Teoria con Dimostrazioni di Analisi 1

Numeri reali

I numeri reali ℝ sono un corpo commutativo totalmente ordinato e completo.

Q₁: i numeri razionali ℚ non bastano, dunque non sono completi.

Assioma di completezza

C'è sempre un numero t ∈ ℝ tale che x ≤ t ≤ y.

Def

Un intervallo è un sottoinsieme I ⊆ ℝ tale che se x, y ∈ I e x ≤ t ≤ y allora t ∈ I.

Possono essere illimitati o limitati se "contengono" l'infinito.

Possono essere chiusi o aperti se contengono gli estremi.

Def

Siano A ⊆ ℝ e t ∈ ℝ.

• Se t ∈ ℝ e ∀x ∈ X, x ∈ ℝ t si dice maggiorante di A.
• Il max e il min sono unici e non possono essere infinito.

• Se t ∈ ℝ e ∀x ∈ X, x ∈ ℝ t si dice minorante di A.

Def

L'insieme dei maggioranti di A è definito come l'insieme dei numeri reali che sono maggiori o uguali di ogni elemento di A.

Si indicano con A^*.

Def

L'insieme dei minoranti di A è definito come l'insieme dei numeri reali che sono minori o uguali di ogni elemento di A.

Si indicano con A^*.

Def

L'estremo superiore è il più piccolo elemento dei maggioranti.

Se A è superiormente limitato sup A = max

Def

L'estremo inferiore è il più grande elemento dei minoranti.

Se A è inferiormente limitato inf A = min

Numeri reali

I numeri reali ℝ sono un corpo commutativo totalmente ordinato e completo.

I numeri razionali ℚ non bastano, dunque non sono completi.

Assioma di completezza

C’è sempre un numero ε ∈ ℝ tale che x ≤ ξ ≤ y

Def Un intervallo è un sottoinsieme I ⊆ ℝ tale che

se x, y ∈ I e x ≤ ξ ≤ y allora ξ ∈ I

Possono essere illimitati o limitati se contengono l’infinito

Possono essere chiusi o aperti se contengono gli estremi

Def Siano A ⊆ ℝ e ξ ∈ ℝ

Se ξ ∈ ℝ e ∃ x, ∀ x ∈ ℝ t si dirà l’assiuo di A

Def Siano A ⊆ ℝ e ξ ∈ ℝ

Se ξ ∈ ℝ e ∃ x, ∀ x ∈ ℝ t si dirà minimo di A

Il max e il min sono unici e non possono essere infinito

Def L’insieme dei maggioranti di A è definito come l’insieme dei numeri reali che sono maggiori o uguali di ogni elemento di A

Si indicano con A☆

Def L’insieme dei minoranti di A è definito come l’insieme dei numeri reali che sono minori o uguali di ogni elemento di A

Si indicano con A∓

Def L’estremo superiore è il più piccolo elemento dei maggioranti

Def L’estremo inferiore è il più grande elemento dei minoranti

Se A è superiormente limitato sup A = max

Se A è inferiormente limitato inf A = min

Prop | Se A è superiormente limitato il sup esiste sempre ed è unico

Dimostrazione

il sup è unico perché è un minimo di A* usando la proprietà di completezza sappiamo che esiste un numero tale che

A ≤ ε < A*

e ε soddisfa le proprietà dell'estremo superiore

Se esiste il sup non è detto che esista il max

prop se esiste il max, coincide col sup

proprietà caratteristica del sup

prendendo un insieme superiormente limitato A

α = sup A <=> { α ∈ A*

∀γ ∈ R con γ<α ∃ x ∈ A : x>γ

Dimostrazione

"=>"

Sia α = sup

allora α = min A* , preso un numero più piccolo del mio A* esso apparterrà ad A

"<="

soddisfa le due condizioni

α ∈ A* allora non possiamo prendere un altro numero più piccolo di lui sennò ci ritroveremo in A dunque α è sup

(viceversa per l'inf)

1) Se x, y ∈ R con x>0 , ∃ n ∈ N tale che n x">"y

2) Se x, y ∈ R con x>1 , ∃ n ∈ N tale che x^n > y

Dimostrazione

1. Supponendo per assurdo che l'ipotesi sia falsa allora ∩ ≠ e questo comporta che l'insieme sia un insieme limitato, impossibile
2. Supponendo per assurdo che l'ipotesi sia falsa allora > log < e questo comporta che l'insieme sia un insieme limitato, impossibile

Un insieme è DENSO se ∀ x, y ∈ A ∃ t ∈ tale che x < t < y ⇔ t ∈ A

L'insieme IR è Denso perchè formato da razionali e irrazionali

• infatti denotiamo con ̃IR - Q ciò significa che ogni "buco" di Q è riempito da

Dimostrazione

Presi due numeri x, y ∈ IR