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Teoria delle Decisioni
È necessario richiamare alcuni elementi della teoria dell'utilità.
L'ali principale è il problema della scelta tra operazioni finanziarie inverse. L'incertezza è data nel fatto che vi sia scadenza non più imparte nel in uno stato limitato certo, ma impartire aleatoria il cui volere futuro (VF) è ignoto.
Si consideri un determinato individuo I, in una certa posizione iniziale 1 che può essere certa (determinata di uno scambio sia diventato o accada certa determinata di uno scambio che giunga ad uno istruzione finale 2 incerta (della vorte è propria variabile aleatoria).
L'operazione di scambio (1 2) può andare a definire una variabile aleatoria "guadagno" detta G, definita come:
X2 - X1 -> G
Osservazione
Si farà sempre riferimento a variabile aleatorie discrete, per cui:
- X{
- X1
- X2
- Xm}
E(X) = ∑k=1m Xk Pk
L'interesse principale è quello di disporre in relazione le variabile iniziali con quelle finale. Da ciò si può dedurre:
- X2 | X1 -> lo scambio avviene perché X2 è preferito a X1.
- X2 | X1 ⊘ -> lo scambio non avviene perché esaurisce la posizione integrato X2 ⊘ X1 è difficile effettuare lo scambio.
Esempio: Gioco Testa Croce
X1 = C X2 = C + G dove ε = {x -x 0,5 | x-x 0,5}
Questo descriva è la situazione più semplice in cui vi sia che può con iniziale una finale, tuttavia si potrebbe anche trovarsi mi uno iniziale con più opportunità tra cui scegliere.
Nel caso generale si definisce un insieme X di paramenti Xk
X={Xk K=1,...m} e ∀ Xk ε Xj ε X voglio sapere...
...e Xi Xj, Xk 1 Xj, Xk 1∀ j
Per risolvere il problema di scelta è valevole sapere, per ogni coppia di opportunità con preferisce da un individuo, facendo ciò è può espresso in grado di costruire un ordinamento di preferenza completo. Per poterlo fare si proceda, prima di tutto a definire y=f(X) detto.
forniture di valutazione, che, se applicata a ciascuna delle opportunità, consente di trovare un valore in grado di definire un ordine di preferenza.
IMPOSTAZIONE ASSIOMATICA
Requisiti che deve avere un modello:
COMPLETEZZA
Xk >= FK(x) = P(Xk <= x) dove X ∈ D
Vuol dire che per ogni Xk esiste una funzione di ripartizione FK associata dell’individuo; quindi, specularmante dall’insieme delle poss. tutte Xk esiste un insieme delle distribuzione, chiamato Fy.
Fx ∃x <= x ∀X ∈ Yf
L’insieme di probabilità sarà composto da n elementi appartenenti all’insieme X spesso è assunto che ciascuna opportunità è completamente descritta dalla sua distribuzione di probabilità, si può dire che il problema decisionale divento lavorare con l’opportune in questo modo le funzioni di distribuzione e dire quale è preferita, il problema sarà dunque risolto in questo modo.
∀ F∃x ∈ FY -› F3 ∈ Fk, F3 ∃ Fk, F3 ≠ Fk
Poteri avere ragione in termini di funzione di ripartizione invece che variabile aleatorie? Potrei ottenere i termine se possano in invece di usare tra cui olevare quelli che in preferisco; invece usando la funi- zione di ripartizione il qualcosa associato a ciascuna delle opportunità che alleviano le di una descrizione completa del augure. Dunque è molto più facile avere a comparatore le distribuzioni di probabilità per dire se preferisco uno varianti all’altra.
DOMINANZA STOCASTICA
Si pottia di avere due distribuzioni che soddisfano F1(x) <= F2(x) per X ∈ R
Per disequzione la funzione di ripartizione a seno dei punti favoluri toti:
- L’are verticale sarà compreso tra 0 e 1.
- e’ la probabilità che la varianta assuma valori minori o uguale a X.
nelle funzioni di utilità allora, ma solo se l'individuo è caratterizzato da una funzione di utilità lineare
μ(x) = ax + b con a ∈ R+ e b ∈ R
CARATTERISTICHE della FUNZIONE di UTILITÀ
in generale un individuo è avverso al rischio ovvero la funzione che lo rappresenta continua a definirsi sui reali positivi.
Se consideriamo un incremento di ricchezza vorremmo che:
μ(x₁) > μ(x) → CRESCENZA
Intuizioni anche che :
μ(x - Δx) > μ(x + Δx) - μ(x)
OSSERVAZIONE
μ(x) > μ(x + Δx) + μ(x - Δx)2
ESERCIZIO
X1 = X
- X2 = { X0 + Δx 0,5 X0 - Δx 0,5 }
G = X2 - X = { +Δx 0,5 -Δx 0,5 }
E(G) = 1/2 Δx - 1/2 Δx = 0 → gioco equo
E[μ(x₂)] = E[μ(x)] = μ(x)
E(X2) = μ (x + Δx) 1/2 + μ (x - Δx) 1/2
E[μ(x₂)] - μ(x + Δx) 1/2 + μ (x - Δx) 1/2 = μ(x + Δx) + μ (x - Δx)2
GRAFICAMENTE
E[μ(x)] = μ(x)
È vantaggiosa per l'individuo
E[μ(X2)] < μ[E(X1)]
Vediamo cause:
E[μ(X2)] = E[μ[C+E(X1)] = μ[C+E(X1)] = μ[E(X1)]
Tenendo alla disuguaglianza di Jensen
E[μ(X1)] < E[μ(X2)]
Dunque l'utilità attesa della posizione finale è maggiore di quella della posizione iniziale, dunque l'operazione è anche vantaggiosa. Ovviamente chi vende l'assicurazione è a conoscenza di questo fatto, dunque se l'individuo pagasse solo il premio o pure K sarebbe in uno svantaggio, dunque dovrà pagare un carico, motivo che rappresenta lo svantaggio del pagare rispetto a K. Questo caricamento, detto ξ, è quell'importo che rende le disuguaglianze di Jensen, uguglianza, naturalmente dovrà essere minore o uguale al caricamento massimo possibile ξ*.
Lo si può esprimere come:
ξ = γK dove γ è il tasso di carico.
Da qui si giungereà a definire il premio caricato
Π = K+ξ = (1+γ)K
In questo caso ci sarà in cambiamento nella posizione finale dell'individuo.
X2 = C+X+Ｄ-(1+η)E(Ｄ) =C+χ+(χm-Σ)-(1+η )[χm-ΣE(X)1]=C+χm-Σm+E(χm)-ηE(D)=C+E(χ)-ηE(D)
Questa nuova posizione (X1 -> X2) sarà:
- - Sfavorevole perché E(X2) ˂ E(X2) essendo E(X) qualcosa di più piccola di E(X1)
- - Vantaggiosa se E[μ(X1)] < E[μ(X2)]
CASO DI INDIFERENZA
Se si indica con η* il tasso di caricamento massimo, che è quel tasso tale che:
η*Є[μ(X2)] = Є[μ(X1)]
Bisogna però, prima di tutto, definire un'opportunità di frontiera.
avere quell'opportunità di investimento con minimo rischio
tra quelle che hanno lo stesso valore atteso
min ϕ(X)
x ∈ X
s.v.
E(X) = mo =
In questo modo si definisce la frontiera delle opportunità
B. Si tratta di un sottoinsieme
di X perché di tutte le opportunità prende in considerazione solo
quelle con rischio minore rischio.
Bisogna poi definire le opportunità efficienti: avere la percorrenza di
frontiera con valore atteso massimo al pari dello stesso rischio:
max E(X)
x ∈ B
s.v.
ϕ(X) - εϕo a meno un punto
In questo modo invece si definisce la frontiera efficiente
Si possono dunque distinguere due fasi:
- Fase di ottimizzazione in cui si considerano separatamente
- Fase di massimizzazione dell’utilità attesa
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