Riassunti Teoria del portafoglio e dei contratti derivati

Teoria del portafoglio e dei contratti derivati

Elementi di teoria dell'utilità

La teoria dell'utilità ha per oggetto lo studio delle operazioni di scambio ai rischi monotoni aleatori, lo cui cutoff cioè non è noto con certezza nel momento in cui lo scambio è pattuito. L'individuo ℑ scambia una posizione finanziaria incerta X₁ con un'altra posizione finanziaria incerta X₂. X₁, X₂ sono variabili aleatorie alle quali l'individuo ℑ, nell'istante contrattuale assegna una distribuzione di probabilità. X₁, X₂ rappresentano il patrimonio soggetto a rischio di ℑ, prima e dopo lo scambio. Il guadagno di ℑ è rappresentato dalla variabile aleatoria: G = X₂ - X₁.

Dati

X₁ p₁
X₂ p₂
X_n p_n

Problema

X ⟶ X₂
G = X₂ - X

Definendo X = {x_k, k=[1...n]} l'insieme delle opportunità, ovvero l'insieme di tutte le possibili posizioni finanziarie nell'istante decisionale, il problema delle decisioni in condizioni di incertezza consiste nell'introdurre nell'insieme X un ordinamento di preferenza (⪰) tale che: ∀ X_j = X_k ∈ X ⟹ X_j ⪰ X_k X_j ⪯ X_k C_i ⪰ X_i

Allora (l'introduzione di un numero reale y-f(X) tale che: f(X₂)≫f(X) ⟺ X₂⪰X, f(X₂)⪯f(X) ⟺ X₂⪯X, f(X₂)=f(X) ⟺ X₂⊆X, ⊆ X₂∩X).

Si è trattato quindi di fornire una rappresentazione dell'ordinamento di preferenza nello spazio delle opportunità in dipendenza del rischio di una opportuna funzione di valutazione (fX). Se tutte le X sono variabili aleatorie degenerate cioè assumono con certezza unico obiettivo... non X - x se le rappresentano i inputs disponibili nello stesso istante allora il problema è banale in quanto basta ordinare le punte secondo l'ordinamento dei numeri reali ponendo f(X) = x.

Cenni sull'impostazione assiomatica

Lo scopo della teoria delle decisioni è quello di descrivere il comportamento di un individuo razionale in condizioni di incertezza, in modo da permettere al decisore di evitare eventuali incoerenze o contraddizioni con il criterio di scelta adottato, indicando una rappresentazione di preferenza della scelta unica ed oggettiva, che sia valida per tutti gli oggetti economici. Un ordinamento di preferenza nelle scelte unico ed oggettivo, ovvero valido per tutti gli oggetti economici, è irrealizzabile proprio perché si sovrappongono quelli del diverso tipo di individui. Si tratta infatti di individuare una sola serie di criteri decisionali che includano criteri individuali e che siano caratterizzati da pochi principi generali dello studio della singolarità. Gli ordinamenti presi in considerazione devono essere in linea con certe proprietà di coerenza, adottando un carattere che descrive il comportamento di un individuo razionale. Tali proprietà sono:

• Riflessività: viene considerata come autoevidente (x è indifferente a x: x ∼ x)
• Transitività: R richiede che se x₁≲x₂, x₂≲x₃, allora x₁≲x₃. Se l'individuo i predilige la posizione x₁ almeno quanto la posizione x₂, e considera la posizione x₂ gradita almeno quanto la posizione x₃, allora il suo paniere sarà dominato.
• Completezza: Un ordinamento si dice completo se risulta definita ogni relazione di preferenza o indifferenza tra le possibili posizioni che occupano R. Esistono delle possibili posizioni che ricevono una valutazione determinante e si dispone di un criterio di scelta in base al quale è sempre possibile dire che x₂≳x₁, oppure x₂≲x₁, oppure x₂∼x₁.

L'insieme delle distribuzioni

Le variabili aleatorie X appartenenti all'insieme delle alternative sono completamente descritte dalle distribuzioni di probabilità ad esse attribuite dall'individuo i. Ogni posizione su scaffale o condizione di incertezza corrisponde a un conveniente della distribuzione di probabilità. Il problema decisionale può essere inteso allora come un problema di ordinamento tra tutte le distribuzioni di probabilità disponibili ed il nucleo della scelta. La funzione di ripartizione della v.a. X_m è rappresentata da F_X(x) = P(X_m ≤ x). F è l'insieme di tutte le funzioni di ripartizione delle v.a. X appartenenti a X. Affinché l'individuo i possa effettuare delle scelte razionali, è necessario considerare tali distribuzioni.