Analisi 1 (teoria - esercizi)

R

• Operazione
• a, b → x, y → a ∈ R

1. Proprietà associativa ∀a, b, c ∈ R(a+b)+c=a+(b+c) (a·b)·c=a·(b·c)
2. Proprietà commutativa ∀a, b ∈ Ra+b=b+a a·b=b·a
3. Elemento neutro ∀a ∈ Ra + o = a a·i=a
4. Opposti ∀a ∈ R, a + (–a) = o
5. Inversi ∀a ∈ R, a·σ(i) = 1

∀x ∈ R  y ∈ R  y ≠ 0x/y · x·y ∈ R

Potenza: m ∈ N   n ∈ N∀x ∈ R, x x x... x ∈ Rnota

∀x ∈ R, x ≠ o   x^(-n) = 1/x^m

ℝ⁺: {x ∈ ℝ: x > 0}

(x^m/n)ⁿ = x^m     se m dispari → x ∈ ℝ

x ∈ ℝ , |x| = x se x > 0

-x x < 0

|-x| = x → x > 0

|x-2| ≤ 0 → x = 2

|x-2| < 0 → x = 0

PROPRIETÀ DEI VALORI ASSOLUTI:

|x+y| ≤ |x| + |y|

Disuguaglianza triangolare

2) |x-y| ≥ |x| - |y|

3) |x|-|y| ≤ |x-y| → ||x|-|y|| ≤ |x-y|

P ha assem x se σ ∈ |x|

rappresenta insieme su geometrico dei numeri reali

S: fattu insieme dello spazio

A : a ∈ S : a > studente vise nel 2016     (x ∈ ℝ: 0 > x > y)

S: N →    A ¹     N ∩ [1, 3, 3, 4]

dote l'insieme A quanto è suscettibile     1) PR ZAOCZOSCE giuro gli elementi non > (tati)      [1, 2]

2) CARATTERISTICA [1, 2]     Attribute insieme

B:: [1, 2]

B ⊂ A, B ¬ sotto insieme proprio di A

B inviati ∈ l'ogni elemento B ¬ è considerato ad A

A ⊕ ∃ A &de; A

f : ^k _R → ^k _R = {∅}

y₀ : x = y₀ quindi y₀ = costante

f : ^k _R → ^k _R

unitiva e antisimmetrica

x → y = x²

g : ^k _R → ^k _R

y : → fg(x) = y

Definizioni: l'insieme dei valori che la f può assumere

• i valori in ingresso

• l'insieme dei valori assunti dalla funzione y=g(x)

• insieme d'immagine

Funzioni Lineari:

• [a, b] : x ∈ _R : a ≤ x ≤ bintervallo chiuso

• ]a, b[: x ∈ _R : a < x < bintervallo aperto

• [a, b[: x ∈ _R : a ≤ x < bintervallo semiaperto

• ]a, b] : x ∈ _R : a < x ≤ bintervallo semicoperto

• [-∞, b] : x ∈ _R : x ≤ bintervallo illimitato inferiormente

• ]a, +∞[ : x ∈ _R : x > aintervallo illimitato superiormente

• ] -∞, +∞ [ : x ∈ _Rintervallo illimitato

f : y = ax + b funzione di 1^a grado/lineare

_D= _{R C}= _Rdominio = codominio

• a > 0 → la funzione è sempre crescente

• a < 0 → la funzione è sempre decrescente

• a = 0 → la funzione è costante

• strettamente crescente : x₁, x₂ ∈ _E, x₁ < x₂ f(x₁) < f(x₂)

• crescente : x₁, x₂ ∈ _E, x₁ < x₂ f(x₁) ≤ f(x₂)

• strettamente decrescente : x₁, x₂ ∈ _E, x₁ < x₂ f(x₁) > f(x₂)

• decrescente : x₁, x₂ ∈ _E, x₁ < x₂ f(x₁) ≥ f(x₂)

Funzione Quadratica:

• f(x) = a₂x₂ funzione di 2^o grado

• _D=_R, _C= [0, +∞)

• _D= _R, _C= [0, -∞]

• f(x) è pari se f(x) = f(-x)simmetrica rispetto all'asse y

• f(x) è dispari se f(-x) = -f(x)è simmetrica rispetto all'origine

Funzione Cubica:

• g(x) = x³ = x * x²

• _D= _R, _C= _R

sempre crescente(grafico)

• sempre decrescente:(grafico)

Parabole di Ordine Superiore:

• g(x) = xⁿ, n ∈ _N con n pari: grafico come la funzione quadratica con n dispari: grafico come la funzione cubica

Altre Funzioni Potenze:

• g(x) = x^{p ⁄ _q} , p ∈ _R, q ∈ _Z \ {0}

• _D = [0, +∞), _C = [0, +∞)
• _D = ]0, +∞), _C =](meno infinito), +∞)
• (grafico y^1⁄2 = x^1⁄4)
• (grafico y^-2⁄3 = x^-2⁄3)

Funzione Reoproca:

• g(x) = ¹ / _x, _x ∈ _R \ {0} funzione dispari

• _D = ^R \ {0}
• _R =] -∞, 0 [ ∪] 0, +∞ [
• (grafico)

Teorema

(ipotesi) a_n → ℓ n → ∞, convergente

(ipotesi) {a_n} limitata

∀ K ∈ ℝ, K < a_n ≤ L ∀ n ∈ ℕ

Dimostrazione:

• ∀ ε > 0, ∃ N ∈ ℕ tale che ∀ n ≥ N, |a_n - ℓ| < ε v(2o per Th g