Teoria base Analisi 1 e Algebra lineare

FORMULE E CONCETTI BASE ANALISI I

NUMERI COMPLESSI

Ci sono ragioni che ci spingono ad ampliare il campo algebrico e quindi a risolvere l'eq. x²+1=0

L'operazione di somma e di prodotto sono le seguenti:

• (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)
• (a,b) · (c,d) = (ac-bd, ad+bc)

Somma e prodotto verificano le proprietà: commutativa, associativa e distributiva.

FORMA ALGEBRICA DEI NUMERI COMPLESSI

(a,b) = (a,0) + (0,1) · (b,0) = a+ib

i²=-1

Se z=a+ib è un numero complesso, chiameremo complesso coniugato il numero z̅ = a-ib

• (z₁+z₂)̅ = z̅₁ + z̅₂
• (z₁·z₂)̅ = z̅₁ · z̅₂
• (1/z)̅ = 1/z̅
• z·z̅ = (a+ib)(a-ib) = a²+b² ≥ 0
• Modulo di z = a+ib → √(a²+b²)

Per fare il rapporto (a+ib)/(c+id), moltiplicare num e den per c-id:

(a+ib)/(c+id) = [(a+ib)(c-id)] / [(c+id)²]

Formula Trigonometrica

z = ρ [cosθ + i senθ]

ρ = √(a² + b²)

cosθ = a₁ / √(a₂ + b₂)

senθ = b / √(a² + b²)

tgθ = b / a

quindi:

a + ib = ρ [cosθ + i senθ]

Prodotto di 2 numeri complessi

z₁z₂ = ρ₁ρ₂ [cos(θ₁ + θ₂) + i sen (θ₁ + θ₂)]

Divisione di 2 numeri complessi

z₁ / z₂ [cos(θ₁ - θ₂) + i sen (θ₁ - θ₂)]

Potenza di 1 numero complesso

z^m = [ρ [cosθ + i senθ]]^m = ρ^m (cosmθ + i senmθ)

Formula trigonometrica del coniugato

z̅ = ρ [cos(-θ) + i sen(-θ)]

SPAZIO VETTORIALE

Abbiamo visto che i vettori nel piano e nello spazio si possono identificare con coppie o terne ordinate di numeri reali.

Una volta fatta questa identificazione, è possibile eseguire le 2 operazioni fondamentali:

• Somma +
• Moltiplicazione per uno scalare

(x₁, x₂) + (y₁, y₂) = (x₁ + y₁, x₂ + y₂)

λ(x₁, x₂) = (λx₁, λx₂)

Quindi lo spazio vettoriale è un insieme di oggetti qualsiasi cui qual ho definito 2 operazioni.

Lo spazio R^m

R^m = insieme di tutte le m-uple ordinate di numeri reali.

R^m = {(x₁, x₂, ..., x_m): x_i ∈ R}

Teorema: V è uno spazio vettoriale ⟺ ho 2 operazioni (+, •) e V risulta chiuso rispetto alle combinazioni dei suoi elementi.

N.B. Chiamiamo vettore ogni elemento dello spazio vettoriale.

∀u₁, u₂ ∈ V ⇒ αu₁ + βu₂ ∈ V

Spazi vettoriali astratti (R^m > 3)

Si dice spazio vettoriale su un campo numerico K (R o C) un insieme V di elementi a priori generici, per i quali sono definite:

• Un'operazione di somma (che associa ad ogni coppia di elementi di V un altro elemento di V)
• Un'operazione di prodotto (" " ")

Sottomatrice

Data una matrice, posso estrarre una sottomatrice (cancellando righe o colonne):

è estratta dalla precedente.

Indico con A_ij la sottomatrice che ottengo con l'i-esima riga e la j-esima colonna.

Per esempio:

A₁₂ = 3

3e devo vettori l.d.l.

Determinante di una matrice

Il determinante di una matrice quadrata è un numero che caratterizza la matrice (metodo martirio, un numero imparante).

Pre-requisiti

Data una matrice quadrata m×m

Si chiama complemento algebrico (o cofattore) di a_ij il determinante di A_ij, ovvero,

A_ij = (-1)^i+j M_ij = (-1)^i+j det A_ij

Notiamo che:

• (-1)^i+j = 1 se i+j è pari
• (-1)^i+j = -1 se i+j è dispari

Per esempio consideriamo l'elemento a₁₃ = -1, si ha:

M₁₃ = 18

A₁₃ = (-1)¹⁺³ M₁₃ = 18

Teorema di Cramer

Dato il sistema di m equazioni in m incognite Ax=b non singolare (det A ≠ 0) allora il sistema ha un'unica soluzione e vale x=A^-1b.

Esempio:

2x + y = 6 -x + 2y = 1

A = [ ]_{2 1} [ ]_{-1 2}

b = [ ]₆ [ ]₁

x = [X] [Y]

Teorema di Rouche-Capelli

Dato il sistema Ax=b costituito da m equazioni lineari e da m incognite, il sistema ha almeno una soluzione (cioè è possibile e non impossibile) se e solo se r(A) = r(A|b).

Se un sistema è compatibile, m - r parametri

m - r: variabili senza pivot (usati come parametri)

• Se r(A) < r(A|b) → ∅ soluz.
• Se r(A) = r(A|b) = m → 1 soluz.
• Se r(A) = r(A|b) < r → ∞ soluzioni che dipendono da m-r param.

Proprietà autovettori e autovalori

• Se u e v sono autovettori dell’automorfismo A₀ allora μu + νv è autovettore di A₀.
• Se u è autovettore di A₀ allora t_Au è autovettore di A₀.

Quindi 1 + 2.

L’insieme degli autovettori di uno stesso autovalore è uno sottospazio vettoriale di R^m.

Autospazio: l'insieme degli autovettori di un certo λ₀ e l’origine.

Molteplicità geometrica dell’autovalore: la dimensione dell’autospazio associato m_g = m - r(A-λI)

Molteplicità algebrica: n_i volte con cui l’autovalore appare come radice dell’reo caratteristica.

Autovalore semplice = molt. algebrica 1

Autovalore regolare se molt. algebrica = molt. geometrica.

1 ≤ molt. geom di λ₀ ≤ molt. algebr di λ₀ quindi: ogni autovalore semplice è regolare.

Autovettori relativi ad autovalori diversi sono l.i.

Esempio

Diagonallizzare le matrici usando matrici di passaggi ortogonali

A= ^{[4 2 1]} _{[2 0 0]} ^{[1 0 0]}

A è simmetrica:

• - Autovalori reali
• - Tutti autovettori sono reali
• - Autosp relativi a autoval propri solo ortogonali

(A-λI)= ^{[4-λ 2 1]} _{[2 -λ 0]} ^{[1 0 -λ]}

λ₁ = 0

λ₂ = -1

λ₃ = 5

λ=0

(A-λI) = ^{[4 2 1]} _{[2 0 0]} ^{[1 0 0]}

v=2 mgr=1

1. 4x + 2y + z = 0
2. 2x = 0

^[0] _[1] ^[-2] ⟶ ^[0] _[1/√5] ^[-2/√5] Autovett. rappres. ^[0] _[y] ^[-2y]

λ=-1

(A-λI) = ^{[5 2 1]} _{[2 1 0]} ^{[1 0 1]}

r=2 mgr=1

1. x = -z
2. 2x = -y

^[-1] _[-2] ^[-1] ⟶ ^[1/√6] _[-2/√6] ^{[-1/√6] [x]} _[-2x] ^[-x]

λ=5

(A-λI) = ^{[-1 2 1]} _{[2 -5 0]} ^{[1 0 -5]}

r=2 mgr=1

1. x = 5z
2. y = 2z

^[5] _[2] ^[1] ⟶ ^[5/√30] _[2/√30] ^{[√1/30] [5z]} _[2z] ^[z]