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Numeri reali
I numeri Reali ℝ sono un corpo commutativo totalmente ordinato e completo.
- I numeri razionali ℚ non bastano, dunque non sono completi.
Assioni di completezza
C'è sempre un numero ℓ t.c. x, y ∈ ℝ tale che x ≤ ℓ ≤ y
Def Un intervallo è un sottoinsieme I ⊆ ℝ tale che se x, y ∈ I e x ≤ ξ ≤ y allora ξ ∈ I
- possono essere illimitati o limitati se "contengono" l'infinito
- possono essere chiusi o aperti se contengono gli estremi
Def Siano A ⊆ ℝ e ξ ∈ ℝse ξ ∈ ℝ e ξ > x, ∀x ∈ ℝξ si dice lassisto di A
Def Siano A ⊆ ℝ e ξ ∈ ℝse ξ ∈ ℝ e ξ < x, ∀x ∈ ℝξ si dice minimo di A
Def L'insieme dei maggioranti di A è definito come l'insieme di numeri reali che sono maggiori o uguali di ogni elemento di A
Def L'insieme dei minoranti di A è definito come l'insieme dei numeri reali che sono minori o uguali di ogni elemento di A
Si indicano con A*
Def L'estremo superiore è il più piccolo elemento dei maggioranti
Def L'estremo inferiore è il più grande elemento dei minoranti
Se A è superiormente limitatosup A = max
Se A è inferioramente limitatoinf A = min
Prop Se A è superiormente limitato il sup esiste sempre ed è unico
Dimostrazione
Il sup è unico perché è un minimo di A* usando la proprietà di completezza sappiamo che esiste un numero tale che α < A < A* e α soddisfa le proprietà dell'estremo superiore
(viceversa per l'estremo inf.)
Prop Se esiste il sup non è detto che esista il max se esiste il max , coincide col sup
Proprietà caratteristica del sup
prendendo un insieme superiormente limitato A
α = sup A <=> { α < A* ∀y∈ con y < α > ∃ x ∈ A : x > y
non appena prendo un elemento più piccolo del sup, c’è un elementodi A che lo supera
Dimostrazione
“=>” Sia α = sup
allora α = min A* . preso un numero piùpiccolo del min A* esso apparterrà ad A
“⇐” α soddisfa le due condizioni
α ∈ A* allora non potremmo prendere un altro numeropiù piccolo di lui senno ci ritroveremo in Adunque α è sup
(viceversa per l'inf)
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Arichmedieto di
- Se x, y ∈ con x > 0 , ∃ n ∈ tale che nx > y
- Se x, y ∈ con x > 1 , ∃ n ∈ tale che xn > y
- f(x + c) con c > 0 trasla f a sinistra
- f(x - c) con c > 0 trasla f a destra
- f(x)+c con c>0 trasla f in alto
- f(x)-c con c>0 trasla f in basso
Mentre l'omotetia espande il grafico o lo contrae
- f(ax) con a>1 contrae il grafico in orizzontalecon 0
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