Teoria dei Sistemi - Le proprietà geometriche dello spazio di stato

Valerio Spagnoli

Ingegneria Informatica e Automatica

La Sapienza

Teoria dei Sistemi Skuola.net

PARTE QUATTRO -

valerio_spagnoli

Le proprietà geometriche dello spazio di stato

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PROPRIETÀ SPAZIO

DELLO DI STATO

LE GEOMETRICHE

dei le di

studio naturali eccitabilità

con introdotto

lo abbiamo

modi proprietà

due

Queste che

osservabilità più

e generali

proprietà

sono connesse a

la la

RAGGIUNGIBILITÀ

PROPRIETÀ OSSERVABILITÀ

PROPRIETÀ DI

e

DI

sono

di sistema

un di osservabilità

Proprietà

sistema

Dato un È jHlt dz

Mtb z

XH.it ncz

Bn

si A sy Skuola.net

CXtDn FINK nitide

E

y -

valerio_spagnoli

La osservabilità alla di

di connessa

e o

possibilità poter

proprietà distinguere

l'uscita

lo stato iniziale osservando

meno dell'esperimento l'uscita

dati stati

due iniziali Xa chiediamo

Xb

Quindi e ci a

quando

da da al

all'uscita

è t

Xa Xb

partire partire tempo

uguale a

sempre

di le

entrambe

stesso

lo

applicare funzioni

a

supponendo ingresso

È xatfjwlt.rs dei

miti

yay È nitide

GÉNIE 2

goi da che le

distinto al

due

se non essere

fa significa

y

può quantità

destra

di Quindi

membro uguali

sono È

è nitide

nitide GÉNIE

GÉNIE 2

z

lo dueintegralidi

stesso

Poiché convocazione

e i sono uguali

l'ingresso

Quindi to to

gatt gatt

idoli

anche Xb

Quindi iniziali

gli Xe riesce

se non si

differenti

sono

da da

da

l'evoluzione Xb

Xe

a quella partire

distinguere partire a

a t

Xb dicono

Xa Gj

INDISTINGUIBILI

e se

si per

Supponendo

per

Gg ogni

to O questo

semplicità significa Skuola.net

At At cetttlxa XL.to

Xa

CC Xb

e nulla

t

deve

Questo identicamente

essendo

essere vero quindi

per ogni -

valerio_spagnoli

ad

al continua

derivando Otteniamo

vera

tempo essere quindi

rispetto caetlxa

ceatlxa

XH XD

ooqjlcetlxa

etlXa

XH.cn Xb o

È tlXa

ceatlxa XH.CA Xb o

te

t anche chiamando

Quindi

Queste devono vere o

essere ogni per

per t

I calcolando

Xb relazioni

Xa ottiene

e o si

queste per

CÀ CÀ I

I

CI CAI 0

0

0 0

Kgo

con di

I al Ker

che deve

Questo CA

CA

C

appartenere

significa

CA relazioni

di

hanno

Ovviamente numero

si un ma

infinito sfruttando

basta che

di Hamilton

il teorema E

lo

calcolare

Caley queste

verifica

relazioni KE n 1

per chepresa A

di

Il teorema matrice

afferma una

HAMILTON

Alley A A

A I t t an

tai

a i

CAKE

relazioni

le

utile

Questo è 0 n

perchè un

prendendo per

otteniamo

qualsiasi Skuola.net

Cfa Aat

I At A

CA E

It car

a an i -

CA

CAI E

CI valerio_spagnoli

ao 0

t

t

ai an i

che tale

I è

Quindi è cui

verificato

già

si

se per

I

CAI

CI CA O

O

0 E la

verificaanche relazione

automaticamente questo CA

CAI E

CI 0

ao t

t

ai an i

I

anche che

stesso CA

Allo modo volta

Kgo

0 una

con Feo

CAF

stato CA

CI

è 0

0

verificato che

Per in forma

riscrivere questo i

compatta pensiamo

CA

c è

è CA è una

una riga riga

una riga

C

animo È di

Ken

che

determinare al

E

gli

bisogna

e appartengono µ

O

Questa chiamata

matrice è OSSERVABILITÀ

MATRICE i

DI

c DI

MATRICE

A OSSERVABILITA Skuola.net

i

An -

sistemi uscita valerio_spagnoli

sola

solo

Nei ISO

s single

e

un una

con ingresso

la di

matrice osservabilità e na n

output

input single da

diversa

km matrice

di

Nel c'è banale

soluzione

nn

una una quella

Keita

I

I il

0 e e ovvero

ovvero e non massimo

quando rango

l'unica

D 0k

Se

rojo soluzione

n n

c è

O

quando 2g per

m OF

f esistono soluzioni

Invece a n o

m 0

0 rg

se per

tutti

E che

Kenia

col i

non

appartengono possibili

quindi generano

stati È

In

Ii 0 0

i

m

Le In tra loro

ti

soluzioni indipendenti

sono e

ipotesi

per quindi

m

I In base di

utilizzare cambiamento coordinate

come

m un

per

possiamo che

che

T le

ha

matrice

Prendiamo colonne

n sono una

m

una prime

del Kenia

base base inosservabile e in

ovvero degli

una poi

aggiungo

abbia

che

di la motrice

modo

colonne in

completamento rango

pieno

utilizzata

invertibile cambiamento

e definire

sia essere

e un

quindi per

possa

di coordinate contenuto

e Skuola.net

T

di otteniamo

coordinate

il cambio

Quindi i

2

con prendendo

À In

2 -

In

Ez valerio_spagnoli

go

E

À E

E

le matrici sono

e

e TI

È

À E

TB

TAT CT D

Analizziamo m

è data

CT da

I

base

G

completamento è

e

bore I

In CI Fn di

0

Ma Quindi il prodotto

m m

nulla

C Quindi

le colonne

n e

m

per prime

4 è

BEI IED

lo

è coIpa

cit confetamento

E matrici

due

nelle coordinate

Quindi viene in

nuove portizionata da

da

nulla diversa

totalmente colonne zero

n

formata una

in

ma colonne

con m E tra T

matrice

motrice

La la

invece

lo relazione

nessuna

non

È

T è che

dire è

Di

e

e quindi generica conseguenza possiamo

52

5

due

in parti e

portisionata generici

e Skuola.net

I

stessa cosa per À

À T'AT F

La matrice AT Ora andiamo a -

valerio_spagnoli

OF AI

che O

la relazione 0

considerare è

invece 0 questa

Questa detta

è PROPRIETÀ A

ancora di

zero

a ovvero

uguale INVARIANZA

Keila

tale ho

07 che

che

I XE

ovvero

0 si

prendendo AI

AI

0 Keila

O e È

di coordinate

cambiamento

considerando definito come

questo sopra

della

coordinate

vettori nelle

E

i forma

nuove sono con

identita

matrice n m

n m

À nelle

I coordinate

il

Facendo ottiene

si

nuove ancora

prodotto per

da sotto

diverso zero

e i

zero

qualcosa sopra

MITI

di

la invarianza

proprietà

per À blocchi

Quindi scrivendo

4

in

podizionata perche

essere

può EH del blocco

che il

Questo andando secondo

fare

a

significa prodotto

Anzi

di ottiene 0

righe si An

E

che ha

allo nella

oltre anche

Quindi zero un

compra

Anzi strutturale

blocco di ed è

in

zeri zero

uno nella

il

Quindi sistema

nelle coordinate si forma

riscrive

nuove Skuola.net

zitti ti p -

valerio_spagnoli

città

y.io dalla

di duesistemi dinamica

Quindi e

folti definito uno

ci uno

sono

dalla l'uscita di

è

dinamica Za

solo

e funziona

e

definito Se

È

À Bin

2

z at

it

2

ne Sa

2 Team

Aaa

2 at

a 2g

azz

g dal

Quindi sistema

il controllo

si entrambi

sa influenzati

sono

influenza da

l'uscita solo sa

è

e

n influenzata di ad

l'uscita calcolando

sistema

andiamo vedere

Quindi a un

se esempio

di

la che caratterizzata

troviamo solo

è

questa

funzione trasferimento

152 Ea

Anza

dalle matrici D

eventualmente la

e più

FUNZIONE TRASFERIMENTO

di À È 5

E

motrici la di

le

Calcoliamo trasferimento

a funzione

con IÌ

TI Io ed

E

a fai I o

c ATTI

E

della

Wb SI

Nisi

La forma

e Skuola.net

III

e.it

Io

noi -

a valerio_spagnoli

AII'BI

EsistiEast BÈ Ea SI

o del soltanto

La dal

di nostrosistema definita

trasferimento e

funzione AT

adoratori matrice

Quindi alla

sottosistema osservabile gli legati

di osservabilità

subiscono cancellazione perdita

una per funzione DI

Bj

è Ansa

Nb s TRASFERIMENTO

Osservabilità

completo

ESERCIZIO studiare l'osservabilità e

la

X

x t n effettuare decomposizione

I 1 a

y che

del

sistema

Questo ordine Abbiamo

è secondo 2

n

quindi

un quindi

e

È 1 esistono

1 0

2g 0

quindi

a necker

e

nazioni Skuola.net

deltipo

E

Le soluzioni sono II -

E

Ok E E

Ia

I valerio_spagnoli

o

o I

del

X

la

Quindi soluzione è tipo

T I

la matrice

dobbiamo

Ora colonna

fissare come

con e

prima

seconda Come

colonna

completamento come

un scegliamo

completamento

IÌ

I

da ad

vettore 0

un indipendente

qualsiasi esempio

L

ti è

T

la motrice

Quindi inversa È

À E

le matrici

Calcoliamo i

e II

à t'aii 1 ti

d

À Ata

AT

blocchi blocchi

è gli

i

triangolare contengono

e

a Ata

Ann

di A essendo

contovalori sacri

degli

questo

in sono

e

caso

ma A

esattamente di

cantovalori

gli Skuola.net

AI

che

risultare è inosservabile

2