Fondamenti di Teoria dei Segnali

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Teoria dei Segnali

Segnali - Generalità

Il segnale è una qualsiasi grandezza fisica variabile cui è associata un'informazione. Generalmente è una funzione delle variabili tempo t e/o spazio x, e viene anche funzione di più variabili. Ad esempio, l'intensità coloror di un display, i canali R,G,B, cliker per compognone di SR, segnali sui sensi vocconcati. I dati note fondamentali: Red, Green, Blue.

Consideriamo il display come posto in un piano di coordinate spaziali (x_1,x_2) continuo: è fuz. segnali di due variabili reali:

f(x_1,x_2)={r_3(x_1,x_2), g_3(x_1,x_2), b_3(x_1,x_2)}

Determinazione dei segnali: la funzione come funzioni estendendo naturali a qui visibile del f(spp): x(t):β=S_1, dimensione segnali:

TIPI

In base allo stato del segnale nello serie di Fourier si distinguono:

• Se è tempo continuo, cioè, segnali definiti in domina reale e continui nel tempo e nei pluritiupi, uscita uscita del tipo x(f), y(t).
• Se è tempo discreto, per segnali il dominio di tutti numeri fu coordinati dell'interno dei numeri infiniti. Poi pripronnezza questi segnali si indica come x_1, y_1 fiuno nota[modulo segnale].
• Proprietà segnali esono apparizione come x[n_1], y[n_1], e si dicono sequence. Una sequence indica negli disessi met: is regime dim value discreto T del tipo x(nT), y(nT) con TC=3.

= \[ V_{0}^2 \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \] dt = \[ V_{0}^2 \]

si calcola l'espressione del valore efficace o RMS di un segnale

\[ x_{rms} = \sqrt{P_s} \]

Corrisponde al segnale costante che nel tempo ha la stessa potenza media dell'originale.

Si dice invece valore medio, prendendo ₀ se ^periodico, il

rispetto medio di un \[ x_m = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) dt \]

e si conosce di fissare il numero di spazi entro 1 per il risultato stato trovato

• Si va verso \[ E_x \] dell'integrale unico x(t) = \[ \begin{cases} e^{-2t} \hspace{10pt} & t \ge 0 \\ 0 \hspace{10pt} & t < 0 \end{cases} \]
• \[ E_x = \int_{-\infty}^{0} | x(t) |^2 dt = \int_{0}^{\infty} e^{-2t} dt = \frac{-1}{2} e^{-2t} \Bigg|_{0}^{\infty} = \left[ \frac{1}{2} (0 - 1) \right] = \frac{1}{2} \]
• Si sa int. \[ x_w, \] \[ E_x = P_x \] di \[ x(t) = \begin{cases} e^{-t} \hspace{10pt} & t \ge 0 \\ 0 \hspace{10pt} & t < 0 \end{cases} \]
• \[ x_w = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) dt \]
• \[ = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} e^{-t} dt = \left( \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} (-1)(t) \cdot e^{-t} \Bigg|_{0}^{T/2} \right) = \]
• \[ = \lim_{T \to \infty} \left( 0 - e^{-1} \right) = 1 - e^{-1} = \]
• \[ E_x = \int_{-\infty}^{0} | x(t) |^2 dt = \int_{0}^{\infty} e^{-t} dt = \left[ \frac{-1}{T} e^{-t} \right]_{0}^{\infty} = \left[ -\frac{1}{2} (-\frac{1}{2} e^{-2t} \right)_{0}^{0^{-1}} = \frac{\pi}{2} \]

DIM

* x(t) = ∑_{u = -∞}^∞ X_ue^j2πf_ut → x(f)e^j2πf_ut

* x(t) x_umt.e = ∫_-T/2^T/2 (e^j2πf_umt e^j2πctt) dt =

• X_u∫_-T/2^T/2 e^{-j2π(f_u-fu)t} dt =
• = ∑_u=-∞^∞ X_u (e^{-j2π(f_u-fu)t}) = (f_u = u/T)
• = ∑_u=-∞^∞ X_u e^{-j(2π(u-u)t)} =
• = ∑_u=-∞^∞ X_u 1/-j2π(u-u) [e^jπ(u-u)tt] =
• = ∑_u=-∞^∞ X_u 1/q(u-u) sin(π(u-u)) / sin(π(u-u))

La serie del segnale x(t) . . . dovrà inoltre coincidere con un segnale periodico avente lo stesso andamento e periodo T = t₀ per cui è una funzione della frequenza f₀ = ₁/^t₀.

Es. Si consideri il segnale formato da impulsi rettangolari: x(t)

Opul semplice impulso deriva dal segnale:

X₁(t) = A rect( ^{t - T/2} / _T )

Ogni impulso è traslato rispetto al piano di t . . . in un senso; e vale quindi . . .

x(t) = Σ_u=-∞^+∞ A rect( ^{t - nT} / _T );

Applica . . . il calcolo degli X_uv.

X_uv = ¹ / _T ∫_-T/2^T/2 X(t) e^-j2πft dt = ¹/_T ∫_-T/2^T/2 A e^-j2πft dt = ^A/_-j2πft [e^j2πft _-T/2^T/2 - A - e^j2πft ]

= ^A/_j2πft [e^j2πft _-T/2^T/2 - A - e^j2πft ]

= ^A/_π [ Sin ( π t / t₀ ) _-T/2^T/2 ]

Il segnale essendo scelta pari per carica degli X_uv antisemmiede quindi : X_uv = φ_n ;

Per u ≠ 0 ; X₀ = Φ₀ . . . A . . .

Per n = 0 ; X₀ = A . . .

Segnali Aperiodici e Trasformata di Fourier

Esiste un operazione in grado di esprimere come sovrapposizione di impulsi ponderate anche un segnale aperiodico e così come fare seguire una procedura efficiente sviluppata in serie di Fourier.

Consideriamo il segnale aperiodico:

x(t) = rect(t/T)

e un'espressione in termine di somma di impulsi rettangoli, segnale periodico:

X_p(t) = ∑_u=-∞^+∞rect((t-uT)_o)

[...formula incomplete...]

Dal segnale X_p(t) consideriamo solo la rappresentazione in T_o, se calcoliamo:

È l’impulso ottenuto dal segnale elementare x(t), considerando come un caso limite di un segnale periodico X_p(t) dove da X_p(t) si deduce x(t).

x(t) = lim T_o→∞ X_p(t)

La serie X_p(t) può rappresentarsi in forma di:

X_p(t) = ∑_u=-∞^+∞X_ue^j2πfuT

con f_u = u f_o, e con X_u:

X_u= 1/T_o∫_-T/2^T/2X_p(t)e^-j2πfuTdt

nel primo intervallo t₁ < t < t₂ il segnale x(t) ha una funzione di

discontinuità di prima specie;

nel secondo intervallo t₁ < t < t₂ il segnale x(t) ha una funzione

di mancata continuità;

allora x(t) è rappresentabile come unsegnale illimitato e quindi vale

il teorema di unitarietà.

Simmetria degli Spettri

Valgono le seguenti proprietà:

X(f) = Re{X(f)} + j Im{X(f)}

Re{X(f)} =

∫x(t) cos(-2πft) dt =

{Re{X(f)} = Re{X(-f)}

Im{X(f)} =

∫x(t) sin(-2πft) dt =

{Im{X(f)} = -Im{X(-f)}

Segnali Pari e Dispari

Valgono le seguenti proprietà:

x(t) → X(f)

x(t)_pari

{ Re{x(t)} / 0 ;

Im{X(f)} = 0 ;

x(t)_dispari

{ Re{x(t)} = 0 ;

Im{X(f)} / 0 ;

Teoremi sulla F-trasformata

Linearità

Dati una coppia di segnali x₁(t), x₂(t) e due costanti reali

La proprietà dell'energia di un segnale x(t) e della sua Trasformata si dicono relazioni energetiche.

Relazioni Energetiche

Dim. x(t) → E_x = ∫_-∞^+∞|x(t)|² dt = ;

sicché: x(t), { x(t)} → E_x = ∫_-∞^+∞|X(f)|² df =

E_x = ∫_-∞^+∞x(t)x*(t) dt = ∫_-∞^+∞x(t)X(f)e^j2πft df dt =

= ∫_-∞^+∞x*(t) ∫_-∞^+∞X(f)e^j2πft dt df = ∫_-∞^+∞X(f) ∫_-∞^+∞x*(t) e^j2πft dt df =

= ∫_-∞^+∞X(f) ∫_-∞^+∞x*(r)(e^-j2πft) * dt df ;

• (il prodotto del coniugato = coniugato del prodotto)

= ∫_-∞^+∞X(f) ∫_-∞^+∞(x(t)e^-j2πft)* dt df ;

• (il somma del coniugato = coniugato della somma)

= ∫_-∞^+∞X(f)(∫_-∞^+∞x*(t)e^-j2πft dt) df = ∫_-∞^+∞X(f)X*(f) df =

= ∫_-∞^+∞|X(f)|² df ■