Analisi I (teoria completa)

Insiemistica

lunedì 3 ottobre 2016 15:45

Definizioni

la nozione di insieme è generalmente assunta come primitiva ( cioè non riducibile a concetti più elementari).

Un insieme è determinato dai suoi elementi, nel senso che un insieme è definito quando abbiamo un criterio con cui

stabilire se un dato oggetto è o non è elemento di questo insieme. Invece di dire "il tale oggetto è un elemento del tale

insieme" si dice anche che quell'elemento appartiene all'insieme.

Simboli

Per indicare gli insiemi si usano solitamente lettere maiuscole, come

Per indicare gli elementi di un insieme si usano solitamente lettere minuscole , e per indicare che un

elemento x appartiene all'insieme A scriviamo

Come si indica un insieme

Un insieme si indica attraverso la tabulazione:

Ciò che determina un insieme è sapere quali elementi appartengono o meno ad esso, e nient'altro.

Quindi non è importante:

Ordine

- Molteplicità

-

Relazioni

Uguaglianza

A = B

"Ogni elemento che appartiene ad A appartiene anche a B e ogni elemento che appartiene a B appartiene anche ad A".

Formalmente: e

Inclusione

pio, se sappiamo solo che ogni elemento di A è anche elemento di B, potremo dire che A è contenuto in B. Si scrive:

( e si legge "A è contenuto in B") per indicare che

Per quanto detto, quindi, dire che A = B equivale a dire che " " e " ".

Esiste anche l'inclusione stretta in cui A non può essere uguale a B. si indica con ed equivale ad affermare che:

Operazioni sugli insiemi

Le principali operazioni tra insiemi sono:

• l'unione di due insiemi A e B: si indica con

ed è l'insieme formato da tutti gli elementi di A e B presi una sola volta;

Proprietà:

Commutativa:

- Associativa:

- Idempotenza:

-

• l'intersezione di due insiemi A e B: si indica con

ed è data dall'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono sia all'insieme A che all'insieme B

contemporaneamente; Analisi I Pagina 1

contemporaneamente; Proprietà:

Commutativa:

- Associativa:

- Idempotenza:

- Dristributiva:

-

• la differenza tra B e A si indica con

ed è data dall'insieme formato dai soli elementi di B che non appartengono ad A.

viene anche detto insieme complementare di A in B;

• il prodotto cartesiano di due insiemi A e B è l'insieme di tutte le possibili coppie ordinate

con

Un esempio pratico risulta essere o che rappresentano rispettivamente il piano cartesiano e lo spazio

cartesiano

Complementarietà: è tutto ciò che non appartiene ad A ma ad un sistema universo X

• X A

Leggi di De Morgan

Insiemi Numerici Alcuni insiemi, detti numerici, hanno un ruolo

particolarmente importante e pervasivo in tutte le

branche della matematica:

• L'insieme dei numeri naturali

• L'insieme dei numeri interi

• L'insieme dei numeri razionali

• L'insieme dei numeri reali (razionali e

irrazionali)

• L'insieme dei numeri complessi

Analisi I Pagina 2

Logica

lunedì 3 ottobre 2016 16:40

Definizioni

In logica un predicato è una frase la cui verità dipende dal valore all'interno

Un enunciato è una frase che è sempre vero o sempre falsa dipendentemente dal quantificatore

Implicazione universale

È un tipo di enunciato estremamente importante dato che è la struttura di tutti i teoremi ed è del

seguente tipo:

Dove: A è un insieme

- p(n) è l'ipotesi

- q(n) è la tesi

-

Dimostrazione per assurdo

È estremamente utile in quanto negando la tesi, e dimostrando che la negazione p un assurdo, è

possibile dimostrare che la tesi è vera

Esempio:

Tesi: è irrazionale ,

Negazione della tesi: è razionale dove è una frazione già ridotta ai minimi termini

Sviluppo:

Se sia n che m sono pari, allora la frazione è ancora semplificabile MA si entrerebbe in un ciclo infinito e era

già semplificata

Così si dimostra che la tesi negata è F e di conseguenza la tesi che è irrazionale risulta V

Analisi I Pagina 3

Principio di Induzione

martedì 4 ottobre 2016 10:36

L'induzione è un semplice metodo per poter dimostrare alcuni enunciati del tipo:

Si basa fondamentalmente su due passaggi

1. Verificare che l'enunciato è vero per

2. Considerando p(n) vero, verificare che p(n+1) sia corretto

Disuguaglianza di Bernoulli

1)

2)

NB: va tenuto sempre lo stesso versi di

Binomio di Newton Analisi I Pagina 4

Analisi I Pagina 5

Campo

martedì 4 ottobre 2016 11:39

Un insieme è un campo quando soddisfa le seguenti proprietà:

1.

2.

Inoltre se un insieme soddisfa anche i requisisti della relazione d'ordine totale è detto campo

essi

ordinato. Introducendo la relazione d'ordine sono:

1. Proprietà riflessiva:

2. Proprietà antisimmetrica:

3. Proprietà transitiva:

Insiemi densi

In matematica, un sottoinsieme di uno spazio topologico è denso nello spazio topologico se ogni

elemento dello spazio appartiene all'insieme o ne è un punto di accumulazione.

Nel caso di un insieme di numeri reali, ad esempio, per ogni coppia di numeri distinti vi è sempre un

elemento dell'insieme compreso tra i due. I numeri razionali e i numeri irrazionali sono due insiemi

densi, mentre i numeri interi non lo sono. Analisi I Pagina 6

Gli insiemi numerici

mercoledì 5 ottobre 2016 18:57

Per poter definire gli insiemi numerici è prima necessario definire cosa si intende per estremo

superiore, inferiore, massimo e minimo.

Limiti superiori ed inferiori

Si consideri l'insieme completamente ordinato X ed un sottoinsieme E

E è limitato superiormente se:

È limitato inferiormente se

Combinandoli:

Ogni M è detto maggiorante mentre ogni m è detto minorante. Il piò piccolo maggiorante è

l'estremo superiore di E mentre il più grande minorante è l'estremo inferiore di E .

Nel caso in cui sono detti rispettivamente massimi e minimi.

Proprietà dell'estremo superiore

Un insieme X totalmente ordinato gode della proprietà dell'estremo superiore nel caso in cui

contenga il di un qualunque sottoinsieme , che non sia vuoto e che sia limitato

superiormente. .

Questa proprietà non è valida nell'insieme (si consideri ad esempio ) ma è valida nell'isieme

Definizione assiomatica di

È da ciò che deriva la definizione assiomatica di

È un campo ordinato

- Gode della proprietò dell'estremo superiore

- Copre tutti i punti della retta

è l'unico insieme con la proprietà dell'estremo superiore (detto anche assioma di continuità, di

completezza o di Dedering) e che quindi è adeguato a coprire tutti i punti della retta.

Sia { A, B} una partizione di ( cioè A e B sono .insiemi non vuoti e disgiunti la cui unione è ); essa

a A b B

si chiama sezione se: e risulta a, < b. Allora si dimostra che:

Per ogni sezione { A, B} di esiste un unico numero reale s ( detto elemento separatore) tale che:

Analisi I Pagina 7

Cardinalità

mercoledì 5 ottobre 2016 19:28

La cardinalità è il numero di elementi in un isnieme e può essere finito o

infinito.

Gli insiemi numerici hanno cardinalità infinita. Essa però può essere

∞,

confontata. Infatti, con cardinalità due insiemi hanno la stessa potenza

solo se è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra i due.

e 0 1 2 3 4 … 2n-1 2n

0 1 -1 2 -2 … n -n

È possibile quindi stabilire una corrispondenza biunivoca tra i due insiemi.

e In questo modo è possibile scrivere tutte le

potenze dell'insieme

m+n=2

m+n=3

m+n=4 0 1 2 3 4 …

0 1 -1 …

Nonostante non sia possibile stabilire una relazione precisa come nel caso

dell'insieme è chiaro che anche con l'insieme è possibile stabilire una

corrispondenza biunivoca con l'insieme

Quindi anche è un infinito numerabile.

e

La tecnica di questa dimostrazione prende il nome di procedimento diagonale

di Cantor ed è un'idea semplice ma profonda che si utilizza in varie parti della

matematica.

Proveremo, per l'esattezza, che l'intervallo [0, 1] ha una cardinalità non

numerabile, da cui seguirà, a maggior ragione, la non numerabilità di .

Supponiamo dunque per assurdo che [0, I ] sia numerabile e disponiamo tutti

i numeri reali dell'intervallo [0, 1] in un elenco.

0 0, …

1 0, …

2 0, …

3 0, …

Analisi I Pagina 8

3 0, …

Se però si prova ad inserire un numero

Con al posto delle cifre sulla diagonale si otterrà

sempre un nuovo numero.

È per questo che non è possibile fissare una posizione rispetto ad poiché

esisterò sempre un ulteriore numero r in grado di modificarla.

1. L'intervallo[0,1] ha quindi la "potenza del continuo". L'intervallo [0,1]

può essere messo in corrispondenza biunivoca non e ciò è

dimostrabile attraverso un metodo geometrico:

2. Si consideri la retta di tutti i numeri reali e il segmento AB che

rappresenta l'intervallo [0,1] che la interseca ortogonalmente

3. Si considerino i punti e rispettivamente a sinistra e a destra di A e

di B

4. Si traccino tutte le rette che congiungono i punti p e la retta

5. Le coppie di intersezione delle rette con il segmento AB e la retta che

rappresenta rappresenta la corrispondenza biunivoca tra i due

sistemi.

L'insieme ha quindi la potenza del continuo.

Quindi

Numerabili Potenza del continuo

Analisi I Pagina 9

Successioni

lunedì 10 ottobre 2016 11:15

Le successioni sono relazioni che associano ad ogni

Limiti superiori ed inferiori

Limite inferiore Limite superiore

Combinandoli:

Carattere

Il carattere di una successione dipende dalla sua convergenza o divergenza. Esistono anche successioni che non

convergono né divergono: esse sono dette irregolari o indefinite.

Convergenti Divergenti Irregolari

Se una successione converge a 0 è detta infinitesimo

Se una successione converge a è detta infinito

Monotonia

Una funzione è monotona crescente (o non decrescente) se ogni

monotona strettamente crescente se ogni

Una funzione è monotona decrescente (o non crescente) se ogni

monotona strettamente decrescente se ogni

Teorema della monotonia

Hp.

Th.

Dim.

1. Se la successione è limitata superiormente allora: Con

Analisi I Pagina 10 Con

2. Si possono effettuare due considerazioni spezzando in e

è sempre verificata dal mo