Trave inflessa di Bernoulli, appunti teoria Scienza delle costruzioni

B

Nel centro relativo i due spostamenti nel tratto 1 e 2 devono coincidere. In che I #

modo? Il moto relativo tra CC’ è una pura traslazione quindi devono coincidere A

11 , I

i

gli angoli di cui ruotano il tratto 1 e 2. Ma noto che il secondo tratto ruota di un E

11

I

angolo zero quindi anche il primo dev è ruotare di un angolo zero. Per cui non è I &

I 5

vero che il primo ruota di omega, questo ruota di zero. I

A questo punto il secondo tratto di quanto si alza? Arbitrariamente poiché nel primo non ci sono

parametri e chiamo il valore del modulo dello spostamento del secondo tratto

J

Allo stesso modo voglio sapere quanto si sposta il punto di applicazione della forza F che ha due

componenti e determino anche quelle orizzontali:

al C

C

G cancide

↑

F

D

B # I

=

I hanno

# spostamento

tutti o

>

A -------------------- G

l , E

I

R

Le componenti del movimento dei punti di uno sono una rotazione intorno alla sua proiezione del

centro. Poiché il tratto 1 ruota di zero ha componenti orizzontali nulle. Il tratto due ha una

traslazione pura però so che il centro di rotazione è nella direzione orizzontale quindi la

traslazione è puramente verticale

Il lavoro virtuale sarà: lavoro lo

verticale F spostam 2

comple

che

componente di per

J .

2 =

Fu y6 076

R

0

= +

+ =

↓ O

C &

Il

Carico ( v(z)

distribuito sul

agisce Fermo e 0

pezzo =

q

>

> .

Sul lavoro

tratto

I nullo

Fa un

G Verticale

Spostamento

Ry Sotto tratto

Fu il G-C

= - R RE

Ora in CDE dobbiamo scrivere le equazioni di equilibrio nelle tre reazioni: RE

, , ↓

distanza tutte

tra A 3

e

orizzontali

centro

il

e al d

↓ praticamente

C'

C = Devono

al risultante

G avere

nullo il momento risultat

e

c

c

N te uguale al momento

G

-

- risultante della

I F

[ Rc

I

I D

B

b I -F

& [ > Re

I RAY

RD Fu

Se gGC

=

= =

I T I

-

I

I A

11 ,

A E

Facciamo polo in

E >

> [ 11

REX

X

RA Nell’equilibrio globale si hanno

Globale

deve

↳ Ra

a

opposta

essere 3 incognite:

Somma

poiché RAY

la *

delle REY RaX

orizzontali

forze deve , ,

essere nulla REX

RAY = -

4z)

4E)

E Rc(yc Fx(4H

4E)

RD(4p 0

-

- =

- -

- -

doppia EQUILIBRIO CE

DI

>

oraria RET

RD

Rc Fx +

+

+ 0

=

Se facciamo polo in A si ha: orizz

Comp onee

.

y

Fx(A)

XA)

Fu(x Ru(XE-xAtREx(YE-YA)

↑q(b) ba + + =

A +

+ -

-

- un

Fu

-

Verticale

Inoltre può essere conveniente caricare solo un pezzo alla volta e sovrapporre il finale. Conviene fare due strutture

caricate ognuna su una sola metà. Il fatto che uno dei due tratti sia scarico fa sì che uno dei due pezzi di sistemi di

equazioni sia omogeneo: è

Il di

momento 2-3

quello

uguale

>

alt a 211

- intorno ad A

C

C

G

[ S

RC

2 n incognita

>

-

D

B - - -F

>

> 3 RD

T I

-

- - - - -

A

11 ↓ tutto

è nullo

In E

incognita ma

, >

-

pachè è o --- è

A nita

1q 0

>

incog -

>

-

- -

I la

~ reazione

I verticale

della cerniera

esterna è o

B

Facendo polo in

>

- X X

Rc

ba RB

9GC = =

·

n

Consideriamo :

+

a C

↓

F Rc Fx(yH

h Fu(xy

yz) Xe) 0

=

#o =

- - -

- - q =q

Esempio *

C2

2 centro

x Il

>

-

I del

assoluto

I La struttura è isostatica? Ci sono 2 tratti quindi avrò:

Il tratto è

I I l'intersezione

I 6 l

6 i

delle

I vertical = -

-

I De

per E

per

I

I La

I La struttura non è labile poiché i centri non sono allineati

I

V I I

⑧ G

&

B &

A C È isostatica. Ammette soluzione equilibrata e

↓

↓ I E

D

centro

di

centro unica per qualunque condizione di carico.

Cezpoiché

rotazione ,

del Due

I tratto re

Calcolo con il principio dei lavori virtuali la reazione vincolare in D

Per farlo sostituiamo al carrello la sua reazione vincolare:

I A questo punto i centri non sono più

I quelli di prima poiché c’è un vincolo in

I La meno.

Cr [12 I

---------

. -

- j

A ⑳o

B

A C "

RD Ca

> Sta Sulla

-

i verticale E

di

! zeve essere

allineato con

" " C12

i 21 e

·

W2

N

we(4 ) Hik

! Z Walce

WeLAc = LAC

wa We

= =

*

· LCE

A Z

W2 . t

Le

funzione rotazioni

que

di

↳ Sono

V non

indipendenti

ha

rotazione Spo poiché

stamento la

che

di

punto appli labile

Struttura

sotto

Spostamento con carico volta

è 1

al

distribuito

mulla

cazione componente

della

v nella di

forza che proiezione

spostamento

ha uno 2

l'alto

verso : VB LAB

= W .

Il lavoro virtuale delle forze applicate sarà : So

2 RDw2Lbe fu

F quazdz

V + + o

= - - =

un ~

Spost E

.

punto

D a

lavoro di

Pongo Wa w

= *

qWLEG

F-FWLABRAWLAC del

- area

LbE +

= ↓ triangolo

LCE ↓ diagramma

ant

Intenst area

degli spost

.

(9 (

RD - .

= I

12/03/25

Il nostro obiettivo ora è quello di rimuovere l’ipotesi della rigidità poiché nella realtà i corpi non

sono rigidi. Inoltre se abbiamo un numero di reazioni vincolari da determinare che è maggiore

del numero delle equazioni cardinali della statica non possiamo di fatto calcolarle. Per sapere

come evolve una struttura dobbiamo quindi conoscere i principi con la quale essa si deforma,

in più la deformazione è una delle risposte alle nostre domande cioè sapere come si deforma

un oggetto, e in più essa ci dà informazioni sullo stato di sforzo interno.

Difatti la resistenza dei materiali dipende dallo sforzo interno, il quale dipende a sua volta

dalla deformazione come già detto. Dobbiamo quindi supporre che la struttura si deformi

per ragionare sullo sforzo interno, anche se si può studiarlo anche senza prima aver

introdotto cos’è nello specifico una deformazione.

Lo sforzo interno pertanto sono delle azioni che le parti del corpo si trasmettono l’una all’altra

per mantenere il solido nella sua conformazione.

⑫In Consideriamo quest’oggetto in equilibrio meccanico, cioè ci sono

delle forze applicate sui punti interni e sui punti della superficie

laterale dell’oggetto che sono in equilibrio con le reazioni vincolari

esercitate. La statica ci dice che questo sistema è in equilibrio se il

sistema delle forze applicate è equivalente a zero.

Po

⑳

4 I

O

↑

Se immagino ora di dividere in due il corpo, guardando solo alla parte di

sinistra su cui c’è la superficie di contatto con la parte di destra. Su Doo

questa parte sono applicate delle forze. Se il sistema è ancora in ↑

B

equilibrio devo immaginare che sulla faccia siano applicate delle azioni

forza che servono a tenere in equilibrio il totale. Sono delle reazioni

vincolari interne provocate da una parte del corpo sulla restante parte. V

·

Quindi questo azioni interne sono quelle che chiamiamo tensione degli

sforzi. La tensione ha diverse proprietà tra cui il fatto che sia una forza

per unità di superficie sulla superficie di contatto ed è composta da due

aliquote:

• quantità perpendicolare alla superficie di contatto

• Quantità parallela alla superficie di contatto Ha tre componenti su

ogni faccia

·

Di

La componente della

tensione in un punto Posso quindi definire una terna di riferimento nel

non è la proprietà del punto. La forza applicata ha una componente lungo la

punto, bensì dipende normale e due componenti nel piano del taglio.

qual è la normale Queste ultime si chiamano tensioni tangenziali, la

rispetto alla faccia che

sto tagliando componente ortogonale al taglio si chiama tensione

normale. Queste tre componenti dipendono dal taglio.

Se cambio la direzione del taglio nello stesso punto

ho una terna diversa da quella di prima.

Ogni faccia ha la sua terna di tensioni.

Perciò la tensione è un tensore

Nota :

⑫non In un solido se faccio un taglio come quello mostrato in figura misuro in quel punto

una forza applicata che ah due componenti: una ortogonale alla faccia e una

parallela alla faccia

B

Per quanto riguarda le travi queste sono dei cilindri con una sezione retta abbastanza piccola

rispetto alla lunghezza del cilindro.

ogni

in Le dimensioni delle basi del cilindro sono piccole

la forza

ossia

Sezioneno

A Superficie

alla

aperp . rispetto alla dimensione longitudinale. Per questo

pressioni retta

sezione lo

- Sforzo

*

I

della trave Il normale motivo (facendo anche l’ipotesi di Bernoulli) lo

è

* il risultante

>

* · studio della trave si può ricondurre allo studio

queste

-

· con della sua linea media, l’asse della trave, intesa

Faccia come la linea dei baricentri di tutte le sezioni. Per

Vu

- cui descriveremo la trave come un corpo il cui

↓ la

vedo rappresentate è la linea dei baricentri delle varie

com

a me sezioni, se le sezioni sono tutte uguali i baricentri

Z

>

⑧ ⑧ sono tutti allineati

yv

Per cui possiamo immaginare di scrivere tutte le equazioni relative soltanto all’ascissa z, far quindi diventare l’oggetto

tridimensionale un mono dimensionale in modo da poter scrivere tutte equazioni in una variabile

Se consideriamo tutte sezioni ortogonali alla linea d’asse in ogni sezione avremo tutte le tensioni applicate in tutti i punti

della se