Riassunto esame Teoria dei sistemi: trasformata di Laplace, prof. Monaco

Le rappresentazioni lineari

Trasformata di Laplace

f(t), t ∈ [0,∞)

ℒ[f(t)] = F(s) = ∫₀^∞ e^-stf(t)dt

Definita per Re[s] > α_c: assioma di convergenza.

Teorema della derivazione

ℒ[^d_dtf(t)] = sF(s) - f(0)

φ(s) = ℒ[φ(t)] = ∫₀^∞ e^Atdt = (sI-A)^-1

H(s) = ℒ[H(t)] = C(sI-A)^-1B

Ψ(s) = ℒ[Ψ(t)] = C(sI-A)^-1

W(s) = ℒ[W(t)] = (sI-A)^-1B + D

Teorema della convoluzione

ℒ[∫₀^∞W(t-τ)u(τ)dτ] = W(s)U(s)

Quando antitrasformi devi moltiplicare per s_σ(t) f(t) è definita da 0 in poi.

La matrice di transizione nel dominio complesso

Calcolo di φ(s) e calcolo di (sI-A)^-1

(sI-A)^-1 = (sI-A)^at = ^E(s)/_|sI-A|

|sI-A| = M(s) = polinomio minimo

Modi naturali nel dominio complesso

Autovalori reali a molteplicità geometrica unitaria

(sI-A)^-1 = ^E(s)/_m(s) = ^E(s)/_{(s-λ1)(s-λr)} = ^R₁/_s-λ1 + ^R₂/_s-λ2 + ... + ^R_r/_s-λr == ^Σ/_λ=1 = ^{r R_i}/_s-λi

R_i = _{lim(s→λi)((s-λi)(sI-A)^-1)}

Le rappresentazioni lineari

Trasformata di Laplace

f(t) t ∈ [0,∞)

L[f(t)] = F(s) = ∫₀^∞ e^-st f(t)dt

Definita per Re[s] > α_f: asse di convergenza.

Teorema della derivazione

L [d/dt f(t)] = sF(s) - f(0)

φ(s) = L [φ(t)] = L [e^At] = (sI - A)^-1

H(s) = L [h(t)] = (sI - A)^-1B

Ψ(s) = L [Ψ(t)] = C(sI - A)^-1

W(s) = L [W(t)] = (sI - A)^-1B + D, funzione di trasferimento.

Teorema della convoluzione

L [∫₀^t W(t - τ)u(τ)dτ] = W(s)U(s)

Quando antitrasformi devi moltiplicare per s_α(t) f(t) è definita da 0 in poi.

La matrice di transizione nel dominio complesso

Calcolo di φ(s) e calcolo di (sI - A)^-1

(sI - A)^-1 = (sI - A)^aT

|sI - A| = m(s) = polinomio minimo

E(s) =

Modi naturali nel dominio complesso

Autovalori reali a molteplicità geometrica unitaria

(sI - A)^-1 = E(s)/m(s, s - λ₁, s - λ₂, ..., s - λ_r = R₁/_{s - λ1} + R₂/_{s - λ2} + ... + R_r/_{s - λr} == ∑_{i = 1} R_i/_{s - λi}

R_i = lcm ((s - λ_i)(sI - A)^-1)

Matrice dinamica regolare

γk = αx jωk

γ*k = αx - jωk

(SI-A)^-1 = Σ_k=4^m ​ 1_S-λ;k + Σ_k=4^m ​ Rk (1_S-λ;k)(SI-λ;k*)

Molteplicità geometrica maggiore di 1

(SI-A)^-1 = Σ_l=4^m Σ_k=4^mi ​ Rlk (1_S-λ;k)

Rlk = lim _S->l ​ d^m-k ​ (SI-A)^l(S-λ;k)^mis->2 (mik)dS^m_ik-k

La funzione di trasferimento

Yf(t) = L^-1Yφ;_s = L^-1[ W(s) U(s) ]

W(s) = Yφ;(s) / Uδ;(s)

Se u(t) = δ_t(t) → U(s) = 1 → W(s) = Yφ;(s)

La funzione di trasferimento è un modello del comportamento portato di un sistema dinamico lineare stazionario (è la trasferenza della risposta impulsiva).

La sua conoscenza permette di calcolare la risposta forzata a qualsiasi ingresso dato.

I poli della W(s) coincidono con gli autovalori associati a modi eccitabili ed osservabili.

Le rappresentazioni della funzione di trasferimento

Rapporto di polinomi

W(s) = B_o + B_ss +B_ms^m / a_o + a_ss + a_xsⁿ

Forma fattorizzata

W(s) = N(s)/D(s)

Forma di Bode

W(s) = K _v^-1 (1 + (s) N₁^k-1/k)(1 + 2s/_n + s²/_n²)

La risposta a regime permanente

La risposta a regime permanente ad un dato ingresso è quella funzione del tempo alla quale, indipendentemente dallo stato iniziale, tende ad assestarsi la risposta in uscita al crescere del tempo.

y(t) = Ce^A(t-t₀) x₀ + ∫ W(t-) u() d

Perché la risposta sia indipendente dal tempo y_t(t) → 0 per t → ∞.

I modi osservabili (cioè compaiono in Ce^At) devono essere a parte reali negativa.

È limitata delle evoluzioni interne → stabilità interna del sistema.

Re(λ_i) {

Con queste due condizioni di esistenza, posso definire la risposta a regime permanente come y_r(t) = lim ∫ W(t-) u() d t₀→ 0 t₀.

Deve essere inoltre garantita la sommabilità dell'integrale.

La risposta in uscita può essere scomposta in y(t) = y_t(t) + y_r(t) → transitorio permanente tra risposta parte permanente tendente porta delle risposta forzata.

Regime permanente ad ingressi periodici

y_r(t) = M()sin(t + φ())

M() = |W()|

φ() = ∠ W()

W() → risposta armonica permette comportamenti in frequenza.