Metodi matematici per l'ingegneria - Teoria

ANALISI COMPLESSA.TEORIA DELL’INTEGRAZIONE.

Teoria della misura. Plurirettangoli e loro misura. Misura interna ed esterna e misurabilità secondo Peano-Jordan. Integrale di Riemann e sue proprietà. Misura di Lebesgue di un aperto e di un compatto. Insiemi misurabili secondo Lebesgue. Funzioni misurabili. Insieme di Cantor. Misurabilità di Q e Qⁿ. Valore principale e problemi di definizione degli integrali oscillanti. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di Integrale: convergenza totale, uniforme e semplice; Teorema di Lebesgue. Controesempi.Funzioni di una variabile complessa. Funzioni olomorfe. Residui.

Il campo complesso. Potenze e radici n-esime. Esponenziale complesso. Formula di Eulero. Funzioni di una variabile complessa. Funzioni elementari. Limiti e continuità. Funzioni inverse e regioni fondamentali. Logaritmo complesso. Continuità del logaritmo e delle potenze in campo complesso. Funzioni olomorfe. Derivabilità e differenziabilità. Condizioni di Cauchy-Riemann. Olomorfia delle funzioni elementari. Condizioni di Cauchy-Riemann in coordinate polari. Curve regolari e integrali curvilinei. Integrazione in campo complesso. Primitive di una funzione e classificazione delle funzioni che ammettono primitiva. Teorema dell’integrale nullo di Cauchy. Formula integrale di Cauchy. Applicazioni. Integrali di Fresnel.

Serie di potenze in campo complesso. (Teorema di derivazione per serie). Funzioni analitiche. Analiticità delle funzioni olomorfe. Teorema di Goursat e di Morera. Zeri di funzioni analitiche. Principio di identità. Prolungamento analitico. Disuguaglianze di Cauchy. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell’algebra.Punti di singolarità isolata e loro classificazione. Residui. Calcolo di residui nel caso di poli. Serie bilatere. Sviluppo in serie di Laurent. Teorema di sviluppabilità. Classificazione delle singolarità isolate con le serie di Laurent e applicazione al calcolo di residui.Teorema dei residui. Lemma del grande cerchio e del piccolo cerchio. Lemma di Jordan. Calcolo di integrali con il metodo dei residui.

SERIE DI FOURIERRichiami sulle serie di Fourier e loro espressione in forma complessa. Richiami sugli spazi vettoriali complessi. Proiezioni ortogonali. Disuguaglianze di Bessel, e (identità di Parseval). Lemma di Riemann-Lebesgue in L². (Convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier.) (Convergenza delle serie di Fourier in senso L²).

TRASFORMATE DI FOURIER E DI LAPLACE.Definizione di trasformata di Fourier (TF). Legame tra serie e trasformate di Fourier Continuità e proprietà asintotiche della TF. Simmetria della TF. Proprietà algebriche della TF. (Teorema della convergenza dominata di Lebesgue.) TF della derivata e derivata della TF. (TF della gaussiana). (Formula di inversione) e di dualità. I teoremi di Fubini e Tonelli. Prodotto di convoluzione e sua TF. Funzioni a decrescenza rapida e operatore TF su tale spazio. Teorema di Plancherel. Funzioni di quadrato sommabile e operatore TF sul tale spazio. Definizione di trasformata di Laplace (TL). Proprietà asintotiche della TL. Proprietà algebriche e differenziali della TL. Continuità della TL. TL della derivata e derivata della TL. Teorema del valore finale e del valore iniziale. Inversione della TL e legame con la trasformata di Fourier. Prodotto di convoluzione e sua TL. Utilizzo della Trasformata di Laplace nelle equazioni differenziali e integrazione TL di segnali periodici. Prodotti di serie bilatere.

ANALISI COMPLESSA.TEORIA DELL’INTEGRAZIONE.

Teoria della misura. Plurirettangoli e loro misura. Misura interna ed esterna e misurabilità secondo Peano-Jordan. Integrale di Riemann e sue proprietà. Misura di Lebesgue di un aperto e di un compatto. Insiemi misurabili secondo Lebesgue. Funzioni misurabili. Insieme di Cantor. Misurabilità di ℚ e ℚⁿ. Valore principale e problemi di definizione degli integrali oscillanti. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di Integrale: convergenza totale, uniforme e semplice; Teorema di Lebesgue. Controesempi.

Funzioni di una variabile complessa. Funzioni olomorfe. Residui.

Il campo complesso. Potenze e radici n-esime. Esponenziale complesso. Formula di Eulero. Funzioni di una variabile complessa. Funzioni elementari. Limiti e continuità. Funzioni inverse e regioni fondamentali. Logaritmo complesso. Continuità del logaritmo e delle potenze in campo complesso. Funzioni olomorfe. Derivabilità e differenziabilità. Condizioni di Cauchy-Riemann. Olomorfia delle funzioni elementari. Condizioni di Cauchy-Riemann in coordinate polari. Curve regolari e integrali curvilinei. Integrazione in campo complesso. Primitive di una funzione e classificazione delle funzioni che ammettono primitiva. Teorema dell'integrale nullo di Cau