(4/6) Scienza delle Costruzioni: Teoria della trave

4 TEOIA della TRAVE

Teoria di Saint Venant

Fornisce la soluzione TENSIONALE e DEFORMATIVA per un corpo continuo di Cauchy tridimensionale prismatico ad asse rettilineo nell'ipotesi di comportamento costitutivo elastico lineare e materiale isotropo omogeneo.

Il solido è detto PRISMA di SAINT VENANT; le sezioni d'estremità sono dette BASI e la superficie laterale è chiamata MANTELLO.

Fissato un sistema di riferimento locale, da un punto di vista geometrico il prisma è caratterizzato dalla:

• UNICHE AZIONI AGENTI SI RIDUCONO A DISTRIBUZIONI FORZE, MOMENTI, APPLICATE ALLE ESTREMITÀ
• MOMENTI di INERZIA rispetto ai due assi principali Ix e Iy
• MOMENTI STATICI Sx = Sy = 0
• MOMENTO CENTRIFUGO Ixy = 0

Principio di Saint Venant (particolato)

Ad una certa distanza dalle basi caricate - pari approssimativamente alla massima dimensione trasversale - lo stato tensionale non dipende dalla distribuzione delle forze applicate ma solo dalla loro risultante delle forze R = [ Nx Ty Tz ] e coppie M = [ Mx My Mz ]

FLETTRETTI TORCENTE

TEORIA della TRAVE

Teoria di Saint Venant

Fornisce la soluzione TENSIONALE e DEFORMATIVA per un corpo continuo di Cauchy tridimensionale prismatico ad asse rettilineo nell'ipotesi di comportamento costitutivo elastico lineare e materiale isotropo assoggettato. Il solido è detto PRISMA di SAINT VENANT: le sezioni d'estremità sono dette BASI e la superficie laterale è chiamata MANTELLO.

Fissato un sistema di riferimento locale, da un punto di vista geometrico il prisma è caratterizzato dallo:

• UNICHE AZIONI AGENTI SI ESEGUONO A DISTRIBUZIONE FORZANTE SULLE BASI E F APPLICATE ALLE ESTREMITÀ.
• NON SI CONSIDERA IL PESO PROPRIO DEL PRISMA.
• SI CONSIDERANO NULLE LE FORZE SUPERFICIALI AGENTI SULLE SUPERFICI LATERALI.
• MOMENTI di INERZIA rispetto ai due assi principali Ix e Iy.
• MOMENTI STATICI Sx = Sy = 0.
• MOMENTO CENTRIFUGO Ixy = 0.

Principio di Saint Venant (formulato)

Ad una certa distanza dalle basi caricate pari approssimativamente alla massima dimensione trasversale, lo stato tensionale non dipende dalla distribuzione delle forze applicate ma solo dalla loro risultante delle forze R = [Nx Ty Tz] e coppie M = [Mx My Mz].

FLETTENTE TORSIONE

hp

1. X_i = 0 - FORZE di VOLUME NULLE (perché L >> h) (si prescinde dal peso proprio del prisma)(J_x, J_y, T_xy = 0 si sono solo le componenti di z lungo z)

2. T_zx2n_x + T_zy2n_y = 0 - FORZE SU MANTELLO NULLE (n = 0)T_zx 2n_z = 0     T_zy 2n_z = 0

3. Sulle basi si considerano le risultanti delle forze applicate

hp.1.

EQAUZIONI INDEFINITE di EQUILIBRIO, generali

{X_i = 0(J_x = J_y = T_xy = T_yx = 0

[0    0    T_zx0    0    T_zyT_xz   T_yz   J_z]   det(S) = 0

STATO TENSORE PIANO    I₃= 0

a.      ∂T_yx/∂x + ∂T_yx/∂y + ∂T_zx/∂z + X = 0      ∂T_zx/∂z = 0

b.      ∂T_xy/∂x + ∂T_y/∂y + ∂T_zy/∂z + Y = 0      ∂T_zy/∂z = 0

c.      ∂T_xz/∂x + ∂T_yz/∂y + ∂J_z/∂z + Z = 0         ∂T_xz/∂x + ∂T_yz/∂y + ∂J_z/∂z = 0

LEGGE di HOOKE GENERALIZZATA

ε = Aσ

MATRICE della FLESSIBILITÀ[ε_x           -ν/E     -ν/E      0      0      0ε_y           1/E     -ν/E     -ν/E      0      0ε_z          -ν/E      1/E     -ν/E      0      0γ_xy   0   0   0   G   0   0γ_yz   0   0   0   0   G   0γ_zx   0   0   0   0   0   G]

ε_x x -^v⁄_E