Legami costitutivi - Parte 6

Algebra dei tensori del IV ordine

A detto A pliotto è una trasformazione lineare che assegna ad ogni tensore del 2^o ordine A, un tensore del secondo ordine B_A: Lim → Lim. A: A = B_A, B ∈ Lim. Lim pliotto è lo spazio delle trasformazioni lineari di Lim normale in se stesso: (elementi di Lim: A, ⊗ B, I, ⊙).

Sistema di riferimento cartesiano

Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale o {ê_i}: A_jjhk = (A(ê_h ⊗ ê_k))(ê_i ⊗ ê_s). A: A = B ⇔ A_ijhk A_hk = B_ij.

A_i = 3⁴ = 81 componenti (matrice 9 x 9).

Proprietà di A

Il tensore trasposto è quel tensore per il quale abbiamo la seguente proprietà: A: A ⊗ B = A^T B A ∀ A, B ∈ Lim.

Il tensore A₁ dell'ordine gode di simmetria maggiore (sym. forte) se: A: A ⊗ B = A B ⊗ A. A = A^T, A ∈ S^ymm. In componenti A_ijhk = A_h⁽ⁱ⁾.

Il tensore A₁ dell'ordine gode di prima simmetria minore se: A = Sym A(A). A: A = S ∀ A ∈ Lim ∀ S ∈ Sym. In componenti A_ijhk = A_i^hjk^(k).

Algebra dei tensori del IV ordine

A detto A filato è una trasformazione lineare che assegna ad ogni tensore del 2^o ordine A, un tensore del secondo ordine B_A: Lin → Lin. A: A = B. (Lim filato) è lo spazio delle trasformazioni lineari di Lim normale in se stesso: (elementi di Lim: A ⊗ B, I, O).

Sistema di riferimento cartesiano ortogonale

Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale o ℓⁱ ℓ^ji,j,k=1,2,3: A_ijk = (A(e_h ⊗ e_k))(e_i ⊗ e_s). A: A = B ⇒ A_ijhk A_hkr = B_ij.

A = 3⁴ = 81 componenti (matrice 9 x 9).

Proprietà di A

1. Il tensore trasposto è quel tensore per il quale addiamo la seguente proprietà: A^T ○ B = A^T B A     ∀ A, B ∈ Lin.
2. Il tensore A^1st del 1^o ordine gode di simmetria maggiore (sim. forte) se: A ○ B = A B ○ A. A = A^T, A ∈ Sym.
3. Il tensore A del 1^o ordine gode di prima simmetria minore se: A ○ A = Sym(A A) ∀ A ∈ Lim ∀ S ∈ Sym.

A gode della SECONDA SIMMETRIA MINORE se: A^ijk = A^l(symA) (Sym -> Lim). A^i,j,k = A_l(sym) (Sym -> Skw). In componenti A_i,j,k = A_j,i,k.

Altre proprietà di A

• Se A possiede la 1^a e la 2^a simmetria "MINORE" si passa da 81 a 36 componenti del tensore.
• Se A possiede anche SIMMETRIA MAGGIORE si passa da 81 -> 36 -> 21 componenti del tensore indipendenti (che A = A^T).
• Il TENSORE A_l del 1^o ordine è DEFINITO POSITIVO se: A_l ∈ Sym, A ∈ Pos ⇔ A ⋅ A > 0, ∀ A ∈ dim = Σ^0,3 ∀ A ∈ Sym.

Al filamento applicato a un tensore del 2^o ordine

Scalare: Diciamo che ∃ ^{IA-1 ⋅ ∃ A-1 ⋅ A = A-1 ⋅ A = I = I (IDENTITÀ FILETTATO)} (Lettura).

Legami costitutivi

La descrizione $latex \underline{CINETICA} $ nell'ambito della Teoria Lineare della DEFORMAZIONE (che si basa su $latex \underline{||u||$).