Teoria Analisi Matematica 1

Numeri

insiemi numerici

IN naturali 0,1213,4

numeri la

relativi naturali il 3

numeri 1,12

con segno

razionali te

o

numeri

IR Fa

irrazionali

reali

numeri T

razionali

e

valore

MODULO assoluto

O La teorema

1 1 è

assoluto definizione

modulo valore non un

o

1 1 ho

c X Xc 0

Esempio ti Ta

l tre

151 5 e

Distanza Retta

sulla

Distanza positivo indicata

distanza

si ed

siano il

IR tra

definisce

e

x con

y y

Ix YI

dlx

d

simbolo quantità

la Y

x y

di dlx

PROPRIETÀ

tix la dcxiyds.si

1 e

y da y

matematica che

è

frase solo

frase può assumere 2

una una

risposte si o no

dcx.ylsdcy.is

2 y.li

lx ly1

dcx.yi

3 triangolare

disuguaglianza

Funzioni DI VARIABILE

UNA

Di Funzione

Concetto

si di

elemento

ad

chiama che

funzione associa ogni

legge

una

D di

solo elemento e

insieme

un insieme e un

uno

uno

3elementi definire funzione

per una

La

1 Legge D dominio funzione

della

chiamato

L'insieme

2 d'insieme funzione

della

C chiamato

31 Gobanismo

Notazione

DEIR sia

7 C Funzioni

PROPRIETÀ DELLE

QUALITATIVE

LIMITATA D limitata 7

dice

fix C f

sia si se numero

un

IR è

che

tale

Me verificata

fail

I E M

ME EH

FAI

Y it

M

SIMMETRICA D tix

sia fai ED

ED

C dice

Fao s

essere se

pari

si

vale

e Vx

few fai ed

Y a dispari

pari

µ taxed

dice

D vale

ED

Sia Dispari

filo fa

c se

essere

si e

tix

few fu ED

MONOTONIA ti D

D crescente

dice

Sia fai C si

1 essere e

se

X2

con Xn 1 far

E

Xi

si fai

strettamente

dice far

quando

crescente D

D VK.ir

2 Sia filo dice

fax decrescente E

essere

si se

Xa

Xi

con fin

fans

si fai

strettamente

dice far

quando

decrescente

Periodica D

sia C few è

fai T contro se

periodica

tix IR

f fa e

x tank

cosa

sink

esempio Biettiva

INIETIVA SURIETIVA BIUNIVOCA

E ti

D ED

few allora

iniettivo

Sia C

fai dice

1 si Xe X2

se

fan far

D

Sia

21 f

dice suriettiva

fai few

C Img

se

si iniettivo

D surrettiva

è

Sia fai dice

31 C fai e essere

se si

Biettiva

biunivoca o

Funzione INVERSA Hy

Biunivoca Allora

D c

sia sia C

few definisce

e

fix si

la che

tale

indicata 7

di f

inversa

funzione con

i d fai

f y y

esempio

3 p

X

2 Ef

y Funzioni

LIMITI di

LIMITE E due

etc c'è

cui

punti in

sono

ci

sia

qualsiasi sempre

che

la dx di

funzione sx

ee a a

sia

de d SIC

E delta

eps.com

µ

j

Notazione d

IR Intorno di

dato si il

centro

e chiama

X e insieme

seguente

raggio

d

Ipso di X

I

I 1 X ts

S d centro

sia intorno

funzione

7 da

definita certo X e

una con

un raggio

R ER

f R

frasi R

IR 1 Xo

Xo

eccetto 9rad Xo

quindi

LIMITE FINITO Finito

Al D f

L SEI

lim VE l

7 fcxicli

IR

fai Ec

o

e Ex c

sx.se ll

l Ecfcxic.lt

X fai E

E

e c

Igino

X numero

numero

LIMITE ALFINITO

INFINITO

sia f ER

frasi R R SH

S Xd

I

lim VM fai M

fai fusi

se

a a e

xoxo R

Irosi R

f Rex

Sia e Sederi

I

tre

Ems 3

M

fade X

a

fai e

se

o

io All'infinito

LIMITE Finito IR

Sia Rts

f LICE

VE ksk.IE

7

Lm le

Fw Ifa Il

112 se

o

sta llcEsexcK

ksk.IE

I

VE

le R

lens lflXi

fai o

a All'INFINITO

LIMITE INFINITO

Cm V 7 KHUN flush

Mio

fai Il

Se

a

a 7

km

lim ifCXIc

ksk.CM MsexsK

fai a o

to 7 fai

Lm tre ksk.CM

ta

few se Il

M

o Xc

a VM K Klm k

fai

7

a M

fate se Xc

c

o

7 di

PUNTO accumulazione

Sia PER

A

R IR

contenuto

e

io ovvero

e insieme

un in

Xo l'insieme intorno

accumulazione

di

dice a

si ogni

se per

per

esiste da

almeno distinto

xD punto Xo

ad A

appartenente ovvero

un

Una

IX

E Jean

DI UNICITÀ

TEOREMA DEL LIMITE

D

sia D

IR

f di

punto accumulazione

Xo

e per

L

lim

che delle

IR

fai blocco

E ipotesi

numero

supponiamo un

del

Allora l tesi

è teorema

unico

Prova del TEOREMA la la

tesi

Prova contraddizione

e

assurdo

per leggo si una

e

nego raggiunge

Il unico le la tale

la

E che

li

la tesi è

1 non con

Negare la

li

tuo fai

III fingo

lfcxi.li

Sale

di

VE chi

7 e

1 se

so cE

i IX

Sale lfcxi.li

da Ig

VE 1 Gol

21 cE

so se e

lln

lli Ellr

lzl tIflXI

fcxitflxi.la lz

col fcxo E

O c

I lXo

tl7cxi

xo.li

E la VXeIglxoI

eEtE 2E J

I cambiare

si triangolare

disuguaglianza

puo

nel modulo

di S Sal d

Si tutti

sta ai

min e

in

1

1 S Contraddizione

01 E

E 26

0C qualsiasi positivo

com

E 1

SE ZE

SE contraddizione

2 Della

TEOREMA DEL SEGNO

PERMANENZA

R D

D

sia accumulazione

f di

punto

Xo

e per

Eso

lens fai ta

Supponiamo oppure

c Ho

Idiot Vx

Intorno Idiot

Allora f falso

esiste ci e

e o

un c

del

Prova teorema

l

caso o cEVxeIgCxoi.lXol

VE 7 Seste lfcxi.ee

so i

e fasi alte

Ec IX 1

e Iyad

Vx

70 E e IX 1

7 e

fai

Es f se cui

2 E

Scelgo

osservazione da vale

l risposta

se o non

una

non di

Dei del

TEOREMA CARABINIERI confronto compressione

IR

1 h D D

siamo di accumulazione

e punto per

g IX

Vx

hai

fate Xd

esiste

che e

E glue

o

Supponiamo L L

Inoltre fai fjnz.hu

e

fuggo

supponiamo

allora L

Cim giu IX

Si

Si

v E V I

alte

7 l xD

E E fai

so e

chcxicltEVX

da

Sa

VE l

E CIg.CH

so E

a

J snida

min e Xd

xD

Ig

Se e fate

E

l glxiehcxlc.lt

ci E IX 3

l E cgcxdc.lt Isao

E se e

ovvero L

lim 941

Asintoti orizzontali

asintoti le

Cm fai 112 E

definizione

se per y

Asintoti verticali la

ta retta

fai

sia IR verticale

Xo a

E xoxo

se fingo

Asintoti OBLIQUI IR la

Sia 112 retta obliquo

E

mio

me a

e mito

y

e q

fai mxtqlt

lem

se ox

st.ro

Dell'ALGEBRA 1

Dei

TEOREMA LIMITI

D D

Siamo d

IR

fig Xo a

e per

p

lem la Cim la IR

1 IR

Ho C gu C

supponiamo

Allora xoxo

se la

1 la

fai già se xoxo li la

fai

21 gas

f la

la

se xoxo

3 se o

da

giu

TEOREMA 2

Dell'ALGEBRA DEI LIMITI

le

Sia 112 e ftp.glxieta

fai

GII

1 Supponiamo i

allora lio

lem to

fig sia

Lmfao FYI a

21 ta gaie

Supponiamo io

allora

Lm ft tata

a to

xoxo A a a

TEOREMA 3

DELL'ALGEBRA LIMITI

DEI

R

Sia l e

e l

11 O

a o

lo

21 O

a l

31 a o teoremi

che dimostrano

casi i

non

a

a A

o.O d

O

0

A teoremi risultato

che casi

danno questi

ci

ci un

sono per

non

FORME INDETERMINATE

di Funzione

Composizione

R

Da

7 R

Da allora

da definire

Inglf

se E si può

g glad

9071

f

composto

9

Esempio

a

fai Sini

giu Ho since

f fini

g

go xp sink

foglio fighi sin

deduco

La è commutativa

non

composizione

al

f foglio

t

go Di

limiti VARIABILE

Dei cambio

TEOREMA sulla composizione è

cui

f ben definito

due la

Siamo funzioni

e per

g xD

definitivamente supponiamo

a Xo e

composizione

to

11 gli se I

Cm lato

f

2 s numero o

o

sto

f

31 definitivamente

gatto per

allora e

figlio

lim false

fjnfcgcxdsf.gg

Xo

LIMITE DESTRO E SINISTRO

TEOREMA l

lim

e fai

fai

III III

fai xò SI

I D lfw.lk

fai SEI

VE

fine l E xe Xo

se X

o lflxi.lt

SEI

d

Am VE 7

L S

CE

fai se

i Xo

Xe

o

sui

x Notevoli

Limiti am tag

FII 1

SIA i so

Cim 1 Am 1

arcani

so o lauto

Cem

1 1

se

f

92 i so xp

Cm iii 1

e

e i o

lim CY p

TEOREMA degli

GERARCHIA infiniti

allora

siano p o

end o

fino

e

o

7 xp e

Dimostriamo y.ie

cambio

variabile

à GI

I quindi

lg 0

f 0 0

lem 9,7

X sta

dimostriamo

B iene

Cm allora

y.ci o

7

sta

TEOREMA

da ammette

fai asintoto

funzione o

per

obliquo mito

y

solo se

se e

Cem 7 Il mio

e

1 m

a MXJ

fcxi

Cm entrambe verificate

qE.IR

2 vanno

a DI INSIEME

UN

MINORANTE

MAGGIORANTE E

consideriamo A CIR di contenuto ed

1 il

A A

massimo in grande

piu

sir tra è

elementi il

gli ed più

tra i

piccolo maggioranti

perché

massimo

un

non non

demaggiorante ma

sia appartiene

Definizione tix

E A

IR E

IR è as se E

e maggiorente per

Definizione

è Jex Vx

minorante A

IR

te A se

E e

112 per

Gli esterno

estremi A

di

inferiore

unici o

sono di A

estremo

1 superiore

Estremo

Definizione Superiore

I

R

A

sia solo

Sapa se

C se e

Fax ti A

1 xe I limitato

A

9

VE A vuoto

E

2 so E non e

Definizione estremo inferiore

è

sia A solo

112 9 se

A

C se

in

Ìo Vx A

1 e

VE It

3 E

EA Xc

2 o DI

PROPRIETA di DEDEKIN

O ASSIOMA

COMPLETEZZA limitato

CIR l'esterno Inf

A vuoto

Ogni insieme slip

non e

e possiede

Osservazione

se illimitato

è

A A

vuoto Inf

Sup a

Ast