Statica - Teoria

Vettori nello spazio (R³)

Base ortonormale

Ortogonali → sistema coofisso → normali

• lx·lx = lx² = lx·ly = lx·lz = ly·lz = 0
• lx·lx = ly·ly = lz·lz = 1

U = Ux lx + Uy ly + Uz lz

U · V = |U||V|cosθ

Se U · V = 0 ⇔ U ∟ V

Prodotto scalare

Ux·Vx + Uy·Vy + Uz·Vz = UiVi

Prodotto vettoriale

W = U ∧ V = |U||V|sinθ

W = det

Prodotto misto

(a∧b)∧c = (a·c)b − (b·c)a

Forze e sistemi di forze

Momento rispetto ad un punto

Statica

Vettori nello spazio (R³)

Base ortonormale

Ortogonali sistema cartesiano normali

µ = µ_x i + µ_y j + µ_z k

Prodotto scalare

µ · ν = |µ| |ν| cosθ

Proiezione di un vettore sull'altro componente del vettore si ottiene dal prodotto scalare tra vettore e l'elemento della base lungo cui cercare la componente

Prodotto vettoriale

W = |µ x ν| = |µ| |ν| sinθ

Se µ x ν = 0 µ ‖ ν

Direzione W = REGOLA MANO DESTRA pollice w, indice ν

NB µ x ν = -ν x µ

(a x b) x c = (a · c) b - (b · c) a

Prodotto misto

(µ x ν) · W = W · (µ x ν)

Forze e sistemi di forze

Momento rispetto ad un punto

Traslazione della forza lungo retta d'azione

M(p, F(Q)) = (pQ ∧ F) + (pQ + xF = M(P, F(Q)))

OSSI |M| = ||PQ|| ||F|| sinθ = ∧ b ||E|| normale al piano T che contiene E

Padre ritardato di P (prof.) verso punto d'angolazione e in altra direzione lungo verso rif F versore che il fasce del comp. sociale mov.

Rispetto ad un asse

(a, F(Q1)) = M(P, F(Q1)) + la_PQ1∧F = la

Non dipende dal polo considerato sull'asse (PQ∧E): la [(p+e)PQ∧E]: ea [(PQ∧E)] la rPQ∧E]: laM(a, F(Q1)).

Traslato la E lungo la sua retta d'azione non cambia M(a, E(Q1))

• Se E || fa M(a, E(Q1)) = 0
• Se retta d'azione di E converge sull'asse a M(a, E(Q1)) = 0
• Se E ⊥ e la M(a, E(Q1)) = ±b||E|| con n̂ = ba con (ex,ey,ez)

M(x = P, F(Qy))l(x = M(a, F(Ql)))

M(y= P, F(Q1))l(y= M(b, F(Q1)))

M(z= P, F(Q1))l(z= M(c, F(Q1)))

=M(Pi, F(Q1)) = Mlex + Myly + Mzlz = 0 pari

Sistema di forze

• [Fz(Qa),Fz(Q1), ···,Fn(Q1)]

R(S) = Σ Fe

M(P, S) = Σ PQa ∧ F

Coppia di forze

({F(Q1) - F(Q2)})

R(C) = 0

M(P, Q) = PQa ∧ F + PQa ∧ (-F)

Equivalenza operazioni invarianti (A = B)

1. Sostituzione F(Q1), F(Q) con F(Q1) = F(Na) + F(Q)

Due sistemi di E si dicono equivalenti (A≡Kb) se possono essere ottenuti uno dall'altro attraverso una serie di operazioni univoche.

Teorema di Varignon

Sistema di F concorrenti nello stesso P è equivalente alla R(S) di tutte le F applicate in P

S ↔ R(S)       M(A|R(S)) = AP ∧ R(S)

DM: Applicio

3v l'operazione invariante n°3 + 1v la n°1 per portare le F in P e sostituire le F con un sistema

Trasporto

A = {F(Z)}                               B = {F(Q)} F(Z) - F(Q) ⇒ A × B

C = {F(Z), -F(Q)}

Ettrigo B da A applicando IV l'operazione invariante n°2

F = {F(X)} - {F(X) + F(Z)} = {F(Z)}                 B(A) = R(B) = {F(Z)}                     M(A) = M(B) = C

C = {QZ ∧ F(Z)}

Decomposizione

1) Piano (l_x, l_y)

F = F_x l_x + F_y l_y

R = R_x l_x + R_y l_y      con R ∙ M(0) = 0

[M(0)] = M_F \R \perp M(0)

Scelgo 2 punti astratti A, B t.c. FA FB appaiano al piano

A = {F(a)}     B = {A(a),B(b)}⇨ trova A × B

Soluzioni banali

• a ≡ b ≡ c
• a ≡ c oppure b ≡ c

Se a, b, c non siano coincidenti i versori (al 1 α) formano una BASE ortonorme

Applico l'operazione invariante n°2: F_A(α) = F_A L+ F