Teoria della misura (Lebesgue) e problemi di Cauchy - appunti ed esercitazioni

ANALISI 3

Martedì - Barale 12,45 ⇒ 1,30 h

Mercoledì - Calcinoli

Pagani Silvia - Analisi matematica 2

SPAZI FUNZIONALI

28 Settembre 2016

La definizione di distanza d: X x X → ℝ

• ∀ x,y ∊ X d(x,y) ≥ 0 e d(x,y) = 0 (=) x=y
• ∀ x,y ∊ X d(x,y) = d(y,x)
• ∀ x,y,z ∊ X d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z)

Diseguaglianza triangolare

Esempio 1: d(x,y) = 0 se x=ye d(x,y)=1 x ≠ y

Esempio 2: su ℝ^m metrica euclidea,x=(x₁,...,x_m) y=(y₁,...,y_m)

d(x,y) = [∑_i=1^m ( x_i - y_i )² ]^1/2

Esempio 3: d₁(x,y) = ∑_i=1^m |x_i - y_i| su ℝ^m

Esempio 4: su ℝ^m d_∞(x,y) = max_i=1,...,m| x_i - y_i|

Spazio metrico Spazio topologico su cui abbiamo definito una distanza.

Se A ⊆ ℝ con A ≠ Φ B(A) = ↗ f: A → ℝ|f limitata ↘(Somma di funzioni limitate è limitata e prodotto di una funzione per un scalare è ancora una funzione limitata)

Siano f, g ∊ B(A) - d(f,g) = sup_x∊A|f(x) - g(x)|⁴

Vogliamo far vedere che si tratta di una metrica

1. d(f, g) > 0

d(f, g) = 0 ↔ f = g

↔ f, g altera auuamente sup_x∈A |f(x) - f(x)| = sup_x∈A 0

↔ d(f, g) = 0 - sup_x∈A |f(x) - g(x)| = f(x) - g(x) ∈ A

2. d(f, g) = sup_x∈A |f(x) - g(x)| = sup_x∈A |g(x) - f(x)| = d(g, f)

3. Siamo f, g, h ∈ B(A) d(f, g) ≤ d(f, h) + d(h, g)

Se x∈ A |f(x) - g(x)| = |f(x) - h(x) + h(x) - g(x)|

≤ |f(x) - h(x)| + |h(x) - g(x)|

= sup_x∈A |f(x) - h(x)| + sup_x∈A |h(x) - g(x)|

= d(f, h) + d(h, g)

Qumque assolamo che |f(x) - g(x)|≤ d(f, h) + d(h, g)

∈ x∈ A e qumai rele anche per que portatore x | |f(x) - g(x)| = d(f, g)

Nota Bene: L'estremo superiore e il minimo dei maggiorni ai un insieme

Siano (X, d_X) e (Y, d_Y) due spazi metrici

Sia F: X → Y

• Diciamo che F è limitata se F(X) è limitata in Y
• A ⊆ X è limitato se ∃ H > 0 e x₀ ∈ X tali che A ⊆ B(x₀, H)
• Diciamo che F è continua um z ∈ X se ∀ successione x_n ∈ X tale che x_n → z vale F(x_n) → F(z)
• equivalentemente F è continua um z ∈ X se ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tale che d_X(z, x) < δ ⇒ d_Y(F(x), F(z)) < ε
• Diciamo che F è lipschitziana se ∃ L > 0 tale che ∀ x,y ∈ X d_Y(F(x), F(y)) ≤ L d_X(x, y)

distanza in Y distanza in X

F: X → Y è una contrazione se è lipschitziana con 0 < L < 1

PROPOSIZIONE Se F: X → Y lipschitziana allora F è continua um z ∀ z ∈ X

• DIM
• ∀ x_n ∈ X x_n → z d_X(x_n, z) → 0
• 0 ≤ d_Y(F(x_n), F(z)) ≤ L d_X(x_n, z) → 0
• Quindi per il teorema del confronto
• d_Y(F(x_n), F(z)) → 0 ⇔ x_n → F(z)

3 Monotonia

Def. A,B ⊂ ℝ^m con A ⊂ B ∀ {R_k} copertura di B mediante rettangoli chiusi ∃ tale ancora per A m* (A) ≤ ∑_k=1^∞ vol (R_k) Prendo l'estremo inferiore rispetto a {R_k} => m* (A) ≤ m* (B) ▯

4 Nomenalbe additività

Dim. Inizia a provare la numerabile sub-additività Se {E_j} j ∈ ℕ con E_j ⊂ ℝ^m allora m* (∪_j=n^∞ E_j) ≤ ∑_j=n^∞ m* (E_j)

• Se ∑_j=n^∞ m* (E_j) = ∞ ok.
• Supponiamo ∑_j=n^∞ m* (E_j) ≥ 0

Deve essere m* (E_j) ≥ 0 ∞ Fisso ε > 0. Poiché inf {∑ vol(RR)} | R_k| rettangoli chiusi ∪R_k ⊃ E_j , m* (E_j) ∃ 1 R_j, j ∈ Ɛ_ℕ famiglia di rettangoli chiusi tali che ∪_{k ∈ ℕ} R_j ⊃ E_j ∑_{k ∈ ℕ} vol (R_k) ≤ m* (E_j) + ε/2_j Prendo {R_j}_{j ∈ Ɛ} tali che ∪_{k ∈ ℕ} R_j ⊃ ∪_{j ∈ ℕ} E_j

m* (∪ E_j) ≤ ∑_k,j vol(R_k) = ∑_j=n∑_k∈ℕ vol(R_ij) ≤ d=1 m* (E_j) + ε/2_j = n=1 m* (E_j) + ε/2∑_{j 0 arbitrario allora m* (∪ Ej) ≤ ∑n=1^∞ m* (Ej)}

|| · ||: E⁰([a,b])

||f|| = max_x∈[a,b] |f(x)| ∀x ∈ [a,b]

d(f,g) = max_x∈[a,b] |f(x) - g(x)| = ||f - g||

PROPOSIZIONE

Su || · || norma su E⁰([a,b])

S’intuìta appunto di una norma

DIM

f,g ∈ E⁰([a,b])

||f + g|| = max_x∈[a,b] |f(x) + g(x)| ≤ max_x∈[a,b] |f(x)| + |g(x)| = max_x∈[a,b] f(x) + max_x∈[a,b] g(x)

||f|| + ||g||

If ||f||_n = ∫_a^b |f(x)| dx ≥ 0, f = 0 implies ||f|| = 0

LEMMA

Se f ∈ E⁰([a,b]): f ≥ 0,

Se ∫_a^b f(x) dx = 0 ⇒ f(x) = 0 ∀x ∈ [a,b]

DIM

Per assurdo

se f(x) > 0 ∃x₀ ∈ [a,b] ∃n,δ>0 tali che

f(x) > δ_n ∀x ∈ [x₀-δ₂, x₀+δ₂]

∫_a^b f(x) dx = ∫_a^x₀-δ₂ f(x) dx + ∫_x₀-δ₂^x₀+δ₂ f(x) dx + ∫_x₀+δ₂^b f(x) dx = ∫_x₀-δ₂^x₀+δ₂ f(x) dx > γ (x₀-δ₂) δ_n δx =

2δₙδ₂ > 0

A,B ∈ M ⇒ A ∩ B ∈ M

A^c ∈ M perché A,B^c ∈ M

ESERCIZIO: trovare la più piccola σ-algebra che contiene (-∞,1) e [0,∞)

Dato X e dati A,B ⊂ X tali che A ∪ B = X e A ∩ B = ϕ

la più piccola σ-algebra che contiene A e B è

{ϕ, A, B, X}

L'insieme delle parti è una σ-algebra

(-∞,1)^c = (1,+∞)

[0,+∞)^c = (-∞,0)

(-∞,1) ∩ [0,+∞) = [0,1)

Chiamiamo la più piccola σ-algebra contenente (-∞,1) e [0,+∞)

M₂ = {ϕ, (-∞,1), [0,+∞), [0,1), (-∞,0), (1,+∞), (-∞,0) ∪ (1,+∞)}

Contiene n^e insiemi nel caso sia formata

da n pezzi disgiunti

Sia (X, M₂) con M₂ σ-algebra, prende le misure su

spazio misurabile

Una misura su X è una funzione μ: M₂ → [0,∞)

dove M₂ è una σ-algebra e μ è unica:

1. μ(ϕ) = 0
2. ∀{E_k}_k∈N ⊂ M₂ con E_k ∩ E_h = ϕ se h ≠ k
3. altrimenti μ(∪_k∈N E_k) = ∑_k∈N μ(E_k)

u_k,j → u_ij e u = (u_n, u_n) t.c. senza limite

Voglio arrivare a una contraddizione

0 ≤ ||u|| = ||u - u_ij + u_k,j|| ≤ ||u - u_ij|| + ||u_k,j|| ≤ ||u - u_k,j|| + ||u_k,j|| ≤ ∑_i=1^C ||u - u_k,j|| ^Λ_kj → 0

→→ u = 0

0 ≤ ||u||∞ - 1| = ||u||∞ - 1||u||∞ - 1| ≤ ||u - u_k,j||Λ = ∑_i=1^C ||u - u_k,j|| → 0

→→ ||u||∞ = 1 e quindi u ≠ 0

Rispetto ad una norma n ho che un isomomorfismo e quindi è zero rispetto vero lens n ha ||u||∞ = 1

ESEMPIO Due norme nello spazio delle funzioni continue su un intervallo

Sia X = ℓ^∞([a,b]) ||f||∞ = max_x∈[a,b] |f(x)| e f ∈ ℓ¹ = ∫_a^b |f(x)| dx

||f||₁ = ∫_a^b |f(x)| dx ≤ ∫_a^b |f| |f|_∞ dx = ||f||_∞ (b-a)

||f||_∞ ≤ C ||f|| all [a,b] = [0,1]

e sia f_m(x) = x^m ||f_m(x)||_∞{m∈ℕ}

||f_m||_∞ = 1

∫₀^x x^m dx = ¹_m+nx^m+n_a^b = ¹_m+n

Λ ≤ C ¹_m+n → 0 quindi non è possibile trovare C