teoria del portafoglio e dei contratti derivati

CONTRATTI A TERMINE (FORWARD)

Contratti di compravendita in cui 2 parti convengono di scambiarsi un bene e denaro a una data futura determinata (o determinabile) a un prezzo prefissato F(t,T) detto prezzo a termine o prezzo forward.

Sono contratti OTC → max flessibilità.

OSS: v(t,T,S) equivalente a F(t,T), uso di ipotesi solo t ed interesse o F(t,T).

HP DI LAVORO:

• HP sottostante scambiato su mkt perfetto
• Non presenza di (costi transazione e imposte)
• Completo (arbitraggiatori di profitti e price-taker)
• Titoli infinitamente divisibili
• Vendita allo scoperto

Considero P(t) ma non P(t)

HP "LIQUIDAZIONE PER CONTANTI" > se per P(T) c'è un...

compratore

venditore

HP "NO RISCHIO DI INSOLVENZA"

HP "NO ARBITRAGGIO"

OSS. Il MKT OTC dove sono scambiati questi contratti

OSS. Un prezzo a pronti e visibilità di inf./p/l/perse...

P(t) - F(t, T) = BASE A BASIS

- P a pronti - P a termine

Se t = T F(t, T) = P(t)

ES. 1 oncia d'oro

(t = 0 P(0) = 1200$ F(0; 0,25) = 1225$

P(0) - F(0; 0,25) = -25$

Oggi vale 1200 e noi ci impegniamo a pagare tra 3 mesi 1225.

SPECULATORI HEDGER ARBITRAGGISTI

PARADIGMA DELL'UTILITÀ ATTESA

Gli hedgers e gli speculatori possono essere soggetti ad ambedue aversioni al rischio: da accettare o di scaricare le rispettive posizioni finanziarie motivati da un diverso trade-off rischio rendimento. I primi accettano solo aspettative di profitto negative pur di ottenere una diminuzione della rischiosità della loro posizione. I secondi accettano un aumento della rischiosità purché compensato da una aspettativa di profitto sufficientemente elevata.

LOCALIZZAZIONE DI ARBITRAGGIO TRA PREZZI A PRONTI E A TERMINE

• ZCB STOCASTICO di titolo che dà al detentore il diritto di ricevere alla scadenza T > 0, E un importo X(T) aleatorio in t e noto in t⁎

V(t,X(T)|

OSS. 1 Applicazione ai contratti forward se X(T) = P(T)

OSS. 2 Si prendono gli eventuali dividendi pagati tra t e T del bene sottostante

OSS. 3 Caso particolare ZCB UTILIARIO DETERMINISTICO:

X(t)=1 V(t;t) = v(t|t)

OSS. 4 STRUTTURE PER SCADENZA IN T

i(t,T) = 1_t log v(t,t)

V(t,T) = -1_T log v(t,T)

RENDIMENTO A SCADENZA

YIELD TO MATURITY

Dall'ultima equazione e teoria :

F(t, T) = P(C) e^{-rE(t,T) P(C)} _F(t,T)

da cui :

F(t, T) = [1 + i^E(t,T)]^(T-t)

P(C) = e^{-rE(t,T) * rE(t,T)1.0} = e^{[rE(t,T) - rE(t,T)](T-t)}

Parita Corretta dei Tassi di Interesse

Parita Corretta e Arbitraggio

Strategia 1:

Se il t è investito a basso rischio allora _{t ' K} unità

di VE sul mercato domestico si avrà in ^{t'l'ammontare t- t (VE = K /iE(t,T))}

Strategia 2:

combina a pronta l'importo K ottenuto da ^{K /P(E)} unità

di VE e rieseguitivamente in investimento a tasso fisso fino

a T questo importa, per ^{VE = K / P(t) * 1}/_{(1 /i^E(t,T))}

unità di VE che è unità sono ^{t+ 2_so - f(t,T)}

Per evitare arbitraggio (utilizzare V_T=V_T

Strategia 2:

A ^-> B

5 ^/P(E)

importo x 1/I^E(t,T) -> 1 B^'

A ^-> A' ^-> B ^-> B

Il principio di arbitraggio richiede che i due percorsi con

posizione equivalente

Pezzo Futures

• mercato perfetto, futures a T per consegna a T riaggiustato giornaliero assenza di derivate accessorie

Th. _Φ(t, T) = √[E, P(T)^- Φ(t, T)^- ] con Φ(t, T)^- = ¹⁄_{υ(E+K-1, E+K)} Variabile Aleatoria

Dim. senza perdita di generalità con t=0 e T=2AzioniE₀ -> in t posizione long in futures di ¹⁄_ν(0,1) e in 1 si chiudeIΦ -> in t si inverte Φ(0,2) fino a 1I₁ -> in 1 si inverte fino a 2 il ricavo netto di E₀ e IΦE₁ -> in 1 si posizione long in futures di F/[2υ(0,1)・υ(1,2)]

Per la legge del prezzo unico:Φ(0,2) = √[0, P(2)/ν(0,1)・υ(1,2)] = √[0, P(2)・φ(0,2) ]

Opzioni finanziarie

• Call e Put Europee

Opzione Call (Put) Europea su un'attività con prezzo S(t) = (contatto che dà al detentore (holder) il diritto di comprare (vendere) l'attività sottostante a una convenuta data futura T a un prezzo prefissato K).

• K = Prezzo di esercizio (strike price)
• T = Scadenza (maturity)

Con l'acquisto di un'opzione si acquisisce un diritto, il detentore di un'opzione è libero di non esercitare il suo diritto ad acquistare il sottostante (se detiene la call) o a venderlo (se detiene la put).

Chi ha venduto un'opzione, oltre ad aver venduto un diritto, ha l'obbligo di vendere il sottostante (se ha venduto la call) o di acquistarlo (se ha venduto la put).

Opzioni Americane

Differsicono per il fatto che possono essere esercitate anche prima della scadenza T.

• Posizione Long - Acquisto
• Posizione Short - Vendo

• CALL e PUT AMERICANI

EARLY EXERCISE (ESERCIZIO ANTICIPATO): consentono l'esercizio non solo alla scadenza t ma anche in ogni istante t precedente

OSS. Per (LCL?) si definisce TIME VALUE di un'opzione americana la differenza Θ(E) tra il valore corrente dell'opzione e il suo valore intrinseco C(t) o P(t) di volota di mercato in t

Θ^C(E) = C(t) - max{S(t) - k; 0}

Θ^P(t) = P(t) - max{k - S(t); 0}

Il time value rappresenta la componente di prezzo che andrebbe perduta se l'opzione fosse detenuta fino a scadenza e se il prezzo finale del sottostante coincidesse col prezzo corrente (S(T) = S(t)).

EX

10,000

M(t) = 10,000

(0,1) = 0,03

_{min garantito} = 0,01

Y(1) = 10,000 · max { M(t) , 1,04 }

Y(1) = n(0) · max { M(1), kc } = 10 · max { M(1), 1,0108 }con kc = 1,000 · 1,01

MODALITÁ MINIMO GARANTITO A SCADENZA

SCOMPOSIZIONE PUT:

Y(1) = 10 · M(1) + 10 · max { 1010 - M(1), 0 }

V(0,Y(1)) = 10,000 + 10 · P(0)

10 · P(0) = COSTO DELLA GARANZIA DI MINIMO

Se P(0) = 50 → 10 · P(0) = 500 e V(0) = 10,500

SCOMPOSIZIONE CALL:

Y(1) = 10 · kc + 10 · max { M(1) - 1010, 0 }

V(0,Y(1)) = 9,806 + 10 · C(0)

9,806 = valore di mkt di n. 10 ZCB che garantisce in 1 il pagamento certo di 10,000

Se P(0) = 50 → C(0) = (10,500 - 9,806) / 10 = 69,4

Se (0,1) = _min = 0,01 → D V_c = 1010 · F(0,1) _{valore forward} → C(0) = P(0)