Teoria dei Sistemi - Rappresentazioni lineari stazionarie nel dominio complesso

Valerio Spagnoli

Ingegneria Informatica e Automatica

La Sapienza

Teoria dei Sistemi

PARTE TRE

Rappresentazioni lineari stazionarie nel dominio complesso

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STAZIONARIE

LINEARI

RAPPRESENTAZIONI Dominio

NEL complesso

stiano dei

Se insituazioni modelli dominio

l'anolini nel

difficili

particolarmente

del molto

risultare

continuo discreto difficile

tempo può

o

Allo dominio

di nel

vanno

si afore

queste

semplificare

scopo operazioni

utilizzando chiamato LAPLACE

TRASFORMATA

un di

operatore

complesso chiamato

sistemi continuo

tempo 2ETA

i e un TRASFORMATA

a operatore

per discreto

sistemi

i tempo

a

per

ho dei

nello continuo

studio sistemi

LAPLACE

TRASFORMATA tempo

DI a

ha

di la

ho forma

seguente

trasformata Laplace III IIII

Fittest.it

tesi ha

di la

G linearità

di

linearità ovvero

Oss trasformata Laplace proprieta delle

costanti

lineare secondo

combinazione coefficienti

se una

prendo funzioni

di

E la

It fatti

f combinazione combinazione

trasformata

e e

questa In

delle stessi

secondo coefficienti

gli formule

trasformate

singole fai A

fitti Caf

c

SÉ estdt estdttc.fi estdt

cffIHI

cafai

FAI Hit fiti

f Fds

CiFiCs t

Il da

che

modello studiano è descritto t

EH Htt

XA IX 2 nitide

t

E AX Bu

HI

yltl.cat Du i

4A nitide

with

y

le delle

interessare

che sono

e ci

trasformate funzioni

seguenti

quelle

possono

it t.lt

e

5

alti gradino

SIA impulso

eatsiulwtict i.li

ottenuti

Salti Filt

indicata Questa

Il è

GRADINO è

Oss con

funzione

una

gradino tutti altri di

voleri

1

0 gli colori

parla

in zero e si

a per

a

pari sempre

il

sulle cascine e raffigurato tempo

positivipoiche per1

Il e 0

se

fosse

come

e quindi

gradino so

il

Poiché 0,1

voleri

solo 2

assume

gradino per 2

che pert t

vola

indicare 0 0 e

una funzione È

t scrittura A

5

0

colori da

diversi

assume usa

si i

o questa

per È

ed

te la t

funzionevola lafunzione

voce 1

0 o

e

infatti o

per per

altre

le

Discorso funzioni

per

omologo nel modo

è

Oss impulso L'impulso seguente

definita

funzione

una te to

0 e

i

fai tosto

Ìo

Ètti otto

da 1

di

che

ha

cui si DELL'impulso

TRASFORMATA te to

0 e

i

fa

Impulso to to

Est

L 1

stato

fai sto

Se limite t nell'intervallo

di

il

il fit

valore

io

ora facciamo per

to la

mentre

limiti allo stesso

0 lunghezza

senza tempo

cresce fotofittolt

tale

dell'intervallo mantiene

incendi che

zero

stringe verso

si de

di

il il ho che

unitario Utilizzando l'Hopitol.si

valore teorema to

sto

1

line l 1

Cinse

io Hot

to sto s

che

Quindi abbiamo TRASFORMATA

f ott 1 impulso

TRASFORMATA edtjietto.iq IÌ È

che

abbiamo

quindi È

edt 1 TRASFORMATA

d

s

TRASFORMATA GRADINO 4 lo

E ha

Hi che

che il e

dato fosformata

sia

0 si

gradino per

è f 1

Edt TRASFORMATA

5 GRADINO

wt i

sin

TRASFORMATA ÉTÉ

L

flautisti Ig

e ai

s

s s su

i

quindi W

sinful uncut

TRASFORMATA

ci

s

wt i

TRASFORMATA coi jet

L

flautisti e è shots s w

su

quindi 5

cascati costui

TRASFORMATA

Stai

Était wt

TRASFORMATA ott

e'a

e'atout

f

ltD

Lieto.int o Lfet.ewttzewt Y

fEi

ts.I.su i

i ci

sia eat ho ad traslazione

che il

osserviamo moltiplicare portato

coseno una

per

della del mentre

E

Infatti

trasformata trasformata e

coseno

Etosha

di

lo stata

c'è traslazione

s

e ovvero

trasformata una

tai

G ai

da

di 0

s S

a

Quindi eaten était

S

cit TRASFORMATA

attui

s

Èsimi

wt

TRASFORMATA da

che ho traslazione

il

usando s

s 4

una

Analogamente si a

folto possiamo

cotonina

di da del

la quella seno

riavere trasformata

Èsinuiti è

W cit

TRASFORMATA

attui

s

It

X

TRASFORMATA LIKA

finti che

che ha

Dato XK No

CS

SX

si

IHI X 0

SX X

s s

TRASFORMATA

catgut

Épinal

di

Nelle al

055 e

NATURALE

PULSAZIONE trasformate compose

b

il

denominatore termine otteniamo

tw

a sviluppondolo

tolto

attui 5.2ns

s

d'tai ed

Il Wen detto

termine è AL

PULSAZIONENATURALE QUADRATO

Quindi Pulsazione NATURALE smorzamento

alto Ego

con con

La è

naturale coordinate

il modulo

esattamente in

pulsazione w

E'sunt

catgut

di e

polari 2

i

evidenziato In

02cm

0 e

in

figura i

L'congelo

La SMORZAMENTO

quantità Wu del

ha due indicatori

lo

naturale smorzamento

e sono comportamento

pulsazione flottanti

flettamenti

delle e

trasformate da

Inoltre due associate

dea

sono sono

poiché dipendenti

quantità

queste visti

del sistema

autoveicoli

agli complessi coniugati precedentemente

08 TRASLAZIONE TRASFORMATA ft Filt

Pls

ha fit

Se fltici.at troncando a a

si una funzione La tea

G diventa è fino

zero e

a

trasformata funzione

come poi

ad

diventa fit a

a

pari esempio a

o 2

t

t a 2

o t

fa

falcetti It

215 z

f fit

It Edt

fitto It

25

Filt

t z

2

2 2

2

at a

oppure gradinotraslato

2

Rimpatricola

troncata

rampa

troncato

gradino È

2 di

Il che E

la traslazione

riscrivendo membro

e come

in coso

questo

vantaggio della

destra del stessi

f gli

sono

e

l'argomento gradino

l'argomento

t.at

nell'esempio

Questo situazioni la

di

in

e conosce

poichè questo si

importante genere

direttamente Infatti

i

TRASFORMATA Ef TRASFORMATA

as

E

t FG

t e

a a a o TRASLAZIONE

con

esKatddt

foFglt

ftp.ais.it.at a

S.ilt

a

infatti Italo a

è è di

a a

Fis

Lt

Il sotto

modello l'operatore

Bn

A le

andiamo

X ottenute

conle

X t ricavare

a

informazioni usati

Du ad

CX fino ora

degli

trasformate

4 oggetti

INGRESSO i fix Butt

L AXA

salsi NOI t FINTI Xls

che A

dato costanti

motrici

B

e e

sono a coefficienti

flutti che

ha

eels si

fuit Butt

L But

AXIS

AXA

salsi t

NOI t

quindi SI A Bells

Bucs

AXIS Holt

Xls

X 01

SNS T'XP A

SI

SI Bucs

A t

Xls

fulti Tolti

che NOI nitidi

XIII

XE E

Hit

Dato e

che

ha

si I'XO

L T'Bucs

It nitide SI

NOI SI

A A

E

Hit 1

AI

LIBIAMO SI NO

Prendendo ottiene

celtico e

e

si questo

Quindi

NOI

vero per

ogni AI

L Io t SI Lt

s TRASFORMATA

eat

It

dove EHI HAI che

B

che ho

e

Dato e e si I'B

L HIS

H SI

HH A

5 TRASFORMATA

ha di

Nella alla Nt

dedicata in convocazione

si l'integrale

risposta

forzata

parte

la è

cui trasformata T'Bucs

nitide SI A

E

Htt

I'B Hb sotto

SI di

A convocazione

ma l'integrale

e l'operatore

quindi His

di delle

il misi

diventa Quindi

trasformate

trasformata prodotto 7E.FI

IIYconuowzwwe

L His

riunione

It misi IN INGRESSO

uscita Lcqltil.LK ltitDnls

qlst finti

che

dato Cs

D motrici costanti

C e

e a

sono coefficienti

finiti otteniamo

mesi L cXltitDnlsll

LCq.li CXlsItDncs

qlst His

SI A

Dato t sostituendo

NO

Xls

che mesi

cflsJ ixcodtcfltlssu.es

AI Dnb

yis CHI T'XO Hb

A D ng

461 ATXcoltfclst.AT

qlst.clsI Bt eels

D

4lttxloltfotwlt dZ che

silo

T.INT

Ricordando che qui

LLYHIXloitfotwlt dz

ziu.IE

qlsi ATXcoltfclst.AT

qlst.clsI Bt D eels i

andando a con

confrontare

quindi flutti cisti A NO

NO

Quindi

X

voce

e per ogni AI

f

µ 4ITL 4ft

SI

s TRASFORMATA

cento

461 Lt

ancheperche

vedere

si poteva E

lo di

che

stessomodo

Allo convocazione

si dell'integrale

trasformata

la

che uscita è

in

forzata

risposta

definisce I'B

nitide CSI D

fottute A me

e

Cent Ddt

Dato che 3 lo

Witt andando considerare trasformata

a sia

ha

si I'B

flutti D

SI A

W t WIN

s TRASFORMATA

W detta

è nel

s DI

DELLE

MATRICE TRASFERIMENTO

FUNZIONI caso particolare

un'uscita detta

sistema

di viene

con DI

FUNZIONE

e

un TRASFERIMENTO

un ingresso uscita diventa delle

Quindi di il

convocazione

l'integrale in trasformate

prodotto

wcsincsiIFEIII.FI

inizio

fottute e convocazione

uscita

in

Nel della da

è

il

dominio modello descritto

trasformataquindi His

X

Colt

X ucs

s

s 461 Wishes

NOI t

y

osservazioni AI

SI

Job che s

visto

Abbiamo quindi

1

si A

dettoI

det A matrice

di

SI A

dove nin

n

e gradi

un e una

poiché

polinomio di

la

dentro termini

motrice i

n 1

e grido singoli

sono

presenti quindi

di Jolt il del numeratore

termini PROPRI grido

sono STRETTAMENTE poiché

del del denominatore

strettamente

e minore grido Ils

Le di

motrici il

che hanno ruolo questovincolo

devono rispettare

B

A

SI che HB

Hls Hls lo combinazione

e

si

poiché una HB

notice Cs

di

elementi

B anche

la

secondo e

degli quindi segue

di

la s

regola CGI

Mls 461 Hls

A lo stesso

voce discorso

foltoper

poiché J'Bt D

SI A D

dove

Wls abbiano Wls

in caso

questo

il LEGAME uscita

TRA E

INGRESSO

ISTANTANEO

rappresenta I'B

SI A

In termine hanno

solo

il funzioni

caso si

questo per che

D

strettamente Ea D

essendosommato 0

se

a

ma si

proprie

di

alcuni NG al denominatore

avere

coefficienti grado

pari

possono

detto

che A termini

è propri

i

quindi sono e

e

sempre

naustieltamente

Rimane che

vincolo il numeratore

il può

non

propri comunque

del denominatore

avere

grado maggiore Lt

E

nulla smorzatore

Mossa ulti

Es la

di voler

calcolare risposta

supponiamo

f

Kitt X uscita

in

t condizioni

con

re forzata quindi

4g t.it

nulle

iniziali ella

un

con gradino

E Ht

l1o X

yltl ulti

in yg.lt

ingresso WlsInls

che

di

utilizzando ha

la Laplace

trasformata si yg.IS

I'B I'B

Wish D

SI SI

A A

t è

L 8 itti

mls

Quindi oil È

B s

ygissdclst.AT 1

s'stai's

o sestante

Pero Quindi

interessati ti dobbiamo coccolare

siamo

noi a non

e a yg.is

4g

da

partendo

4gal gg f

Questa chiama fare

e bisogna

ANTITRASFORMATA

si poterla

per

operazione

alle calcolate

elementari in

trasformate

ricollegarsi precedenza

Ad i est

esempio f d

del

hannosoluzioni è

tipo

e l'outitosformata

si facile

se

quindi applicare

1

Nel che

abbiano

nostro caso yg.tt statalisti

folti

in riscrivere

semplici

scomponendo possiamo R

R2

t

sesta 4 5

i St

St

Ri detti

dove gli RESIDUI

sono Resisti Rss

statisti 4

R set

sesta i sti

4

s

s limite

tutto il

se se ao

s

moltiplico faccio ottengo

per per Ri

Rts

sqist f.no

I s

che R

ottiene

dato si

s'giste limite

tutto il 4

Se sta 5 i

o

e

moltiplico faccio ottengo

per

per Rz

Rztlst4I s

s.ly Rj

lstaiqglst

s.fm 4

4 1

s

SÌ

dato Cim

che Ra

ottiene

Cim si

se 12

sfotte sti s 4

4 s

a

o limite

tutto il

Se 1

1

St s

e

moltiplico o ottengo

faccio per

per f Rs

RstlstiI a

s.ly

lstsiqglst Rj

s.fm 4

i s

i

È line

che

dato line 123

ottiene

si

5745

Sist 4 sai

i s

s o che

Quindi abbiamo I't Il

fatta

iii E

48 s s

le le

elementari

conoscendo antitosformate

coccolare

trasformate

quindi possiamo

È si è

L'µ

è

atti d

scrivere

quindi

possiamo t

Rae'htt it

S

R

Ri e

t

4

Nella dei del

termini sistema

modi

ossi ai

risposta legati

forzata

compaiono Rae'ateRae't dei

eccitabili in

osservabili

e questo e

quelli coso

termini stato

chesto in e

caso

applicando questo

legatiall'ingresso Risulti

uscita

in un

applicato un e gradino

gradino appare del

modi sistema

terminilegati

i

Se ai

tempo

si sufficientemente

aspetta la cordterizzata solo

è

zero

vanno e risposta

forzata dall'ingresso

a da iniziale

un'eventuale condizione

e

applicato

nulla smorzatore

Mossa esulti

ulti

Es di il smorzatore

nulla vistosopra

sistema mossa

avere quindi

Supponiamo sempre f 11 ok

the

Kitts X y

t u

Wb

e con se 4

5s

volta lo aiuti

Questa sollecitiamo Uk

con

però un ingresso

tt

studiare

Andiamo a i

4g

sempre

che Wls Wls andiamo

calcolata

Illesi

s e già quindi

4g

sappiamo

calcolare UCS

a filamenti nostro

Nel 1

In ci

caso quindi

ja

generale 1

Ucs 1

s

che

Quindi abbiamo SÌ SÌ

9 Di

se

se a 1

s'ti

termine modo

Il G

poteva ma

si in

sig

come questo

g

scomporre

col termine

termine al è conveniente

legato

avrei e seno e

coseno un

un non

legato siti

la

Quindi vado mantenendo

folti

a in

scrivere semplici

scomposizione di

numeratore che

mettendo residuo di

1 invece

un

come suo

e grado

zero

grado R2

R Ra

Rss

5

y set

1 1

4

St t

s

di terzo

ho di

sotto e

un un

quarto grado grado

polinomio polinomio

sopra

quindi Ra

di di

Ri che

libertà RaRs mi

con gradi un

identificare

permettono

quattro volta

nato che

il al

modulo numeratore in

univoco coso

una questo

polinomio

è uno arti

le otteniamo

Calcolando i

trasformate

R.cat È sent

Ra Rscost Ra

ylt t

f ti modinaturali

termini

due

Nella del

sistema

ai

ossi legati

compaiono

4g è

è altridue che

Ra

R Gli termini riscrivere come

si

e possono

sent

Rscost tt

Ra Msn y

sto ha

che in

Infatti

sono si

legati all'ingresso applicando ingresso

uscita

ulti sint e in ancora seno

una ma

funzione modificata

da dove

da

in M sposata

e q

ampiezza mai

RE tra

origlia e

9

infatti sent

tt Msmqcost

Main Must

M Margaret

Y cosy sing Ra Ra

liutisti

nulla smorzatore

Mossa t 2

Es di smorzatore

il nulla vistosopra

sistema mossa

avere quindi

Supponiamo sempre f 11 ok

the

Kitts X y

t u

Wb

e con 4

5s

s Ei 21

volta lo

Questa t

sollecitiamo nit

con

però un ingresso

tt

studiare

Andiamo a i

4g

sempre mentre

che letti

Osserviamo 441

i viene

viene se

se un

applicato