(2/6) Scienza delle Costruzioni: SISTEMI DISCRETI DEFORMABILI

SISTEMI DISCRETI DEFORMABILI

• STRUTTURE COSTITUITE DA CORPI CHE POSSONO AVERE DEFORMAZIONI
• SI COSTRUISCONO STRUTTURE RETICOLARI IPOTIZZANDO CHE CIASCUNA ASTA SI COMPORTI COME UNA MOLLA ELASTICA LINEARE. PER CUI QUESTA L'UNICA MENTRE E’ DIRETTAMENTE PROPORZIONALE ALLA FORZA NORMALE AGENTE SU ESSA.

Dato un'asta fra un corrente e una cerchiera, se vedi un ALLUNGAMENTO DELL'ASTA, come ossa è legato allo SPOSTAMENTO DEGLI ESTREMI

Δl = l₀ ^F/_N

N = F _{FORZA NORMALE}

Un’asta soggetta a forze assiali si deforma: SI ALLUNGA o si COMPRIME → può essere assimilata ad una molla

Assomiglia il comportamento di una molla alla deformazione dell’asta (relazione lineare)

I non si parla più di corpo rigido, ma di CORPO DEFORMABILE

Δl _ALLUNGAM. ^N/L = COSTANTE MOLLA

LEGAME COSTRUTTIVO LO LEGGE CHE LEGGE CHE N ∝ Δl COSTANTE LEGAME DI HOOK

_{FORZA → ALLUNG.}

N = k Δl _{(relaz. lineare)}

RIGIDEZZA ASTA proprietà tipica dell’asta, dipende dalle caratteristiche geometriche e del materiale

anche 2 ASTE con K₁ e K₂ per ottenere stesso Δl → N₁ > N₂

se k → ∞ → ΔN → 0

(corpo corpo rigido)

Strutture staticamente determinate

• Corpi rigidi

L'applicazione di forze esterne provoca sollecitazioni e reazioni vincolari ma non variazioni nella configurazione.

La configurazione può variare se cambiano i limiti del cedimento vincolare (in questo caso si verifica una variazione della configurazione senza produzione di sollecitazioni e reazioni vincolari).

Struttura deformabile

L'applicazione di forze esterne ad una struttura deformabile isostatica produce le stesse sollecitazioni e reazioni vincolari che produrrebbe nella stessa struttura vista come struttura di corpi rigidi. Solo la sua equazione è diversa.

Differenza fondamentale

Le sollecitazioni attraverso l'assetto costruttivo producono nelle ossa delle deformazioni e quindi degli spostamenti che contribuiscono a far variare la configurazione della struttura anche in assenza di variazione dei cedimenti.

L'applicazione di cedimenti di vincoli esterni produce una struttura deformabile isostatica e reagente come determinata, confermando le stesse configurazioni.

Le equazioni dipendono dalla stessa struttura rigida esterna perché l'asse di impronta, non continua con le deformazioni e lo stato deformabile dei corpi non influenza i singoli problemi statico e cinematico.

Unimodulo non influisce sul carico, lo stesso costruttivo, il problema statico che presenta anche l'aspetto cinematico.

(*) Dettaglio struttura staticamente e cinematicamente determinata

• Aspetto cinematico
• Aste considerando i corpi e cerniere (interne ed esterne) come vincoli
• 4 corpi → 4 x 3 = 12 gradi di libertà
• 4 (2, 3 cerniere interne) = 3, 4 cerniere esterne
• 2 (5m) + 2 (2, 4) + 2 (2 - 1) + 2 + 2 = 12 vincoli
• 6, 12 gradi di libertà = 12 vincoli
• Cerniera come (quad) piattaforma con 2 gradi di libertà, aste come 4 vincoli interni sommano
• 4 x 2 = 8 gradi di libertà
• 4 vincoli interni + 4 vincoli esterni = 8

Perché la struttura è deformabile, basta portala stabile con deformazione.

Vuoto

Matrici B e D legano vettori definiti sulle aste (N, a) con vettori definiti sui nodi (f, u)

Spostamenti delle estremità delle aste (legato a L) cambiano con gli spostamenti (u) dei nodi.

Le valutazioni estremità aste (legate a N) hanno stessa direzione, modulo e verso rispetto alle corrispondenti forze che agiscono sui nodi (f).

Assumendo K = K si ottiene:

CONFIGURAZIONE DEFORMATA

ASTE 2, 3 RUSTANO RIGIDAMENTE SENZA DEFORMARSI (teoria piccoli spostamenti)

ASTE 1, 4 RUOTANO E SI DEFORMANO

Principio dei lavori virtuali per sistemi discreti

Si considera

Uno stato di tensione equilibrato costruito da forze esterne f e forze interne N che soddisfano:

BN + f = 0

MATRICE FORZE FORZE STATICA INTERNE ESTERNE

• Lo stato tensionale del sistema può essere espresso in funzione

degli sforzi esterni e degli incognite iperstatiche X

Asterisco (_Ns) (N₂) (N₃) (N₄) (N₅) = [ P ] x [ sist ] → soluzione del sistema

0 [ R ]

0 [ A ]

N = N(P) + N(X)

soluzione particolare

soluz. del sistema omogeneo associato

• Assegnando ad X un valore generico si ottiene una soluzione

equilibrata N(P, X), ma essa non coincide con la soluzione del

problema elastico, dico che, essendo la struttura deformabile

sia essa corrispondente a una configurazione deformata che in generale

non soddisfa le condizioni di congruenza

Figura frecce

2

0

1

1

Il carico P e la forza X producono delle

deformazioni nelle aste: alla generica asta

i- comunica la deformazione

Δi = N_i/_K

Tali deformazioni Δ_i; non possono assumere valori

quali si: perché devono soddisfare anche le eq.

di congruenza, che si ripartano in forma matriciale

D u = Δ

Simbolo freccia (#)

1

0

-1

^0^

0

0 0

1

-c

0

U₁

U₄

U₂

V₂

Δ₁

Δ₂

Δ₃

Δ₄

Δ₅

Il sistema è in generale

impo ass è una struttura che se

tecnica nota è detta une

Risultano soddisfatte le eq.

sol. cadovra

• Considero il sottosistema ottenuto sopprimendo

Simbolo freccia (##)

1

0

0

-1

^0^

-c

U₁

U₄

U₂

V₂

Δ₂

Δ₃

Δ₄

MATRICE QUADRATA

CON DET = 0

SIST. OMOGENEO E SOLUZ.

Si ottiene il legamento tra le forze e spostamenti nodali a livello di asta.

f_e = k_e · u_eMATRE D = D^TR_D

In forma esplicita:

f_xif_yi-f_xjf_yj

l

2e²+ 2βe - a² - 2eβe βe ²-2eβea² + 2eβesym

b cos (e_ij)-罪角形成自Lovrogfpndirctcvr

In forma compatta:

• f} = [XjfeW li{u}

  che loperazione deiastitivellodie/Epe\b

  • 3
  • ASTA
  • 5