Metodi Matematici per L'Ingegneria - Teoria (riassunto)

PROGRAMMA DEL CORSO DI METODI MATEMATICI PER ELETTRONICA (12 CREDITI): 2014/2015

Solo per il corso di Elettronica.

CURVE E INTEGRALI DI CURVE E CAMPI.

Definizione di curva, velocità e accelerazione. Curva semplice, chiusa, regolare. Sostegno di una curva. Versore tangente. Curve equivalenti e equipotenti. Lunghezza di una poligonale e di una curva. (Teorema di rettificabilità.)

Esempio di curva non rettificabile. Esempi: Ellisse, spirale, spirale logaritmica, elica. Integrale curvilineo.

Invarianza degli integrali curvilinei per curve equivalenti. Definizione di ascissa curvilinea e (parametrizzazione ad arco). Curvatura di curve piane e param. ad arco. Massa, baricentro, momento d’inerzia.

Campi di vettori e lavoro lungo una curva. Forme differenziali. Relazione tra campi e forme. Forme esatte e loro integrazione. Teorema di classificazione delle forme esatte. Forme chiuse, campi irrotazionali. Relazione tra forme chiuse ed esatte. Definizione di stellato. Teorema di Poincarè su stellati. Dominii semplicemente connessi.

INTEGRALI DOPPI E TRIPLI, SUPERFICI E FLUSSI.

Domìni normali rispetto agli assi. Integrale di Riemann in R². Uniforme continuità, teorema di Heine Cantor. Integrabilità delle funzioni continue. Formule di riduzione in domìni normali. Proprietà elementari degli integrali di Rⁿ: additività, linearità, (int. del valore assoluto. Interpretazione geometrica del determinante. Formule di cambiamento di variabili.). Coordinate polari. Domìni non normali regolare. Formule di Gauss-Green e Teorema della divergenza in R². Interpretazione fisica. Teorema di Poincarè su semplici. Connessi. Formula di Stokes in R². Integrazione per parti. Formula dell’area.

Integrale su un insieme limitato di R³. Formule di riduzione. Applicazioni dell’integrale triplo al calcolo del baricentro e dei moment d’inerzia rispetto a un asse fisso di un corpo solido materiale. Trasformazioni assimilanti. Formula del cambiamento di coordinate negli integrali tripli. Coordinate sferiche e coordinate cilindriche nello spazio. Esempi. Integrali tripli: esempi. Superfici regolari. Superfici equivalenti. Normale. Area di una superficie.

Integrali di superficie (invarianza per superfici equivalenti). Superfici come grafici e superfici di rotazione. Esempi. Superfici di rotazione: coni e tori. Teoremi di Guldino. Superfici orientabili e nastro di Moebius. Flusso di un campo attraverso una superficie. Superfici con bordo e orientazione indotta. Teorema della divergenza e del rotore.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE.

Definizione di EDO, equazioni in forma normale. Problema di Cauchy. Soluzioni massimali e prolungabili. Equazioni a variabili separabili. Teorema di esistenza e unicità. Esempi di soluzioni non globali e non uniche. Equivalenza tra equazioni e sistemi. Equazioni differenziali lineari, omogenee e non. Spazio delle soluzioni e integrale generale di una equazione omogenea e non. Equazioni differenziali lineari del primo ordine: formula risolutiva. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti di ordine superiore al primo. Esempi. Equazioni differenziali lineari: Wronskiana, teorema del Wronskiano, dimensione dello spazio delle soluzioni. Analisi qualitativa delle soluzioni di una equazione differenziale: spazio delle fasi.

TEORIA DELL’INTEGRAZIONE.

Teoria della misura. Plurintegraabio e loro misura. Misura di Lebesgue di un aperto

... e di un compatto. Insiemi misurabili secondo Lebesgue. Funzioni misurabili. Insieme di Cantor. Misurabilità di Q e Q_n. Valore Principale e problemi di definizione per integrali oscillanti. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale: convergenza semplice uniforme e totale; teorema di Lebesgue. Controesempi. Parte comune ai corsi di Biomedica ed Elettronica.

ANALISI COMPLESSA.

Funzioni di una variabile complessa. Funzioni olomorfe. Residui. Il campo complesso. Potenze e radici n-esime. Esponenziale complesso. Formula di Eulero. Funzioni di una variabile complessa. Funzioni elementari. Limiti e continuità. Funzioni inverse e regioni fondamentali. Logaritmo complesso. Continuità del logaritmo e delle potenze in campo complesso. Funzioni olomorfe. Derivabilità e differenziabilità. Condizioni di Cauchy-Riemann. Olomorfia delle funzioni elementari. Condizioni di Cauchy-Riemann in coordinate polari. Curve regolari e integrali curvilinei. Integrazione in campo complesso. Primitive di una funzione e classificazione delle funzioni che ammettono primitiva. Teorema dell'integrale nullo di Cauchy. Formula integrale di Cauchy. Applicazioni. Integrali di Fresnel. Serie di potenze in campo complesso. Teorema di Abel. Criterio di Cauchy-Hadamard. Regioni di convergenza (Teorema di derivazione per serie). Funzioni analitiche. Analiticità delle funzioni olomorfe. Teorema di Goursat e di Morera. Zeri di funzioni analitiche. Principio di identità. Prolungamento analitico. Disuguaglianza di Cauchy. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra. Punti di singolarità isolata e loro classificazione. Residui. Calcolo di residui nel caso di poli. Serie bilatere. Sviluppo in serie di Laurent. Teorema di sviluppabilità. Classificazione delle singolarità isolate con le serie di Laurent e applicazione al calcolo di residui. Teorema dei residui. Lemma del grande cerchio e del piccolo cerchio. Lemma di Jordan. Calcolo di integrali con il metodo dei residui.

SERIE DI FOURIER

Richiami sulle serie di Fourier e loro espressione in forma complessa. Richiami sugli spazi vettoriali complessi. Proiezioni ortogonali. Disuguaglianza di Bessel e (identità di Parseval). Lemma di Riemann-Lebesgue in L². Convergenza puntuale (lim. solo parte finita) e uniforme delle serie di Fourier. (Convergenza delle serie di Fourier in senso L²).

TRASFORMATE DI FOURIER E DI LAPLACE.

Definizione di trasformata di Fourier (TF). Legame tra serie e trasformate di Fourier Continuità e proprietà asintotiche della TF. Simmetria della TF. Proprietà algebriche della TF. (Teorema della convergenza dominata di Lebesgue.) TF della derivata e derivata della TF. (TF della gaussiana). (Formula di inversione) e di dualità. Teoremi di Fubini e Tonelli. Prodotto di convoluzione e sua TF. Funzioni a decrescenza rapida e operatore TF sul tale spazio. Teorema di Plancherel. Funzioni di quadrato sommabile e operatore TF su tale spazio. Definizione di trasformata di Laplace (TL). Proprietà asintotiche della TL. Proprietà algebriche e differenziali della TL. Continuità della TL. TL della derivata e derivata della TL. Teorema del valore finale e del valore iniziale. Inversione della TL e legame con la trasformata di Fourier. Prodotto di convoluzione e sua TL. Utilizzo della Trasformata di Laplace nelle equazioni differenziali e integrali. Inversione delle funzioni razionali fratte. Prodotti di serie di Taylor.

• Scrivo in Grassetto le parti molto importanti.

Block Notes

Posso costruire l'inversa di s(t) e esiste perché s'(t) ≠ 0

∀ t ∈ [a, b], Chiamiamo l'inversa t(s), t ∈ [0, L(r)] ⇒ [a, b] ⇒

t(s), s’(t) ∥y’(t)∥ = ∥y’(t)∥ = ∥y’(t(s))∥

ψ(s) = y(t(s)) X DEFINIZ.

⇒

∂ψ/∂s = ∂y/∂t(t(s)), t(s) = y’(t(s))

t(s) = y’(t(s)) = ∥y’(t(s))∥

= 1 = ∥ψ(s)∥

Lavoro associato ad uno spostamento

Si definisce campo di vettori in A ⊂ ℝⁿ , A aperto, una funzione F di classe C¹. Considera un campo F: A → ℝⁿ, una curva Y: [a, b] → ℝⁿ Chiamiamo lavoro di F su Y lo scalare:

L = ∫_γ F(T(s)) ds = ∫_a F(Y(t)), T(t)) dt II SPECIE

Teorema di integrazione delle forme esatte

Una forma w è ESATTA se U: A → ℝ POTENZIALE t.c. dU=w

Sia γ una curva: se w è ESATTA e U è il suo potenziale

∫_γw = U(Y(b)) - U(Y(a)) DIFFERENZA DI POTENZIALE

Dim

w = (a₁(x₁...xₙ) dx₁ + ... + aₙ(x₁...xₙ) dxₙ) Y(t) = (x₁(t) ... xₙ(t))

L = ∫_γ = ∫_a^b( a₁(x₁(t)...xₙ(t)) x₁(t) + ... + aₙ(x₁(t)...xₙ(t)) xₙ(t)) dt

dU/dx_i = a_i ⇒ i= a_i ⇒ L = ∫_a^b(∂U/∂x_i)(x₁(t)...xₙ(t))x_i(t) + ∂U/∂x_n(x₁(t)...xₙ(t))x_n(t)) dt

d/dt(U(Y(t)) = ∂/∂t (U(x₁(t)...xₙ(t)) = (∂U/∂x_i(Y(t))) x’_i(t) - ∂U/∂x_n(Y(t)) x’_n(t)

L = ∫_a^bd/dt(U(y(t))) dt = U(Y(b)) - U(Y(a))