Ripasso teoria Analisi 1

Formalizzazione dell'algebra complessa

Una successione {a_n} di numeri complessi è definita come una sequenza di elementi a_n appartenenti all'insieme dei numeri complessi. La parte reale di a_n è indicata con Re(a_n) e la parte immaginaria con Im(a_n).

Una successione {a_n} è convergente se esiste un numero complesso L tale che per ogni valore di errore ε > 0 esiste un numero naturale N tale che per ogni n > N si abbia |a_n - L| < ε.

Una successione {a_n} è infinitesima se per ogni valore di errore ε > 0 esiste un numero naturale N tale che per ogni n > N si abbia |a_n| < ε.

Una successione {a_n} è divergente se non è convergente.

Una successione {a_n} è a valori negativi o positivi definitivamente se esiste un numero naturale N tale che per ogni n > N si abbia a_n < 0 o a_n > 0 rispettivamente.

Una successione {a_n} è permanentemente crescente se esiste un numero naturale N tale che per ogni n > N si abbia a_n ≥ a_n-1.

Una successione {a_n} è convergente se e solo se è limitata.

Una successione {a_n} è limitata se esiste un numero reale M tale che per ogni n si abbia |a_n| ≤ M.

Il confronto tra successioni è possibile anche se le successioni sono a valori complessi. In particolare, se {a_n} e {b_n} sono due successioni convergenti, allora anche la successione {a_n + b_n} è convergente e il limite della somma è dato dalla somma dei limiti delle due successioni.

La proprietà fondamentale delle successioni convergenti è che il limite della somma, del prodotto e del rapporto di due successioni convergenti è uguale alla somma, al prodotto e al rapporto dei limiti delle due successioni.

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Considerando la definizione di limite, esiste un intorno di ogni punto in cui la funzione è definita. In particolare, se il limite di una funzione esiste, il teorema di permanenza del segno ci dice che il segno della funzione rimane lo stesso in un intorno sufficientemente piccolo del punto. Sia f una funzione continua e derivabile, esiste almeno un punto c in cui la derivata si annulla. Definiamo un intervallo [a, b] in cui f è continua e derivabile. Applicando il teorema di Rolle, esiste almeno un punto c in (a, b) in cui la derivata si annulla. Siano a e b due punti in cui f è derivabile, allora esiste almeno un punto c in (a, b) in cui la derivata si annulla. Se f è una funzione continua e derivabile, allora esiste almeno un punto c in (a, b) in cui la derivata si annulla.

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