Legami costitutivi - Parte 6

Algebra dei tensori del IV ordine

A detto λ fletto₂ è una trasformazione lineare che assegna ad ogni tensore del 2° ordine A, un tensore del secondo ordine B

λ: Lim → Lim

A, B ∈ V ⊗ V

A ∈ Lim _SPAZIO (TENSORI DEL 2^° ORDINE)

B ∈ Lim _SPAZIO (TENSORI 4^° ORDINE)

(Lim fletto) è lo spazio delle trasformazioni lineari di lim normale in se stesso; (elementi di lim: A ⊗ B, I, 0)

• Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale

0{Ei_j}: i,j,k = 1,2,3

A_ijkl = (A(ê_h ⊗ ê_k))(ê_i ⊗ ê_s)

A · A = B ⇒ A_ijkl · A_hkl = B_ij

A_I = 3⁴ = 81 componenti

(matrice 9x9)

Proprietà di A_I:

1. Se tensore trasposto è quel tensore per il quale addiamo la seguente proprietà:
   • A · A : B = A^T B A
2. Se tensore A_I del 4^° ordine gode di simmetria maggiore (Sim. Forte) se:
   • A*A:B = A.B ·A

   A = A^T, A ∈ S_symm

   A_ijkl^symm = A_hnk(ij)

3. Se tensore A_I del 4^° ordine gode di simmetria minore se: (PART. SIMM, DI A_I)

AA = Sym(AI A)

A · A = S

A_ijkl = A_flhshk

A^A gode della SECONDA SIMMETRIA MINORE se:

A^A.A = A^A(SymA) (Sym → Lim)

(Simmetria → Skew) ∀w ∈ S_kw

A = 0

(in componenti) A_i,jkl = A_jikl

Altre PROPRIETÀ di A^A

• Se A possiede la 1^a e 2^a simmetria "MINORE" si passa da 81 a 36 componenti del tensore.
• Se A possiede anche SIMMETRIA MAGGIORE si passa da 81 → 36 → 21 componenti del tensore indipendenti. (che A1 = A1^T)
• Il TENSORE A^A del 1^o ordine è DEFINITO POSITIVO se: A1 ∈ S_ym,

A ∈ ℙ_os ⇔ A ·A > λ · A > 0

∀ A ∈ dim- ξ_o³

∀ A ∈ S_ym

A FILETTATO APPLICATO A UN TENSORE DEI 2^o ORDINE

diciamo che:

∃A^-4 ∃A^-1 A^-A = A^AA1 = ⧫ = I

(IDENTITÀ

FILETTATO)

A inverso tale che

(LETTURA)

Eseguire uno sforzo applicato (dove è presente uno sforzo applicato) ed esaminare la corda di un viselino.

• STRESS INIZIALE
• STRESS RESIDUO

T₀ = 0 se sono NULLI!!

Importante!: "Energia Potenziale"

I materiali elastici sono detti materiali di Cauchy.

La deformazione è reversibile.

A questa reversibilità meccanica sia associata una reversibilità di tipo termodinamico, ossia si chiede che il lavoro speso per deformare il corpo sia immagazzinato sottoforma di energia potenziale che poi viene rilasciata interamente rimuovendo la deformazione.

I materiali elastici lineari che soddisfano questa proprietà sono detti "materiali iperelastici lineari" (sottoclasse) o vengono detti materiali elastici di Green.

Un materiale è iperelastico se esiste una funzione scalare φ del tensore di deformazione E_i dette energia specifica di deformazione, tale che il tensore degli sforzi T = ∂ φ/∂E

∃(φ) ε

• sym → R, 3’ T = ∂φ/∂E

e φ(0) = 0

1. φ(E) = e è nulla φ(0) = 0
2. φ dipende dal punto x

Se il materiale è omogeneo φ(E) non dipende dal punto, altrimenti che, assegnato un tensore elastico T = A esiste una funzione scalare φ(E), prendendo un E ε sym → R la derivata di∂φ(E_hk) = T_ij = A_ijhkE_hkrispetto alla derivata di∂E_js =

• φ(E_hk) = 0 per i)3, i₁h_k = 1,2,3

φ(E) è uno scalare, ma ha le dimensioni di una pressione[1N/m²] = [F · L^-2] = [Pa]

Dimostro ora:

da b) dimostro c) φ(E) = 1/2 ΔE⋅E = 1/2 T⋅E

Scelto un cammino deformativo lineare tra E₁ = 0 ed E₂ = E^*

E^{^}(_d) = _dE^* con d ∈ [0,1]

E₁ = 0

• (stato iniziale)∀_d ∈ [0 1] → E^{^}(0) = 0
• (stato finale)∀_d ∈ [0 1] → E^{^}(1) = E^*

Per cui: lavoro ω = ∫₀¹ T_m(d_u) ⋅ dE^{^}(_du) dd

= ∫₀¹ [ΔE(_u) ⋅ E^*] d_u

= ∫₀¹ dΔE^* ⋅ E^* d_u

ω = ΔE^* ⋅ E^* ∫₀¹ d_u = 1/2 ΔE^* ⋅ E^*

Potrei supporre che:

ω = φ(E^*) - φ(0) = φ(E^*) allora:

φ(E^*) = 1/2 ΔE^* ⋅ E^* = 1/2 T ⋅ E

... Ora dal terzo punto dimostro il primo da c) dimostro a)

Se φ(E^*) = 1/2 ΔE^* ⋅ E^*

Allora ω (0∼E^*∼0) = ω (0∼E^*) + ω (E^*∼0) =

= ω (0∼E^*) - ω (E^*∼0) = ⌀

(Abbiamo dimostrato che ω è unica in un cammino chiuso, il lavoro ω è nullo)

Per un materiale isotropo (anisotropo), il tensore elastico scritto in forma matriciale abbiamo: (M₁₂, M₂₃, M₁₃ sono piani di simmetria materiale)

C_isotro =

[_{c12 c13       c44}   

 _{c21 c22 c23}        

  _{c31 c32 c33     c55}

          _c66]

C₁₂ = C₂₁

C₁₃ = C₃₁

C₃₂ = C₂₃

Averemo 9 costanti elastiche indipendenti per il materiale iperelastico

I materiali anisotropi hanno una risposta simmetrica rispetto a riflessioni; in riferimento a 3 piani ortogonali tra di loro, il numero di costanti per il materiale elastico sono 12 ed è iper me considero 9.

Se aggiungiamo un'altra simmetria, abbiamo un materiale anisotropo però di tipo trasversalmente isotropo, con asse di isotropia traversa coincidente con l'asse e₃, (rotaz . intorno all'asse), la matrice avrà componenti:

C_{trasversalmente isotropo} =

[  _{c13   c13      c14}   

 _{c21 c22 c23}        

  _{c31 c32 c33      c14}

                _c44

       _c11 – _c12/₂]

C da 7 che è il numero di costanti per il materiale elastico, per il materiale iper, ne considero 5. (Si riducono ulteriormente)

ORA IMPORTANTE, arrivi al questo punto, se studio un materiale isotropo opera di descrivere il materiale in maniera differente rispetto a qualsiasi direzione, tutte le rotazioni mi restituiscono la STESSA RISPOSTA MECCANICA coincidente con i tensori ortogonali, il numero di componenti elastici per i materiali iperelastici si riducono a 2, questi come suddivisi a IMO (tensori di IMO) saranno µ e, l'ultimo unità di misura

[N/m²]