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TANGENTE - Calcolo della sua funzione a punto
Una funzione f(x) è definita come tangente a un punto P se il suo rapporto incrementale tende a un valore finito quando il punto di incremento tende a zero.
Se si considera il punto P come coefficiente angolare della tangente, si può calcolare il limite del rapporto incrementale come:
lim x→P (f(x + h) - f(x)) / h
La derivata di f in un punto P è definita come la retta tangente a P e si indica con f'(x).
Se la funzione f è derivabile in un punto P, allora si può calcolare la derivata come:
f'(x) = lim h→0 (f(x + h) - f(x)) / h
Il teorema di derivabilità afferma che se una funzione è continua e derivabile in un punto, allora è derivabile in ogni punto della sua dominio.
Prova di continuità:
Se f è continua in un punto P, allora lim x→P f(x) = f(P).
Prova di derivabilità:
Se f è derivabile in un punto P, allora esiste il limite finito:
lim h→0 (f(x + h) - f(x)) / h
Osservazione: se il limite finito esiste, allora la funzione è derivabile in quel punto.
Derivate:
La derivata sinistra di f in un punto P si indica con f'(x) e si calcola come:
f'(x) = lim h→0- (f(x + h) - f(x)) / h
La derivata destra di f in un punto P si indica con f'(x) e si calcola come:
f'(x) = lim h→0+ (f(x + h) - f(x)) / h
La derivata di f in un punto P esiste se entrambi i limiti finiti esistono.
112D7teorema derivabilef è solo seinfino ER401 Ldi DERIVABILITÀPUNTI NONSia continuafioEDf D R Xe ePunto1 angolosofasi f xPunto di2 cuspide17 xd toa eÈ judota a2 e verticaleFlesso3 a tangentefini 7km1 ot a È limite delil faincrementaleQuando fa ta taperchéo rapportooao Punto41 verticaletangenteaaiba Rff là I'artoto G 1laTEOREMA ALGEBRA DELLE DERIVATED che1127 derivabilef funzionie sonogg supponiamogull's ffai giùai1 f giùgadfai fai21 high t finicc.ir f ccgcxtin particolare flightHigh13 giùseGIÀ oGajaDimostrazione 2 WWUN fin gliChiamo lemwlxthln'Ho wlxdh.ioinwlxiwhat fcxthlglxthlflxighdhglxthlflxth.gl hIfcxItglxthIflxI fudgedhflxttfld gcxthl.glXIIflxthlglxthl 4 tailgatingd'Hig continuaperché l'Highwkxi tfcxig.twf.ggDerivata di Funzione COMPOSTAtali benfunzioniSiamo definitarisulta1 che lae composizionegfiglio derivabile insupponiamo goged derivabileifly giuin yallora fkglxd.gl dellacatenafighi regolaDimostrazioneWwe fighi wlxiwkxi fggwlxthhlwlxtht wlxleflglxi.hn figliolh h ggkxihfigffgcxd.gl78cg fuixD flyi.io7kt figlio1 9 eIgp KK gatti gli figlioftp.cxd glad710HA1 ha tratti costantiche gatti giàsegli non nosupponendodiventa si divideree nono puoMINIMI Relativi assolutiEMASSIMI eI D R EDXoe11 relativo esistedi intornopuntoè massimoun se undi Xo Vx dIyadfasiEfix e oXo è relativodi intornoesistedipunto minimo se ununde Xo Ssoflxizfcx.tk XDgeXo assoluto se31 e un minimo massimoo EDfixed tixfaiTEOREMA di FERMATsia D7 str EDderivabile Xrelativoestremodipunto oMaxun minallora fino 0Dimostrazione è relativoche Xo dipunto MaxSupponiamo unfiliale faiCem finifix.netFIND lem fxxd X positivo delteoremaconseguenza50È 7 del9 dellaciò negativo o permanenzafuggo X.io negativo segnofilosoDefinizione finoDpuntiI Xo e o c'entrasi Criticichiamano eMax minnon conestremianche intervallodennabilitapunti di disononon unTEOREMA di Rolle b57
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primaun traalla retta bsecante aparallelaugualedimostrazione nel teoremagarescegliamo di Cauchy bbvx.ca gkhtotxc.laovvero1gkxiallora flatb0 1 di Lagrangeteoremab adiTEST MonotoniaIR derivabileaib7sia t'Chao Vieè crescente aibf1 s txtI'CHE Capè21 f decrescente a filthDimostrazione ifai fygflxth f.to1 h Xinii sooVia la risultabdevo Kdimostrare kicke confurie 1 Chi x insuLagrangeApplicaficoXD XD9 IX ftp.fc e Xa Xidi conseguenzaXD f faiflussoflirt f X2fini 7XesiccomeoXiXTEOREMA l'HospitalDI DEsiamo bla derivabiliIRfig la bche11 Supponiamo ogig in fafuche fezai GII quisupponi che L IR tasi Ij Esupponi GIÀ oppureallora L IRE oppureInelle indeterminazionisi usaDimostrazione a bè laidf fdefiniamo se e fseo a bajfgsexeca.sise a0 abbiamo continuateorema funzioneladi poiche reso ainCauchyrecati ÈÈ FattibCecaessendoosservo giàIj Dchiamo X EraEroÈ IÌI Rle7ÉIII e fg Funzioni costantiTEOREMA DELLEcaratterizzazione
INTERVALLI SU 74 allora b costante 7 IR fai 1 derivabile sa 0 Dimostrazione derivata concetto di semplice per 2 fico Ice xD faif Applica Xuxa LaGrange x^2 Xifaifaima qlc osservazione è valenon un non intervallo 1 TEOREMA Caio IR sia derivabile continua f sabine se LfGII a oppure allora lae oppure I Dimostratone a Jan Ibf flatted LaEm flatcoi grangeat h fiatificchi GII Et.ch di Funzione DERIVATA INVERSA TEOREMA sia continua IR aib invertibile ap 7 e e sia nl'inversa definita Caio supg fichiche è f derivabile Xo 0 e Supponiamo in allora filo vale è derivabile eyoing 1 gliyo fixed Dimostrazione semplificata è che derivabile gly Supponiamo finds film ffa della catena regola Txd FINI f977 1 g'Hai DERIVATE SUCCESSIVE aib di IR derivabile derivatasifsia definisce seconda dellaid limite incrementale il nel 1 rapporto punto e della findesiste finito funzionese nconcavaconvessa contessa Funzione concava I intervallo Isia 112f Iti è ha 1 e si convessa se CantOtt tefacilifatte far con it thethatlicanI
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