Riassunti Teoria del portafoglio e dei contratti derivati

Teoria del portafoglio

e dei

contratti derivati

Elementi di teoria dell'utilità

La teoria dell'utilità ha per oggetto lo studio delle operazioni di scambio di importi monetari aleatori, lo cui ammontare non è noto con certezza nel momento in cui lo scambio è pattuito.

Indichiamo X₁ scaduto una passione finanziaria incerta X₁, con un altro passione finanziaria incerta X₂.

X₁ e X₂ sono variabili aleatorie delle quali l'individuo J, nell'istante contrattuale assegna come distribuzione di probabilità p_X1 e p_X2.

X₁ e X₂ rappresentano il portafoglio soggetto a rischio di J, prima e dopo lo scambio.

Il guadagno di J è rappresentato dalla variabile aleatoria G = X₂ − X₁.

Dato:

1. X, X₂ con X =
   • { x₁ p₁;
   • x₂ p₂;
   • ...
   • x_n p_n }

Problema:

• X₁ −> X₂ G = X₂ − X₁

Definiamo X_J = {X_k, k = 1,..., n} l'insieme delle opportunità ovvero l'insieme di tutte le possibili posizioni finanziarie nello stato di decisionale J. Il problema delle decisioni è l'individuare un ordinamento di preferenza (≥), tale che:

∀X_j: X_k ∈ X_j −> X_i ≥ X_j; X_i ≠ X_j; X_j ≈ X_i

allorché (l'indicatore di un numero reale y−f(X)) tale che:

f_C(X₂) > f(x₁) se x₂ ≠ X_i; f(x₂) < f(x₁), se x₂ ≈ X_i, x_i ≈ x₂.

Si tratta quindi di fornire una rappresentazione dell'ordinamento di preferenza nello spazio delle opportunità per determinarlo X ed è esso una funzione funzione di utilità che rispecchia.

Se tutte le X sono variabili aleatorie degenere, dove assumiamo con certezza l'unico determinato valore X=X_j se lo rappresentano i valori disponibili nello stesso istante allora il problema è banale in quanto esiste ovviamente un ordinamento dei numeri reali ponendo f(X) = x.

Cenni sull'impostazione assiomatica

Lo scopo della teoria delle decisioni è quello di descrivere il comportamento di un individuo razionale in condizioni di incertezza, in modo da permettere al decisore di individuare eventuali incoerenze o contraddizioni con il criterio di scelta adottato.

Ogni altra possibilità di un comportamento di preferenza e unica scelta unica ed oggettiva, che sarà valido così per tutti gli operatori economici.

Un ordinamento di preferenza nelle scelte unico ed oggettivo, avere valido per tutti gli operati economici; altro che irrealizzabile non sembra privo di significatività, perché J dovrebbe tergere tutti gli elementi di avvenuta in tutti gli individui.

Si tratta quindi di individuare un'unica scelta di criteri decisionali che raccolgano al suo interno i singoli caratteri individuali e che sono caratterizzato da pochissimi proprietari economiche?

Gli ordinamenti presi in considerazione devono essere in linea con certe proprietà di coerenza che ci permettono di caratterizzare il comportamento di un individuo razionale, tali sono riflessività, correttezza, transitività.

Soluzione del paradosso richiede l'introduzione esplicita del concetto di utilità attesa

formalizzazione dell'utilità legata al denaro.

Dunque le vincite non devono essere prese in considerazione solo per il loro importo

monetario ma piuttosto secondo una funzione di utilità che restituisca al

capitale un valore "economico" che l'individuo si attribuisce alla vincita.

Scelgono di misurare i vostri percorsi su scala logaritmica si ottiene il nuovo

valore delle gioca. Bernoulli richiama speranze semplici e realtà di gioco di variabile caso di

E(log₂ X)=Σ^∞_n=1 (1/2ⁿ) log₂ 2ⁿ=log₂ 2Σ^∞_n=1 (n/2ⁿ) –-> 2 (log 2/2)

CRITERIO DELL'UTILITÀ ATTESA

Il Paradosso di San Pietroburgo dimostra dunque come l'approccio del guadagno

non tenga conto di ulteriori importanti circostanze che dipendono dall'individuo e che

concorrono a determinare l'effettivo comportamento in favore del gioco.

Per ovviare a questa difficoltà è necessario costruire la scala "oggettiva" del valore

monetario, cioè una scala "soggettiva" basata sull'utilità.

Viene cioè introdotta una funzione u(x) del capitale x detta funzione di utilità

la quale rappresenta l'importanza che ha per un dato individuo il possesso del

capitale x. Inoltre u è monotona Intervals D R eventualmente coincidente con IR stesa.

Supponete inoltre che una volta tale che ∀X e X si ottiene Eu(x)₁ < +

sudo base dei teoremi di approssimazione.

Se (x₂ > x) _≤ se (E[u(x₂)] ≥ E[u(x₁)]) avviene l'utilità attesa di x₂ è maggiore di X,

Il criterio decisionale consiste dunque nella massimizzazione dell’utilità attesa.

Dunque l’individuo 1 preferisce l’operare col risultato x -> x₂.

• VANTAGGIOSA se E[u(x₂)] > E[u(x₁)] > 0
• INDIFFERENTE se E[u(x₂)] = E[u(x₁)] > 0
• SVANTAGGIOSA se E[u(x₂)] = E[u(x₁)] < 0

Ad esempio un individuo ∃ che possiede un capitale certo c preferisce l’operazione

del guadagno elettronico G:

• VANTAGGIOSA se E[u(c + G)] – u(c) > 0
• INDIFFERENTE se E[u(c + G)] – u(c) = 0
• SVANTAGGIOSA se E[u(c + G)] – u(c) < 0

Se la funzione di utilità u è lineare cioè se:

u(x) = ax + b — ∞∈R, b£∉R allora si ha sempre:

E[u(c + G)] – u(c) = E[a(c + G) + b] – (ac + b) = aE(G)

Perciò un individuo che ha funzione di utilità lineare ritiene indifferente un operazione equa.

SCALA DELL’UTILITÀ

L’ipotesi fondatrice di u(x) detto — quella naturale di crescenza è che al incremento

uguale del capitale corrispondono incrementi di utilità [disiv] più piccoli quando più grande

è il capitale posseduto dell’individuo. Si ha cioè:

u(x) x + x’: ∞x’> x

u(x + x_a)-u(x)>u(x + x_b)-u(x’), x’>x, (4.2)

u(x) è continua su IR → D. Allora lo (4.2) implica che la funzione di utilità sia

convagna in tutto il dominino.

di E(x_i) ed è disposto a pagare un sovrapprezzo:

E(u(x_i)) = u(E(x_i))

purché sia soddisfatto la (C.2). Il tasso necessario di crescita η^t accettabile è tale che:

E[u(x_i)] = E[u(x_m)] >

u(C + E(C)i) η^t E(C)i) = E[u(x_i)]

e potrà essere espresso tramite l'equivalente certo di, x_m - μ_u = u^-1[E(u(αx))]

m_u^* = E(x_i) + C₁ m_u = E(x) m_u

E(C)i

TEORIA DELL'UTILITÀ E SELEZIONE DI PORTAFOGLIO

ANALISI RISCHIO-RENDIMENTO

La massimizzazione dell'utilità attesa costituisce un obiettivo di tipo globale, nel senso che raccoglie direttamente in una sintesi finale tutti i singoli elementi di giudizio che possono concorrere a determinare la preferibilità di un'elezione rispetto ad un'altra.

Molto spesso si ottiene una decisione più chiara del problema decisionale stesso. Aggregando in modo globale più obiettivi parziali, tali obiettivi risultano privi

Considerati separatamente e poi conclusi tra loro in una fase finale, nella quale il singolo comportamento viene individual percepito. L'obiettivo finale

è espressivo dunque del criterio della massimizzazione dell'utilità attesa

introducendo due obiettivi parziali: la massimizzazione del profitto e minimizzazione

del rischio.

UNA MISURA GENERALIZZATA DI RISCHIOSITÀ

Con riferimento all'individuo dotato di funzione di utilità concava u(x) che deve valutare la struttura finanziaria racchiusa X o elemento capitale può essere effettuato in modo rigoroso determinato una misura generalizzata della rischiosità di x

Φ(x) = u(E(X_j)) - U(x)_C1 c(u(x))

avendo indicato con U(x) l'utilità attesa E(u(x))

Come dista dalla disuguaglianza di Jensen questa misura di rischiosità non è mai positiva ed è nulla solo nel caso estremi di variabile aleatoria X degenerate

o al funzione di utilità lineare.

Dato che per costruzione è:

U(x) = 4 uE(x)₁ - Φ(x ➔ ovvero E[u(x_i) = u[E(x_j)] - Φ(x_x) C_1.3

La massimizzazione dell'utilità attesa, dando ottieni contrapponendo in qualche modo la possimizzazione dell'U[e(x_l)] e la minimizzazione di Φ(x).

Naturalmente dato che U(x ➔ è una funzione monatomica di X, il primo di questi obiettivi si riduce a massimizzare E(x).

UTILITÀ ATTESA COME FUNZIONE DI RISCHIO E RENDIMENTO

L'espressività di questo approccio risulta evidente se si rappresentano lo rischiosità e la speranza attualistica di X, ovvero valore futuro attualista, precoduto tabella locduh rischi residentis. Per specificità di indicchi, cioè, con valore speranza attualistica di C e che C con P adventadelh di decorah

Non sensilip pressione funzionaria sarà caratterizzato da un valore delle attese