(4/6) Scienza delle Costruzioni: Teoria della trave

Teoria della Trave

Teoria di Saint Venant

Fornisce le soluzioni TENSIONALE e DEFORMATIVA per un corpo continuo di Cauchy tridimensionale prismatoico ad asse rettilineo nell'ipotesi di comportamento costitutivo elastico lineare e materiale isotropo omogeneo.

Il solido elastico prismato di SAINT VENANT: le sezioni di estremità sono dette BASE e le superfici laterali e chiamato MANTELLO.

Fissato un sistema di riferimento locale, da un punto di vista geometrico il prisma è caratterizzeto dalla:

• MOMENTI di INERZIA rispetto ai due assi principali Ix e Iy
• MOMENTI STATICI Sx = Sy = 0
• MOMENTO CENTRIFUGO Ixy = 0

Principio di Saint Venant (partulato)

A una certa distanza dalle basi laricate pari approssimativamente alla massima dimensione trasversale lo stato tensionale non dipende dalla distribuzione delle forze applicate ma solo dalla loro risultante dette forze R = [Nx Ty Tz] e coppe = M = [Mx My Mz]

hp

A: X_i=0 FORZE DI VOLUME NULLE (perche’ l = ih)(si prescinde dal peso propio del prisma)T_xy, T_xy = 0 ci sono solo le componenti di T lungo z

2: T_2xan_x + T_2yan_y = 0 -> FORZE SU MANTELLO NULLE (h=0)

T_2x an_z = 0 T_2y an_z = 0

3. sulle basi si considerano le risultanti delle forse applicate

hp. 1

EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO, generali

• X_i=0
• ∫X = ∫Y = T_xy = T_yx = 0

[0 0 T_2x]

[0 0 T_2y]

[T_2x T_xy T_z]

det(S) = 0

TENSOREORD 2SPIZZ

STATO TENGOLEPIANO I₃ = 0

a. ∂T_x/∂x + ∂T_yx/∂y + ∂T_zx/∂z + X = 0 ∂T_zx/∂z = 0

b. ∂T_xy/∂x + ∂T_y/∂y + ∂T_zy/∂z + Y = 0∂T_zy/∂z = 0

c. ∂T_z/∂x + ∂T_y2/∂y + ∂T_z/∂z + Z = 0∂T_xz/∂x ∂T_yz/∂y ∂T_z/∂z = 0

4. LEGGE di HOOKE GENERALIZZATAε=AJ

MATRICE ORDIO FLESSIBILITA

[ε_x 1/E -ν/E -ν/E 0 0 0 ] [∂T_x] [ε_y -ν/E 1/E -ν/E 0 0 0 ] [∂T_y][ε_z -ν/E -ν/E 1/E 0 0 0 ] [∂T_z][γ_xy 0 0 0 1/G 0 0 ] [T_yz][γ_yz 0 0 0 0 1/G 0 ] [T_yz][δ_x 0 0 0 0 0 1/G ][T_yz]

A D

Nocciolo centrale d'inerzia

• Luogo degli antipoli delle rette non secanti la sezione trasversale
• Luogo degli antipoli delle rette tangenti e non secanti la sezione, definisce la frontiera del nocciolo
• Il calcolo completo dell'inerzia di una sezione è una regione nel piano xy, la cui forma dipende unicamente della geometria della sezione stessa e dal carico di carico proposto
• L'argicentro è sempre nel nocciolo centrale di inerzia
• Se il centro di sollecitazione si ritrova nel nocciolo centrale di inerzia, l'asse neutro si determinerà nelle zone di sezione in parti completamente compasse
• Se il centro di sollecitazione è interno al nocciolo centrale di inerzia, l'asse neutro è interno alla sezione (lungimirà delle tensioni è tutta tesa, sezioni di parte tesa o parte compasa)
• Se il centro di sollecitazione è situo sulla frontiera ed il nocciolo si avvegne all'estremità basse di tangenzialità alla sezione
• Se il centro di sollecitazione si trova sulla frontiera della sezione e l'asse neutro è tangente al nocciolo centrale di inerzia

_mpa

_mpa

Nel caso della sezione rettangolare la corrispondenza esse masso-centro di sulle trazione, estensione da ogni lato dello poligono lo spiegusto apposito rispetto al baricentro G del retangolo

Aluniage della posizione del centro di sollecitazione si riconostano di ogni carmico delle tensa

1. [1.]
   • C=G
   • mp_z
2. [2.] C
3. C estermapa intero della sezione
4. [3.] C
5. C esteriore nocciolo in int sezione

SE C → ∞ → ∞

2 casi:

1. C nel nucleo centrale di inerzia; l’asse neutro fuori dalla figura; sola trazione o sola compressione
2. Esterno al nucleo centrale di inerzia l’asse neutro taglia la figura ed il suo diagramma è a farfalla, una sia la trazione che la compressione

Se C giace su uno dei due assi x e y ha M_x = 0 o M_y = 0 l’asse neutro coincide o all’asse x o all’asse y

Si parla di TENSO sano PRESSO FLESSIONE RETTA

l’asse neutro si divincola e si allontana dai baricentri in funzione della posizione di C |C s R CENTRO DI SOLLECITAZIONE (x_sc; y_sc) ECCENTRICITÀ DEI MOMENTI | se C e’ molto vicino al baricentro il diagramma e’ a clessidra quasi costante ; se e’ molto lontano il diagramma e’ a farfalla

2. PRESSIONE NORMALE CENTRATA

N(z) = N costante applicata in G → N > 0 TRAZIONE N(z) = N < 0 COMPRESSIONE

Ancora Jz dipende solo da A → la tensione non dipende della sezione dell’oggetto, dice dallo da forma

Il caso della pressione centrata e’ con N applicato nel baricentro

x_c = y_c = 0 S =

Jz = \(\frac{N}{A}\) → S = \(\left( 0, \frac{N}{A} \right)\)

Per la legge di Hooke

J_z = \(\frac{N}{A}\) = \(\frac{\epsilon_z}{E}\) → \(\epsilon_z\) = \(\frac{N}{AE}\) \(\frac{\partial u}{\partial z}\) = \(\epsilon_z = Jz\over{E} \) => \(\epsilon_y = \epsilon_x = \frac{-Jz}{E} = \frac{-JN}{AE}\)

RIGIDEZZA ASSIALE

\(\epsilon = \frac{T}{E}\)

Nota W_|: tabellato per commercio, si può calcolare σ_z^max

Tensione max agente

Ix = ^bh3/₁₂ Ix = E(Ix + y_az_A)

Per ridurre σ_z^max (J ) bisogna incrementare W (T) e ciò si ottiene dimensionando Momento d'inerzia Ix

aumentando l'altezza della sezione e si concentra il materiale verso le fibre estreme → Ix cresce più sensibilmente di h e il conseguente momento W

Impiego sezioni a doppio T tipo IPE per travi soggette prevalentemente a flessione

Stato Deformativo

Il momento flettente applicato induce rotazione delle sezioni attorno all'asse x che restano piane o deformazione curvando la ciascuna sezione lungo l'unica asta infatti proporzionale ad y per la legge di Hooke

Deformazione Longitudinale

ε_x =     σ_z    =  M_x    y

         E           EI_x

Deformazioni Trasversali     ε_x: ε_y = - ±σ_z  =  -M_x

                              &hat;/   EI_x

ε_x =     ∑

         x3  -   -JM_x        u₁         φ₁(yz)

EIv __ = -^M_x y_f ____________________________      -^{-Mx y}

ε_y =        

        1  -    

EIv __ =   z~     W^-Mx zy      φ₅(dy₃) 

monoritenzhoo   .x3 contointegrati, il    WWO, FLESSIONE   

Integrando ai minore su spostamenti infinitesimi

u₂ =                -   -^M_xy              

                         ^EIz 2____

di (x + y₂)         W_m z_f2_____

EIv EIz  ε y₀ inivocol\uo ilcii

L'asse geometrico delle travi o deformazione avvenuta resta nel piano yz detto piano di flessione

* Piano flessione [piano sezionale = fase del riflessione