Riassunto Teoria Analisi II

Teoria Analisi II

1) Integrali Doppi:

• Formula per insieme verticalmente connesso:

\[\int_{x_0}^{x_1}\int_{f_1(x)}^{f_2(x)} f dx dy = \int_{y_0}^{y_1} \int_{g_1(y)}^{g_2(y)} f dy dx\]

• Formula per insieme orizzontalmente connesso:

\[\int_{y_0}^{y_1}\int_{g_1(y)}^{g_2(y)} f dy dx = \int_{x_0}^{x_1}\int_{f_1(x)}^{f_2(x)} f dx dy\]

• Formula per il cambio di variabili:

\[\int\int D f(x,y) dx dy = \int\int D f(\phi(u,v)) \det J(\phi(u,v)) du dv\]

Le coordinate polari:

x = ρ cos θ

y = ρ sin θ

\[\det J = \rho\]

Le coordinate ellittiche:

x = a ρ cos θ

y = b ρ sin θ

\[\det J = abρ\]

Nota bene:

Nel caso delle coordinate ellittiche, essendo l'eq. \[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\], una volta fatto il cambio di variabile ρ varia da 0 a 1.

• Formula per il calcolo del baricentro:

Il baricentro (centro di massa, com studiato in fisica), la somma delle distanze dei punti pesati dalla massa totale.

→ Massa Totale: \[M = \int\int_D ρ(x,y) dx dy\]

con ρ(x,y) = densità

\[x^* = \frac{1}{m} \int\int_D x ρ(x,y) dx dy\]

\[y^* = \frac{1}{m} \int\int_D y ρ(x,y) dx dy\]

In particolare, se la densità è costante, m = ∫∫ dx dy, cioè l'area di Ω.

• Formula per il calcolo del momento d'inerzia rispetto all'origine:

I₀ = I_x + I_y = ∫∫ (x² + y²) μ(x,y) dx dy = ∫∫ (d₀²) μ(x,y) dx dy

con d₀² la distanza al quadrato dell'origine di un punto (x,y).

• Formula per il calcolo dell'inerzia rispetto ad una retta qualunque:

I = ∫∫ d_l² ρ(x,y) dx dy

con d_l distanza fra due punti

d_l² = (x - x_P)² + (y - y_P)² P(x,y)

• Formula per il calcolo dell'area:

Area(Ω) = ∫∫_Ω 1 dx dy

2) INTEGRALI TRIPLI:

• Formula di integrazione per FILI:

Dato un insieme convesso o semplice rispetto a z, posso usare l'integrazione per fili come:

Ω è semplice se z è compreso fra due superfici

• Formula di integrazione per STRATI:

Data una funzione f(x,y,z) con z ∈ [α, β], posso usare l'integrazione per strati nel seguente modo:

3) Calcolo dell'integrale di linea:

₁∫₂ 9t² - 12t + 12 dt = [9t³/3 - 12t²/2 + 12t]₁² =

= [9/4 · 2⁴ - 4t³ + 6t]₁² = 9·⁵/₄

• Integrali curvilinei di II specie o di linea:

∬_γ f · ds = ∫_a^b f(γ(t)) · γ'(t) dt

con T = versore tangente alla curva

b) Questo integrale è definito anche come integrale di lavoro, poiché esprime il lavoro fatto da un campo vettoriale F per muovere un punto lungo una curva.

4) INTEGRALI SUPERFICIALI:

• Integrale superficiale di II specie:

∬_Σ g dσ = ∫_E g(σ(u,v)) ‖N(u,v)‖ du dv

Con σ(u,v) una mappatura che va da R²→R³

• N(u,v) = det ∂σ ∂σ ∂u ∂v ∂σ ∂σ ∂v ∂u

= ∂σ∂σ/∂u ∂v =

Lo avrò calcolato il versore tangente rispetto ad u e v, poi faccio il loro prodotto vettoriale. N sarà la radicata è il versore normale alla superficie nel punto generico della superficie.

• ‖N‖ = la norma del versore normale, cioè la somma dei quadrati dei componenti;

• Area di una superficie:

∬_Σ dσ = ∬_E ‖N‖ du dv

∫∫∫_E sin(θ) (1 + β²) - 1 |p| dp dq dΦ = [-π, π ].

x = ρ cos α

y = ρ sin α

det J = ρ

∫₀^2β m ∫^π_3/2 F·γ = π

→ le Th di STOKES posso usare per calcolare il flusso del rotore: ∫_Σ f·dp = ∫_Σ rot(F)·n questo sarebbe il flusso

Esempio:

1. F(x,y,z) = (x + 2t, X²/e₄, z²) e Σ = {(x,y,z)∈R³, x + t²/4, y = 0}

   → Calcolare la circonferenza signifiga fare un integrale di linea.

   y = 0

   x² ≤ z ≤ 4

   • Devo parametrizzare: x = x, z = z

     γ (θ) = (z cos θ, z sen θ) e y = 0

     ∫_γ F(p)·dṙ(t) = ∫_γ [(x cos θ + cos θ, t cos θ * 1/4, z²|) - (cos θ, 3/4, z)]·(2 sin θ, 0, 2 cos θ)

     = -8∫ (7 cos + t) - 2(⋅ + 1/(e*4))

     = -8π ← questo è la circonferenza che riguarda il flusso del rotore

   • Data Σ = {(x,y,z)∈R³: 0 ≤ x + 1/(4√2), 1/(4) ≤ z ≤ (1/2)} e

     F(x,y,z) = (e_x + t⁴y²(2y + 3z(t)1̸/x)

     Se devo calcolare il rotore mi troverò con una funzione troppo complicata, dunque per calcolare il flusso del rotore uso Stokes.

     • Parametrizzo le curve lungo un piro la circunferenza: z = 0

       z = 1, √z² + y₁ = 1/4, x + z + 1

       z² +y = 9

       γ₁(t) = (-cos 0, sinθ, 0)

       γ₂(t) = (3cos t, 3sinθ, 1/2t)

       Applica il Th:

       ∫ F(γ₁(t))·ṙ(t) dt = ∫[0,0,0,0]·[-πx, cos 0, 0] dt = 0

       · ∫ F(γ₂(t)·ṙ^t)∈

4) Criterio del rapporto:

Data la serie a_n, se ^lim_n→∞ (a_n+1/a_n) = l, allora:

• i) l < 1 → serie converge
• ii) l > 1 → serie diverge
• iii) l = 1 → non dice nulla e devo usare un altro criterio

5)

^∑_n=1 a_n = ∑^{m=1 3m+1}/_3m

^lim_n→∞ (a_n+1/a_n) = (3m+3)(3m+2)(3m+1) · (3m)! · (m+1)!

= l = 1/6 < 1 → converge

5) Criterio integrale o di McLaurin:

• f(x) : [k,+∞) → ℝ
• f continua e decrescente
• f(x) ≥ 0
• Data x = f(x) → la serie è la discretizzazione di f(x)

^∑_k=k+1 a_k ≈ ∫_k+1 f(x) dx ≈ ^∑_k=k0 a_k

6) Criterio di convergenza assoluta:

Sia data una serie a_n, se converge ^∑_n=0 |a_n| allora anche a_n converge.

Esempio:

a_n = (-1)ⁿ/^k2

a_n = 1/n² → converge

→ anche la prima serie converge.

7) Criterio di Leibniz per serie a segno alterno:

Dato la serie a segno alterno ^∑_n=0 (-1)ⁿ a_n, la serie converge se: