Teoria della misura (Lebesgue) e problemi di Cauchy - appunti ed esercitazioni

ANALISI 3

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Pagani Salsa - Analisi matematica 2

SPAZI FUNZIONALI

27 Settembre 2016

Definizione di distanza di: X × X → ℝ

• ∀ x, y ∈ X d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 (⇔) x = y
• ∀ x, y ∈ X d(x, y) = d(y, x)
• ∀ x, y, z ∈ X d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)

Disuguaglianza triangolare

ESEMPIO

1. d(x, y) = 0 se x = y e d(x, y) = 1 x ≠ y
2. su ℝⁿ metrica euclidea,x = (x₁, ..., xₘ) y = (y₁, ..., yₘ)

d(x, y) = ( √(Σ (xⱼ - yⱼ)²) )

ESEMPIO

3. d₁(x, y) = Σ |xⱼ - yⱼ| su ℝⁿ
4. su ℝⁿ d∞(x, y) = max |xⱼ - yⱼ|

Spazio metrico Spazio topologico su cui abbiamo definito una distanza

Sia A ⊂ ℝ con A ≠ Φ B(A) = {f: A → ℝ | f limitata}(Somma di funzioni limitate è limitata e prodotto di una funzione per un reale è ancora una funzione limitata)Sono f, g ∈ B(A) - d(f, g) := sup_{x ∈ A} | f(x) - g(x) |

Vogliamo far vedere che si tratta di una metrica

continua

ANALISI 3

Martedì - Badiale

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Pogoni Salsa - Analisi matematica 2

SPAZI FUNZIONALI

21 Settembre 2016

• La definizione di distanza di: X × X → ℝ
  1. ∀ x,y ∈ X d(x,y) ≧ 0 e d(x,y) = 0 (⇔) x = y
  2. ∀ x,y ∈ X d(x,y) = d(y,x)
  3. ∀ x,y,z ∈ X d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z)

  Disuguaglianza triangolare

ESEMPIO ①

• d(x,y) = 0 se x = y
• e d(x,y) = ∧ x ≠ x ≠ y

ESEMPIO ②

un ℝ^m metrica euclidea

x=(x₁,...,x_m) y=(y₁,...,y_m)

d(x,y) = (∑_i=1^m(x_j - y_j)²)^½

ESEMPIO ③

d₁(x,y) = ∑_i=1^m | x_i - y_i | su ℝ^m

ESEMPIO ④

su ℝ^m d_∞(x,y) = max_i=1,...,m | x_i - y_i |

• Spazio metrico Spazio topologico su cui abbiamo definito una distanza

• Sia A ⊆ ℝ con A ≠ ø B(A) = L_∞ f: A → ℝ, f limitata

  (Somma di funzioni limitate è limitata e prodotto di una funzione per un scalare è ancora una funzione limitata)

  Siano f, g ∈ B(A) - d(f,g) = sup_{x ∈ A} | f(x) - g(x) |

Vogliamo far vedere che si tratta di una metrica

1)

d(f,g) > 0

d(f,g) = 0 <=> f = g

f = g allora sicuramente sup_x∈A |f(x) - f(x)| = sup_x∈A 0 =

=> d(f,g) = 0 - sup_x∈A |f(x) - g(x)| => f(x) = g(x)

                             ∀ x ∈ A

2)

d(f,g) = sup_x∈A |f(x) - g(x)| = sup_x∈A |g(x) - f(x)|

= d(g,f)

3)

Siano f,g,h ∈ B(A) allora d(f,g) ≤ d(f,h) + d(h,g)

Sia x ∈ A |f(x) - g(x)| = |f(x) - h(x) + h(x) - g(x)|

≤ |f(x) - h(x)| + |h(x) - g(x)|

≤ sup_x∈A |f(x) - h(x)| + sup_x∈A |h(x) - g(x)|

= d(f,h) + d(h,g)

Quindi abbiamo che |f(x) - g(x)| ≤ d(f,h) + d(h,g)

               ∀ x ∈ A e quindi vale anche per quel particolare x |f(x) - g(x)| = d(f,g)

NB:

L'estremo superiore è il minimo dei maggioranti di un insieme

✳ Sia A=[a₁,b₁] ℓ^∞ ([a₁,b₁]) ⊆ B([a₁,b₁])

Sono f,g ∈ ℓ^∞ ([a₁,b₁])

d(f,g) = max_x∈[a1,b1] |f(x) - g(x)|

✳ Sia X con una metrica d e x₀∈X r>0

B(x₀,r) = {y ∈ X | d(x₀,y)<r}

    palla aperta

✳ Sia U⊆X è un intorno di x₀ se ∃ R>0 | B(x₀,R)⊆U

Un intorno è un sottoinsieme dello spazio X che contiene una palla aperta

✳ Sia (X,d) spazio metrico. ∀ x_m∈N ∈X successione.

Diciamo che: lim_m x_m = z

se ∀ϵ>0 ∃m∈N tali che ∀m>m d(x_m,z)<ϵ

successione convergente

(ii) ∀intorno V di z ∃m∈N tale che ∀m>m

x_m∈V

(iii) lim_m d(x_m,z) = 0