Teoria base Analisi 1 e Algebra lineare

FORMULE E CONCETTI BASE ANALISI I

NUMERI COMPLESSI

Ci sono ragioni che ci spingono ad ampliare il campo algebrico e cioè a risolvere l'equazioni x²+1=0

L'operazione di somma e di prodotto sono le seguenti:

• (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)
• (a,b) · (c,d) = (ac-bd, ad+bc)

Somma e prodotto verificano le proprietà: commutativa, associativa e distributiva.

FORMA ALGEBRICA DEI NUMERI COMPLESSI

(a,b) = (a,0) + (0,1) · (b,0) = a+ib

i² = -1

Se z = a+ib è un numero complesso, chiameremo complesso coniugato il numero z = a-ib

√(z₁ + z₂) = √z₁ + √z₂

(√z₁√z₂) = z₁ √z₂

(¹/_z) = ¹/z

z · z = (a+ib)(a-ib) = a²+b²≥0 _(modulo)

Modulo di z = a+ib → √(a²+b²).

Per fare il rapporto (^a+ib/_c+id) moltiplichiamo num e den per c-id:

^a+ib/_c+id = ^(a+ib)(c-id)/_(c+id)²

FORMULE E CONCETTI BASE ANALISI I

NUMERI COMPLESSI

Ci sono ragioni che ci spingono ad ampliare il campo algebrico e cioè di risolvere l'eq x²+1=0.

L'operazione di somma e di prodotto sono le seguenti:

{ (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)

(a,b) • (c,d) = (ac-bd, ad+bc)

Somma e prodotto verificano le proprietà: commutativa, associativa e distributiva.

FORMA ALGEBRICA DEI NUMERI COMPLESSI

(a,b) = (a,0) + (0,1) • (b,0) = a+ib

i² = -1

Se z = a+ib è un numero complesso, chiameremo complesso coniugato il numero z-a-ib

(z₁+z₂) = z̅₁ + z̅₂

(z₁•z₂) = z̅₁•z̅₂

(1/z) = 1/ z̅

z• z̅ = (a+ib)(a-ib) = a²+b² ≥ 0 (Modulo)

Modulo di z = a+ib → √(a²+b²).

Per fare il rapporto (a+ib)/(c+id) moltiplichiamo num e den per c-id:

(a+ib)/(c+id) = [(a+ib)(c-id)]/(c+id)²

Formula Trigonometrica

z = [cos + i sen]

= √(a² + b²)

cos = ^a/_{√(a² + b²)}

sen = ^b/_{√(a² + b²)}

tg = ^b/_a

a = ·cos

b = ·sen

Quindi:

a + ib = (cos + i sen)

Prodotto di 2 Numeri Complessi

z₁·z₂ = ₁·₂ [cos(₁ + ₂) + i sen(₁ + ₂)]

1ª Formula di De Moivre

Divisione di 2 Numeri Complessi

^z₁/_z₂ = [cos(₁ - ₂) + i sen(₁ - ₂)]

2ª Formula di De Moivre

Potenza di 1 Numero Complesso

zᵐ = [ (cos + i sen)]ᵐ = ᵐ (cosm + i senm)

3ª Formula di De Moivre

Formula Trigonometrica del Coniugato:

z̅ = [cos(-) + i sen(-)]

Radici m-esime

\( \rho_m = \sqrt[m]{\rho} \)

\( m\theta = \varphi + \frac{2k\pi}{m} \)   \( k = 0,1,\ldots,m-1 \)

Forma esponenziale

\( Z = \rho (\cos \theta + i \sin \theta) \rightarrow \rho e^{i\theta} \)

\( \bar{Z} = \beta (\cos(-\theta) + i \sin (-\theta)) \)

\( Z^m = \rho_m^m (\cos m\theta + i \sin m \theta) = \rho^m e^{im\theta} \)

Vettori nel piano e nello spazio

Il concetto di vettore può essere introdotto a vari livelli di astrazione. In questa sezione ci occuperemo di vettori nel piano e nello spazio.

Un vettore (nel piano o nello spazio) è individuato assegnando:

• un numero reale non negativo che esprime lung, modulo o intensità
• una direzione (individuata da una retta)
• un verso

Vettori nel piano

I vettori nel piano (\( \mathbb{R}^2 \)) non sono altro che vettori che individuano un punto/posizione.

Infatti, in questo modo è possibile identificare il punto di coordinate A=(x,y) con il vettore posizione \(\vec{OA}\).

Possiamo dunque scrivere \(\vec{v} = (x,y)\) invece di \(\vec{v} = \vec{OA}\)

x,y sono detti componenti scalari di \(\vec{v}\). Si noti che:

\(|\vec{v}| = \text{lung di } \overrightarrow{OA} = \sqrt{x^2+y^2}\)

Vettori nello spazio

Lo spazio (nuovo sistema di riferimento cartesiano) si può identificare con l'insieme R³ delle terne ordinate (x,y,z) di numeri reali.

I versori î (1,0,0), ĵ (0,1,0), k̂ (0,0,1) sono versori mutamente ortogonali diretti nel verso posi