M^eff mediante le seguenti formule che sfruttano il principio di sovrapposizione degli effetti.

Sistema isostatico equivalente:

N^eff = N0 + XNλ

T^eff = T0 + XTλ

M^eff = M0 + XMλ

#SISTEMA 2 VOLTE IPERSTATICO, 4 DECASO 2 VOLTE IL GRIFO: riprimo di nero

SISTEMI PIÙ VOLTE IPERSTATICI gradi di iperstaticità > 1

1. Sistema principale: si classifica la struttura e, dato n grado di iperstaticità, si scompone dal sistema effettivoin vincoli semplici ottenendo così un possibile SISTEMA ISOSTATICO PRINCIPALEe si sostituiscono ai vincoli soppressi le reazioni che essi esercitano sulla struttura reale e le si trattano come azioni esterne Xi: incognite iperstatiche.

2. Si considerano il sistema principale e si applicano le sole forze esterne attive che agiscono sul sistema effettivo ottenendo in tal modo il sistema di cui si possono calcolare le Cds N0, T0, M0.

3. Sistemi virtuali ; si considera il sistema principalee si applicano

Adesso, una alla volta, le n incognite iperstatiche cui si assegna un valore arbitrario (unitario), quindi si calcolano per ciascuna le c.d.s Ni, Ti, Mi.

4.

L_i (X₁) = δ₀

L_i = L_e = δ₀ SPOSTAMENTO EFFETTIVO

L^va_i = ∫_A-B (N_A ε_A^eff + M_A χ^eff) ds = ∫ (N_A N_eff^A/E A + M_eff/E I ) dz

(1) L^va_i = L^vi_e = λ/E I N M₀ dz + X₁/E I∫^l_o M₁ dz + X₂/E I ∫^l_o M₂ dz = δ_o

L₂ (X₁) = 0

L^{e v2}₂ = L^{i v2}₂ = 0

L^{i v2}₂ = ∫_AB (N₂ ε_eff + M₂ χ^eff) ds = ∫ (N_z N_eff^eff/E A + M₂ M_eff^eff/E I ) dz

(2) L^{i v2}₂ = L^{e v2}₂ = 0 = λ/E I∫^l_o M₂ M₀ dz + X_A/E I∫^{l 2}₀ M₂ M_n dz + X₂/E I∫^l_o M₁₂ dz = 0

Notato il sistema (1) e (2) e trovato le incognite iperstatiche X₁, X₂

5.

{

• N_eff = N_o + ∑ⁿ_i=1 X_i N_i
• T_eff = T_o + ∑ⁿ_i=1 X_i T_i
• M_eff = M_o + ∑ⁿ_i=1 X_i M_i

METODO DEGLI SPOSTAMENTI: la linea elastica

LINEA ELASTICA: è possibile studiare in modo separato la risposta assiale della trave, descritta dalle incognite w(z), e(z) e N(z) e la risposta flessionale descritta dalle incognite v(z), x(z), T(z) e M(z).

PROBLEMA ASSIALE: si considera una trave soggetta a forze esterne e carichi imposti agenti unicamente lungo la linea d'asse della trave.

CONVENZIONE GRANDEZZE STATICHE

CONVENZIONE GRANDEZZE CINEMATICHE

Equazioni che governano il problema assiale

• CINEMATICA     e(z) = w '(z)   (1)
• STATICA     N'(z) + p(z) = 0   (2)
• MATERIALE     e(z) = N(z) / EA   (3)

Si sceglie w(z) spostamento assiale come incognita principale e si esprime N(z), forza assiale, in funzione di essa

N(z) = EA e(z) → N(z) = EA w '(z)

Sostituendo nella (2) → [EA w '(z)]' + p(z) = 0

Se la rigidezza è costante con z, EA si può portare fuori dal segno di derivazione

    EA w ''(z) + p(z) = 0 → Eq. della trave tesa

L'integrazione di quest'ultima porta a due costanti di integrazione che possono essere trovate utilizzando due condizioni al contorno

PROBLEMA FLESSIONALE: si considera una trave soggetta a forze esterne e carichi imposti agenti unicamente lungo la linea d'asse della trave, ovvero a coppie flettenti o rotazioni imposte alle sezioni d'estremità.

Convenzioni grandezze statiche

Convenzioni grandezze cinematiche

Eq. che generano il problema flessionale

• Cinematica: X(z) = -v''(z)
• Statica: T'(z) + q(z) = 0 e M'(z) - T(z) = 0
• Materiale: X(z) = M(z) / EI

Si sceglie come incognita v(z) spostamento trasversale e si esprime il momento flettente M(z) in funzione di esso

M(z) = EI x(z)

M(z) = -EI v''(z)

Il taglio T(z) è la derivata rispetto a z del momento M(z) (supposto EI costante con z)

T(z) = -E I v'''(z)

Derivo rispetto a z la (3) ⟹ M''(z) - T'(z) = 0 sostituendo la (2) in quest'ultima

M''(z) + q(z) = 0 ⟹ [-EIv''(z)]'' + q(z) = 0

Se EI costante

EI v''''(z) = q(z) ⟹ EQ. DELLA LINEA ELASTICA

La sua integrazione porta a 4 costanti ricavate attraverso condiz. al contorno sulla funzione v(z)

Se la trave non si deforma assialmente (w(z) = 0) il grafico di v(z), descritto come si deforma la linea d'asse, è tale curva e detta LINEA ELASTICA.

Metodo degli elementi finiti

Processo di suddividere il sistema macro gioppia in elementi di dimensioni ridotte ed assemblare poi la struttura originale, per studiare il comportamento complessivo. Ciò comporta la discrettizzazione del sistema continuo di partenza, in elementi finiti (EF). Ogni EF, in quanto porzione di dimensioni ridotte del solido deformabile continuo, ha 0 gradi di libertà e ha la possibilità...

ta' di assumere co configurazioni deformati cinematicamente ammissibi̲

li.

Per determinare soluzioni approssimate del problema elastico si assume

che ogni EF possieda un numero finito di suoi spostamenti coincidano con i

parametri di spostamento ai/ un certo numero di punti dell'EF, detti nodi,

e in genere coincida con i vertici dell'EF stesso. le configurazioni cinema.

ticamente ammissibili di una l'EF, può assumere sono limitate ai scelti.

L'operazione di ASSEMBLAGGIO degli EF conduce ad una struttura che ap.

prende un modello semplificato di quella di partenza,

Al crescere del numero di EF - utilizzati, la soluz. ottenute del problema

dell'equilibrio elastico tenderanno alla soluzione elastica. Occorre a

posto di parametri determinati requisiti di ammissibilità del modello

1. PROCEDURA DI DISCRETIZZAZIONE

a.

il continuo di volume separato das superfici immaginari'in un .

c numero di n di volume Vi

(i=1,..,n) disgiunti (vi n Vj = >

per i

/'

j); la cui unione coincide con il dominio assegnato . (i1 =1, ..., v)

b.

Nei punti detti nodi. Situati al lummo di ciascun EF

c.

d.

DEFORMMAZIONE dell'EF in funzione degli spostamenti nodali.

e. assegnato le FUNZIONI FORMA,resta univamente determinata 1

Campo &t spostamenti e deformazioni del singolo EF, e consuge1

temente il suo stato di tensione attraverso il legame elastico

2. OPERAZIONE DI ASSEMBLAGGIO

Si s happonignano ţi nodi degli elementi - contigui. Raccogliijendo_le

componenti di sparamento di tutti i nodi in un unico vettore u,

(lasse embkoz ayisce nelli identr'sizlazione delle componenti di

Spostamento locale dei singoli EF e algún interno del vettore u

Eq. risultienti in forre di sistema clea lineari

MATRICE VECEORE VETTORE CARICHI

di RIGIDEZZA SPOSTAMENTO NODALI EQUIVALENTI

due delle forze

Inlotate ai nodi alla

Sunitura di sucura

Nella matrice di rigidezza

K, la i-esima colonna rappresenta il sistema di forze nodali equivalenti casuati da imprimere un spostamento unitario, il nodo i-esima e nullo sugli altri nodi. Noti U e V nodi sui dispostamenti dei nodi nei diversi EF., si perviene alla valotazione del campo di spostamenti all'interno ai ciascun EF e, per deduzione ai campi di deformazione e d'intressione. Se gli EF sono compatibili, e possano rappresentare moti rigidi e stati di deformazione uniforme e lo sono le rotazioni, d si avvicina alla soluzione esatta ol crescere adev eurero. Di EF utilizzati.

Elementi Finiti Trave

Assegnato una genera-struita intrecciata considerate constituda da EF ai dai lunghezzi e l’interconnnessi coi nodi Gia' gende o elemenzi e spostamenti orizzontali e verticalli delle linee ad asse in corispondenza dei nodi e alle rotazioni della sezioni relizive.

Posto z l'asse della trave, gli spostamenti otecle trave si esplicitano:

W(z) = N1(z)Vu1 + N2(z)Uu2

V(z) = N3(z)V1 + N4(z)d1 + N5(z)V2 + N6(z)d2

In forma matrisciale:

MATRICE SPOSTAMENTO TRAVE

MATRICE FUNZIONE DI FORMA

Espressioni per le funzioni di forma.

• N1(z) = 1 - 3z
• N2(z) = s = z/L
• N3(z) = 1 - 3z + 2z
• N4(z) = L(8 - 25 + z)
• N5(z) = 3z - 2z
• N6(z) = L(1 - + z

e def. assiali e la curvatura, note le funzi. odi forma, si esplicitano.