Statica - Teoria

Vettori nello spazio (R³)

Base ortonormale

ortogonali → sistema coofisso → normali

lx·lx = lx² = lx·ly = lx·lz = ly·lz = 0 lx·lx = ly·ly = lz·lz = 1

U = Ux lx + Uy ly + Uz lz U · V = |U||V|cosθ se U · V = 0 ⇔ U∟V

Prodotto scalare

Ux·Vx + Uy·Vy + Uz·Vz = UiVi

Prodotto vettoriale

W = U∧V = |U||V|sinθ

W = det | lx ly lz | | Ux Uy Uz | | Vx Vy Vz |

Prodotto misto

(a∧b)∧c = (a·c)b − (b·c)a

Forze e sistemi di forze

Momento

1. Rispetto ad un punto

STATICA

VETTORI nello SPAZIO (R³)

BASE ORTONORMALE

ORTOGONALI sistema cartesiano

NORMALI

µ = µ_x i + µ_y j + µ_z k

PRODOTTO SCALARE

µ · ν = |µ| |ν| cosθ

Proiezione di un vettore sull'altro componente del vettore si ottiene dal prodotto scalare tra vettore e l'elemento della base lungo cui cercare la componente

PRODOTTO VETTORIALE

W = |µ x ν| = |µ| |ν| sinθ

Se µ x ν = 0 µ ‖ ν

Direzione W = REGOLA MANO DESTRA pollice w, indice ν

NB µ x ν = -ν x µ

(a x b) x c = (a · c) b - (b · c) a

PRODOTTO MISTO

(µ x ν) · W = W · (µ x ν)

FORZE e SISTEMI di FORZE

MOMENTO

1. RISPETTO AD UN PUNTO

TRASLAZIONE della FORZA lungo RETTA d’AZIONE

M(p, F(Q)) = (pQ ∧ F) + (pQ + xF = M(P, F(Q)))

• OSSI |M| = ||PQ|| ||F|| sinθ = ∧ b ||E||
• normale al piano T che contiene E, M(p, F(Q))

padre ritardato di P (prof.) verso punto d’angolazione e in altra direzione lungo verso rif F versore che il fasce del comp. sociale mov.

RISPETTO ad un ASSE

M(a, F(Q1)) = M(P, F(Q1)) + la_PQ1∧F = la

non dipende dal polo considerato sull’asse (PQ∧E): la [(p+e)PQ∧E]: ea [(PQ∧E)] la rPQ∧E]: la

M(a, F(Q1))

.

TRASLATO la E lungo la sua retta d’azone non cambia M(a, E(Q1))

• se E || fa M(a, E(Q1)) = 0
• se retta d’azione di E converge sull’asse a M(a, E(Q1)) = 0
• se E ⊥ e la M(a, E(Q1)) = ±b||E|| con n̂ = ba con (ex,ey,ez)

M(x = P, F(Qy))

l(x = M(a, F(Ql)))

M(y= P, F(Q1))

l(y= M(b, F(Q1)))

M(z= P, F(Q1))

l(z= M(c, F(Q1)))

=M(Pi, F(Q1))=Mlex + Myly + Mzlz = 0 pari

SISTEMA di FORZE

= [Fz(Qa),Fz(Q1), ···,Fn(Q1)]

• R(S) = Σ Fe
• M(P, S) = Σ PQa ∧ F

COPPIA di FORZE

({F(Q1) - F(Q2)})

R(C) = 0

M(P, Q) = PQa ∧ F + PQa ∧ (-F)

EQUIVALENZA

OPERAZIONI INVARIATIVE (A = B)

1. SOSTITUZIONE F(Q1), F(Q) con F(Q1) = F(Na) + F(Q)

Due sistemi di E si dicono EQUIVALENTI (A≡Kb) se possono essere ottenuti uno dall’altro attraverso una serie di operazioni univoche.

Teorema di Varignon

Sistema di F concorrenti nello stesso P è equivalente alla R(S) di tutte le F applicate in P

S ↔ R(S)       M(A|R(S)) = AP ∧ R(S)

DM: Applicio 3v l'operazione invariante n°3 + 1v la n°1 per portare le F in P e sostituire le F con un sistema

Trasporto

A = {F(Z)}                               B = {F(Q)} F(Z) - F(Q)

⇒ A × B

C = {F(Z), -F(Q)}

ettrigo B da A applicando IV l'operazione invariante n°2

F = {F(X)} - {F(X) + F(Z)} = {F(Z)}                 B(A) = R(B) = {F(Z)}                     M(A) = M(B) = C

C = {QZ ∧ F(Z)}

Decomposizione

1) Piano (l_x, l_y)                F = F_x l_x + F_y l_y

R = R_x l_x + R_y l_y      con R ∙ M(0) = 0

[M(0)] = M_F \R \perp M(0)

Scelgo 2 punti astratti A,B t.c. FA FB appaiano al piano

A = {F(a)}     B = {A(a),B(b)}

⇨ trova A × B

Sol. BANALI: a ≡ b ≡ c; • a ≡ c oppure b ≡ c

se a, b, c non siano coincidenti i versori (al 1 α) formano una BASE ortonorme

Applico l'operazione invariante n°2: F_A(α) = F_A L+ F