Analisi 1 Teoria "Insiemistica e Topologia" [cap. I]

ANALISI 1

I capitolo NUMERI REALI

è un ente matematico adatto a misurare le lunghezze

1 è contenuto k volte in 2 in questo caso k ∈ ℕ

3 è contenuto _k/^h volte in 2 k ∈ ℤ ^{h ∈ ℕ}

Tuttavia esistono segmenti incomensurabili tra loro per esempio

il lato e la diagonale di un quadrato.

Per questo motivo si ha avuto l’esigenza di espandere i numeri RAZIONALI

nei numeri REALI

Per rappresentare i numeri reali si utilizza la lettera "R"

il simbolo universale dell’insieme dei numeri reali è:

• ℕ = {1, 2, 3, 4, ...}
• ℤ = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
• ℚ = {^k/_h : k ∈ ℤ, n ∈ ℕ}

ℚ è denso in ℝ

∀ a, b ∈ ℝ : a < b ∃ c ∈ ℚ : a < c < b

R\Q = {x ∈ ℝ | x ∉ ℚ}

il sottoinsieme tra insiemi

H₀ ∃ ∈ ℝ\ℚ ipotesi

H₁ ∀ x ∈ ℚ ∃ x ∉ ℚ tesi

Proprietà Fondamentali o Assiomi

Caratterizzazione assiomatica della retta reale

• Proprietà della Somma
1. Associativa

∀ a, b, c ∈ ℝ (a+b)+c = a+(b+c)

2. Commutativa

∀ a, b ∈ ℝ a+b = b+a

3. Esistenza dell’elemento neutro

∃ Q ∈ ℝ ∀ a ∈ ℝ a+Q = a

4. Esistenza dell’opposto

∀ x ∈ ℝ ∃ x ∈ ℝ : a+x = Q

Unità dell’elemento neutro

Per assurdo: sia Q′ ≠ Q un altro el. neutro

Q + Q′ = Q + Q′

Unità dell’opposto

Per assurdo: siano x, x′ opposti di a, x ≠ x′

x = x′ + (a + x)

Q: = x′ + (a + x) = x + (a + x)

Q + x′ = a + x + x′′ ⇒ x = x′ assurdo

Es.

A = [1,3] = {x ∈ | 1 ≤ x ≤ 3}

∃max A = 3 infatti ∃ ∈ A 3 ≥ x ∀x ∈ A

∀min A

Es.

A = {ⁿ/_n+1 | n ∈ } = {¹/₂, ²/₃, ³/₄, ...}

A = ]¹/₂, 1[ ∃ min A = ¹/₂

∀max A

¹/₂ ∈ A, ¹/₂ ≤ x ∀x ∈ A

¹/₂ = ⁿ/_n+1 ⇔ ¹/₂ ≤ ⁿ/_n+1 ⇔ 0 ≤ ^{u+1 - 2n}/_2(n+1) ≤

^1-n/_2n+2 ≤ 2n+2 > 0 (n ∈ ) ⇔ n ≥ 1

↓ vero ∀n ∈

A ¯ max A in quanto la successione data è strettamente crescente

∀n ∈ n/(n+1) < (n+1)/(n+2)

Infatti

ⁿ/_n+1 < ⁿ⁺¹/_n+2 ⇔ (n+1)(n+2) < φ → vero ∀n ∈

∀M ∈ A, k = n/φ ∃x ∈ A: x > M

• A ⊂ , A ⊆ , ∈ R

Definizione del maggiorante

Diciamo che L è un maggiorante di/per A se,

∀x ∈ A L ≥ x

L’insieme dei maggioranti forma un

←→ segmento illimitato a destra

segmento

A è limitato se ammette maggioranti

A = { 1/n | n ∈ ℕ } = { 1, 1/2, 1/3, ... }

0 ∉ A

Osserviamo che:

x₀ è di accumulazione per A

A (x) = { punti di accumulazione di A }

A ⊆ A(w)

Sicuramente i punti di A non lo sono

• x₀ = 1/n ∈ A (n↓1)

Affermo che non è vero che:

x ∈ A

∀ v > 0 Iₑ (x) ∩ A = {x}

Aᵢ (x) = { punti isolati di A }

• x₀ è isolato in A se: (x₀ ∈ A)

nel caso precedente:

A(x) = {0} Aᵢ (x) = A