Analisi 1 Teoria "Insiemistica e Topologia" [cap. I]

Analisi 1

Il capitolo i numeri reali

è un ente matematico atto a misurare le lunghezze

1. è contenuto n volte in 2 in questo caso k ∈ _N
2. k
3. è contenuto n volte in 2 k ∈ _Nn ∈ _N

Tuttavia esistono segmenti incommensurabili tra loro, per esempioil lato e la diagonale di un quadrato.

Per questo motivo si ha avuto l'esigenza di espandere i numeri razionali,nei numeri reali.

Per rappresentare i numeri reali si utilizzò la retta-------------------------------------------------

Il simbolo universale dell'insieme dei numeri reali è:

"R" numeri reali

• N = {1, 2, 3, ...}
• Z = {0, 1, -1, 2, -2, ...}
• Q = {^k/_n ; k ∈ Z , n ∈ N}Q è denso in R

∀a, b ∈ R : a < b ∃ ε ∈ Q : a < ε < bt.bechè

R \ Q = {χ ∈ R | χ ∉ Q}[sottoinsceme tra insiemi]

i numeri irrazionali sono presentiin maniera molto maggiore in Rrispetto a Q

• _H (4) a ∈ R \ Q protesi
• _N ∨_{x ∈ Q} ∃ x ∉ Q tess

Analisi 1

1 capitolo: I numeri reali

è un ente matematico atto a misurare le lunghezze

1 è contenuto k volte in 2 in questo caso k ∈ ℕ3 è contenuto ^k/_h volte in 2 k ∈ ℤ,h ∈ ℕ

Tuttavia esistono segmenti incomensurabili tra loro, come ^{per esempio} il lato e la diagonale di un quadrato.

Per questo motivo si ha avuto l'esigenza di espandere i numeri razionali nei numeri reali

Per rappresentare i numeri reali si utilizza la retta

------------------------------

il simbolo universale dell'insieme dei numeri reali è "ℝ" : numeri reali

ℕ = {1, 2, 3, 4, ...} ; ℤ = {0, ±1, ±2, ±3,...}ℚ = {^k/_h: k ∈ ℤ, n ∈ ℕ} ℚ è denso in ℝ

∀ a, b ∈ ℝ: a < b ∃ x ∈ ℚ : a < x < b

R \ Q = {x ∈ ℝ | x ∉ ℚ} ^{sottosocce tra insimi}

ℝ \ ℚ = {x ∈ ℝ | x ∉ ℚ} mentre i numeri irrazionali sono presenti in maniera molto maggiore in ℝ rispetto a ℚ

∀ n ⊆ ℝ \ ℚ^notes ∀x ∈ ℚ ∃x ∉ ℚ ^test

Ragionamento per assurdo

∃ x ∈ ℚ : a + x ∈ ℚ allora, posto b = a+x allora: a ≤ b-x b ∈ ℚ x ∈ ℚ

Le differenze tra 2 razionali da 1 razionale questo è assurdo!!

Per confermare la tesi la neghiamo!

Proprietà Fondamentali o Assiomi

Caratterizzazione assiomatica della retta reale

1. Proprietà della Somma
• Associativa

∀ a, b, c ∈ ℝ (a + b) + c = a + (b + c)

2. Commutativa

∀ a, b ∈ ℝ a + b = b + a

3. Esistenza dell'elemento neutro

∃ ∈ ℝ : ∀ a ∈ ℝ a + = a

4. Esistenza dell'opposto

∀ ∈ ℝ ∃ x ∈ ℝ : a + x =

Unicità dell'elemento neutro

Per assurdo: siano ≠ ₁ un altro el. neutro + ₁ = ₁ + = * sono uguali

Unicità dell'opposto

Per assurdo: siano x x₁ opposti di a x ≠ x₁

x + x₁ = x' = x' (a + x) = x + (a + x)

= ⟹ x = x assurdo

Dato a ∈ ℝ l’opposto di a si denota -a.

Dit. ∃b ∈ ℝ anzichè scrivere b + (-a) scriviamo b = a.

1. Associazione

• ∀a,b,c ∈ ℝ (a·b)·c = a·(b·c)

2. Commutazione

• ∀a,b ∈ ℝ a·b = b·a

3. Esistenza dell’elemento Neutro

• ∃1 ∈ ℝ : ∀a ∈ ℝ a·1 = a

4. Esistenza del Reciproco

• ∀a,x ∈ ℝ a·x = 1

5. Distribuzione

• ∀a,b,c ∈ ℝ a(b+c) = ab + ac

Il Reciproco di a si denota a^-1.

∀a ∈ ℝ a·0 = 0 Infatti:

• a·0 = a·(-2) = a·2 + (-2) = a·(1+0) + (-2) = 0, a o 2 o 0 = 0

Legge dell’Annunciamento del Prodotto

Siano a,b ∈ ℝ Allora:

a·b = 0 ⇔ a = 0 V b = 0

Dir.: già visto poco sopra.

Dim.: sia a·b = 0 Per assurdo neghiamo la tesi:

∃a ≠ 0 Λ != =) อายุของสัตว์หลาย ๆ พันธุ์ที่มีความจำเป็นที่จะต้องจำเป็นที่จะต้องสังหารินะสินะ.

a : a + 1 = (b|b∉*) = ab; b^t = 0; b⨁a⨁a

Relazioni dell'Ordine

a < b

a ≤ b ⇔ a < b ∨ a = b

1. Riflessiva

∀a ∈ ℝ   a ≤ a

2. Transitiva

∀a,b,c ∈ ℝ   a ≤ b ∧ b ≤ c ⇒ a ≤ c

3. Antisimettrica

∀a,b ∈ ℝ   a ≤ b ∧ b ≤ a ⇒ a = b

4. Dicotonica

∀a,b ∈ ℝ   a ≤ b ∨ b ≤ a

5. Rispetto alla Somma

∀a,b,c ∈ ℝ   a ≤ b ⇔ a+c ≤ b+c

6. Rispetto al prodotto

∀a,b,c ∈ ℝ   a ≤ b ⇔ ac ≤ bc   Con   c > 0

7. Axioma di Completezza

∀A,B ⊆ ℝ : A ≠ Ø , B ≠ Ø e

∀x ∈ A ∀y ∈ B   x ≤ y allora

∃c ∈ ℝ : ∀x ∈ A ∀y ∈ B   x ≤ c ≤ y

* Una conseguenza importante di tale assioma è la seguente proprietà:

Estrazione della Radice _n-Simma

∀a∈ℝ, ∀n∈ℕ ∃!c∈ℝ⁺ : cⁿ = a

_{un solo}

Idea della Dimostrazione

Posto A = { x ∈ℝ⁺ : xⁿ ≤ a }

B = { y ∈ℝ⁺ : yⁿ > a }

si prova che valgono le premesse dell'assioma di completezza.

Quindi A e B ammettono un elemento separatore unico:

cⁿ = a

Norma relativa all’assioma

A = ∈ℝ, A ≠ ∅

A ammette un max

∃ M ∈A : ∀ x ∈A x ≤ M

Unicità del Massimo

se tale elemento esiste esso è necessariamente unico infatti:

sìa Mʹ dotato delle stesse proprietà:

M^ʹ ∈A Ʌ Mʹ ≥ x ∀ x ∈ A Allora

M^ʹ ≥ M (in quanto M è di massimo)

M ≥ Mʹ (in quanto Mʹ di massimo)

quindi (proprietà transitiva) M=Mʹ

M = max A

A ammette min:

∃ m ∈A : ∀ x ∈A m ≤ x

m è unico

m = min A

Es:

A = [1, 3] = {x ∈ R

x ∈ A ⊂ R ⇒ 1 ≤ x ≤ 3

∃max A = 3 ⇔ ∀x ∈ A

∄min A

∃m ∈ A : m ≤ x ∀x ∈ A infatti ∀m ∈ A ∃x ∈ A : x < m

Es:

A = {n/n+1 : n ∈ N} = {

A = ]1/2 , 1[

∃ min A = 1/2

∄ max A

1/2 ∈ A | 1/2 ≤ x ∀x ∈ A

1/2 ≤ n/n+1 ⇔ 1/2 ≤ n/n+1 ⇔ u+1-2n / 2(n+1) ⇐>

1-u/2n ≤ ⇐> 2n+2 > 0 (n ∈ N) ⇐> n ≥ 1

ver ∀n ∈ N

∄ max A in quanto la successione data è strettamente crescente

Vn ∈ N / n/n+1 ⇐> n+1/n+2

infatti

n/n+1 < n+1/n+2 ⇐> ((n+1)(n+2) < n+

ver ∀n ∈ N

∀M ∈ A, ∃x ∈ A : x > M

A ⊂ R A ∉ Q , ∃ L ∈ R

A è limitato se ammette maggioranti

Definizione del maggiorante

Diciamo che L è un maggiorante di/per A se ,

∀x ∈ A L ≤ x

L'insieme dei maggioranti forma un segmento illimitato a destra

A è limitato se ammette maggioranti.

" è un minorante di se:

≤ ∀ ∈

si dirà inferiormente limitato se ammette un minorante:

∃ ∈ : ∀ ∈ ≤

è limitato ⇔ ∃, ∈ ∀ ∈ ≤ ≤

={/+1; ∈ }

Prop. n°1 Esistenza dell'estremo superiore:

1) Sia ⊂ , ≠ ∅, superiormente limitato, ={ maggioranti di }

={ ∈ | ∀ ∈ ≤ }

∃

Dimostrazione:

Osserviamo che e verificano le ipotesi dell'assioma di completezza:

≠ ∅ ≠ ∅ ∀ ∈ ∀ ∈ ≤

Pertanto: e ammettono un elemento separatore, cioè:

∃ ∈ : ∀ ∈ ∀ ∈

≤ ≤

è un maggiorante M è il più piccolo dei maggioranti

IL NUMERO M* = min B s.d.z S T R E M O S U P E R I O R E si scrive:

M sup

Esso è:

• Unico (Un quanto definito come massimo dell'insieme
• Caratterizzato dalle due seguenti proprietà, vedi prog. seguente)

1)

∀x ∈ A    M ≥ x

2)

∀ε > 0   ∃x ∈ A : x > M - ε

M = max A     ⇒     M = sup A

1)

∀n ∈ ℕ      m/n ≤ 1

2)

∀ε > 0   ∃x ∈ A   :   x > M/n_H    ⇒   x > 1 -ε

A ⊆ B   ⇒ sup A ≤ sup B

M' ≤ M

CONVENZIONE

Se A non è superiormente limitato scriveremo:

sup A = +∞

Prop. 1.2 Esistenza dell'Estremo Inferiore

Ip) Se A ≠ ∅ A inferiormente limitato sia B:

B = { y ∈ ℝ |∀x ∈ A   x ≥ s }

Th)

Allora ∃ max B

m = max B   si dice estremo

M = inf A

Costituito dalle due seguenti proprietà:

1. ∀x ∈ A   m ≤ x
2. ∀ε >0   ∃x ∈ A:   m < x   < m + ε

Comportamento rispetto all'inclusione:

A ⊆ B   ⇒   inf A   ≤   inf B

Se A non è inferiormente limitato scriveremo:

inf A = -∞

Valore Assoluto

Dato  a ∈ ℝ,  definiamo:

|a| = {    a se a ≥ 0    -a se a < 0

rappresenta la distanza di a dall'origine

Dato  -v < a ≤ v

|a| ≤ v ⇔ -v ≤ a ≤ v

Proprietà

• della somma:

∀a,b ∈ ℝ

|a + b|  ≤  |a| + |b|

Esi:  a = 3,  b = ±2

|a + b| = |1| = 1

|a| + |b| = |3| + |2| = 5

• del prodotto:

∀a,b ∈ ℝ

|a  b| = |a|  |b|

Distanza di due punti:

d(x,y) = |x - y| = |y - x| = |x - y|

Intorno ad un punto x₀ ∈ ℝ

Dato v₀

|x - x₀| < v₀

I_v(x_o) = {x ∈ ℝ | |x-x_o| < v}

I fatti: |x-x_o| ≤ v ⇔ x_o-v ≤ x ≤ x_o+v

Immagine I_v(x_o) = [x_o-v, x_o+v]

Topologia della Reetta Reale

(Ip) A ⊆ ℝ, A ≠ ∅, x_o ∈ ℝ

1. x_o è INTERNO AD A se:

   ∃ v > 0: I_v(x_o) ⊆ A

   Ã = {punti interni ad A}

   Nell’esempio Data

   1. A = ]1, 3[ tutti si dice che
   2. x_o ∈ ]1, 3[ cioè 1 < x_o < 3

   Allora scelto v > 0 tale che:

   0 < v < min (x_o-1, 3-x_o) se . . . I_v(x_o) ⊆ A

   Se scelgo x_o = 3 allora ∃?

   Analogamente 1 ∈ I(A)

2. x_o è DI FRONTIERA PER A se:

   ∀ v > 0: I_v(x_o) ∩ A ≠ ∅

   • Int(A) = {punti di frontiera per A} confondente

   • Frontiera per A

   Int(A) = {1, 3}

3. x_o è DI ACCUMULAZIONE PER A se: x_o ∉ A

   ∀ v > 0:

   I_v(x_o) ∩ A \ {x_o} ≠ ∅

   Ad es.

   A = {1/n, n ∈ ℕ}

A = {1/n | n ∈ℕ \{ }

Osserviamo che

0 ∉ A

m è p.to d. accumulazione per A

A(a) = {punti d'accumulazione di A}

∀ > 0 I_(x)(0) ⋂ A \{0} ≠ ∅

1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ , x ∈ A

∄ x ∈ A x ∈ A

Vi sono altri p.ti di accumulazione?

sicuramente i punti di A non lo sono

∞ n!

I_(x)(0) ⋂ A \{0} ⊆ {2/n | n ∈ ℕ}

mi basta scegliere

∀ > 0 I_(x)(0) ⋂ A = {2/n + 5}

0 < v ≤ min {¹/_n - ¹/_m; ¹/_m - ¹/_{n + 1}}

4) X₀ è isolato in A se: (X₀ ∈ A)

∞ > 0 : I_(x)(X₀) ⋂ A \ {X₀} = ∅

I_(0)(0) ⋂ A = {X₀}

I_(0)(X₀) ⋂ A = {X₀}

I_(A) = {punti isolati di A}

nel caso precedente

I_(A) = {0} I_(A) = A A = ∅

I_(A) = {0,v|n | n ∈ ℕ}

I_(A) = A ⋃ {0}

A = ∅ infatti sia X₀ =

Un insieme A per avere punti interni deve contenere un intorno

qui insieme espresso nella forma

A = {2n ; n ∈ ℕ}

ℱ(A) = {0} ∪ A

ℱ(A) ⊆ ℱ(A)

es: A = ]1,3[

ℱ(A) = ]1,3[

A^* = {1,3}

A(A) = [1,3]

ℱ(A) = ∅

Chiusura di un insieme

Dato A ⊆ ℝ, A ≠ ∅

Si chiama chiusura di A l'insieme:

A̅ = A ∪ A(A)

A̅ = A ∪ A^*(A)

ad esempio

]4,5[ = [4,5]

{1/n ; n ∈ ℕ}

= {1/n ; n ∈ ℕ} ∪ {0}

Insiemi chiusi ed aperti

• A si dice chiuso se

A̅ = A

ovvero se A ⊇ A(A)

• A si dice aperto se contiene solo punti interni.

A = Ȧ

• A risulta aperto se il suo complementare è chiuso
• A risulta denso se il suo complementare è perfetto

Approfondimento

Intuizione, esempi

Prop 1.3 Definizione equivalente di punto di accumulazione

Le due seguenti condizioni sono equivalenti. Dato a ∈ ℝ, x₀ ∈ ℝ

1. x₀ ∈ A(A) — cioè:
   • ∀v > 0, Iᵥ(x₀) ∧ A \ {x₀} ≠ ∅
2. ∀v > 0, Iᵥ(x₀) ∧ A è infinito

Dim

2 ⇒ 1 ovvio

1 ⇒ 2 se x₀ ∈ A(A) e per assurdo che non valga 2)

ossia:

• ∃v₀ Iᵥ(x₀) ∧ A è finito

Immaginiamo dunque

Iᵥ(x₀) ∧ A = {x₀} è finito, e ∃

Però noto

Iᵥ(x₀) ∧ A \ {x₀} = {x₁,…,xₙ} ≠ x₀

⎯ x₀ ⎯⎯⎯⎯ xₖ ⎯⎯⎯⎯⎯ x₀ᵥ ⎯⎯⎯⎯⎯ xₙ⎯

δ = min {|x₁-x₀|, ..., |xₙ-x₀|} δ > 0

Scegliamo quindi ρ in modo tale che

0 < ρ < δ si avrà quindi

Iᵨ(x₀) ∧ A \ {x₀} = ∅ ASSURDO