Teoria degli insiemi e dei gruppi - Matematica per la chimica

Notazioni e abbreviazioni nel corso

Nel corso si utilizzeranno le seguenti notazioni e abbreviazioni:

• ∀ Per ogni
• ∃ Esiste (almeno)
• ∃! Esiste uno ed un solo
• : oppure / Tale che
• ⇒ P implica Q (se P è vera, anche Q lo è)
• ⇔ P se e solo se Q (P è vera se e solo se anche Q lo è)

Insiemi

Gran parte della matematica moderna è formulata nel linguaggio della teoria degli insiemi. Il concetto di insieme è una nozione primitiva e rappresenta una collezione di oggetti che godono tutti di una stessa proprietà. Per rappresentare un insieme, ci sono 3 modi:

• Per elencazione, se l’insieme ha un numero finito di elementi
• Per proprietà caratteristica
• Con i diagrammi di Eulero-Venn

Esempio

Rappresentiamo uno stesso insieme A nei tre modi appena citati:

• 1. A = {a, e, i, o, u}
• 2. A = {x | x è una vocale dell’alfabeto}
• 3. Diagramma di Venn

Si indica con il simbolo ∅ l’insieme vuoto, ossia l’insieme privo di elementi.

Cardinalità

Il numero di elementi di un insieme A si chiama cardinalità di A e si indica con la notazione |A| (o anche con #A). ∈ A significa "appartiene ad A", ossia "è un elemento di A". ∉ A significa "non appartiene ad A", ossia "non è un elemento di A".

⊆ significa "B è un sottoinsieme di A", ossia "B è contenuto in A" o anche "A contiene tutti gli elementi di B". Se A contiene degli elementi che non appartengono a B, diremo che B è un sottoinsieme proprio di A e scriveremo B ⊂ A.

Osservazione

A e ∅ si dicono sottoinsiemi impropri.

Nel seguito indicheremo gli insiemi numerici più importanti rispettivamente con:

• ℕ = insieme dei numeri naturali = {0, 1, 2, 3, …, n, n + 1, …}
• ℤ = insieme dei numeri interi = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
• ℚ = insieme dei numeri razionali = {p/q | p ∈ ℤ, q ∈ ℕ\{0}}
• ℝ = insieme dei numeri reali
• ℂ = insieme dei numeri complessi

Operazioni tra insiemi

Unione di due insiemi

L'unione di due insiemi A e B rappresenta l'insieme di tutti gli elementi che appartengono ad A o a B o ad entrambi e si indica con A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.

Esempio

Se A = {1, 2} e B = {2, 3}, allora A ∪ B = {1, 2, 3}.

Osservazione

L’operazione di unione gode delle seguenti proprietà:

• Commutativa: A ∪ B = B ∪ A
• Associativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
• Elemento neutro: A ∪ ∅ = A

Intersezione di due insiemi

L'intersezione di due insiemi A e B rappresenta l'insieme di tutti gli elementi che appartengono sia ad A che a B e si indica con A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.

Esempio

Se A = {1, 2} e B = {2, 3}, allora A ∩ B = {2}.

Osservazione

L’operazione di intersezione gode delle seguenti proprietà:

• Commutativa: A ∩ B = B ∩ A
• Associativa: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
• Elemento neutro: A ∩ U = A, dove U è l'insieme universo
• Intersezione con il vuoto: A ∩ ∅ = ∅

Osservazione

Vale la proprietà distributiva dell'intersezione rispetto all'unione e dell'unione rispetto all'intersezione. In simboli:

• (A ∩ (B ∪ C)) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
• (A ∪ (B ∩ C)) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Differenza di due insiemi

La differenza di due insiemi A e B rappresenta l'insieme che contiene tutti gli elementi di A che non stanno in B e si indica con A \ B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}.

Osservazioni

• La differenza di due insiemi non è commutativa: A \ B ≠ B \ A
• Se B ⊆ A allora A \ B = C(B), dove C(B) si dice il complementare di B in A.

Esempio

Se A = {1, 2, 3} e B = {2, 3}, allora A \ B = {1} e B \ A = {}.

Prodotto cartesiano di due insiemi

Il prodotto cartesiano di due insiemi A e B rappresenta l'insieme di tutte le coppie ordinate tali che il primo elemento appartiene ad A ed il secondo elemento appartiene a B, e si indica con A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.

Se A = B si scrive A × A = A².

Osservazione

Il prodotto cartesiano di due insiemi non è commutativo: A × B ≠ B × A.