Analisi I (teoria completa)

GENERALE)

Per trovare una particolare soluzione (INTEGRALE PARTICOLARE) è necessario imporre un'ulteriore

condizione.

Problema di Cauchy

Si impone la condizione: y(t )=y

0 0

Si risolve il sistema:

Metodi di risoluzione

Equazioni differenziali a variabili separabili

Si cercano:

1. Soluzioni costanti: ovvero gli y: b(y)=0, in questo modo l'equazione differenziale è soddisfatta-

Si considera che e di conseguenza . Risolvendo si otterrà

2. un'equazione del tipo:

Equazioni differenziali lineari

Sono le equazioni del tipo:

La formula risolutiva è la seguente

Si ottengono, a causa della costante k, soluzioni.

Analisi I Pagina 37

Vettori

domenica 18 dicembre 2016 19:18

Un vettore è un'entità caratterizzata da:

▪ Modulo (numero )

▪ Direzione (retta su cui agisce il vettore - 2 rette parallele indicano la stessa direzione)

▪ Verso (di percorrenza sulla retta)

Da ciò si deduce che non è importante il punto di applicazione.

Somma

Geometricamente consiste nell'applicazione di un vettore dopo l'altro. SI può applicare il metodo punta-coda o il

metodo del parallelogramma.

Proprietà: Commutativa

- Associativa

- Elemento neutro

-

Da un punto di vista algebrico si calcola sommando le proiezioni dei vettori sugli assi e poi ricavare la risultante a partire

dal teorema di pitagora (anche nello spazio )

Differenza

Consiste nella somma del primo con l'opposto del secondo:

Stesse proprietà della somma.

Moltiplicazione vettore per uno scalare

Moltiplicando un vettore per uno scalare la risultante ha la stessa direzione, lo stesso verso (a meno che k<0) e modulo

Proprietà:

1.

2. Associativa s(t

3. Distributiva

Versori

Associato ad ogni vettore vi è un versore (qualsiasi vettore di modulo unitario - normalizzazione)

Versori fondamentali:

I versori fondamentali sono:

-

-

-

Combinazione lineare

Considerati

La loro combinazione lineare è Analisi I Pagina 38

Dipendenza e indipendenza lineare

Presi dei vettori essi sono linearmente dipendenti se è possibile scriverne uno di essi come combinazione lineare degli

altri. Quindi se esistono dei coefficienti in grado di rendere =0,

Altrimenti sono linearmente indipendenti (anche se dato che varrebbe per ogni k vettori).

Piano e Spazio

La combinazione lineare di due vettori linearmente indipendenti da necessariamente un altro vettore appartentente al

piano in cui giacciono.

Allo stesso modo la combinazione lineare di due vettori linearmente indipendenti da necessariamente un altro vettore

appartenete allo spazio in cui si trovano.

Quindi:

Prodotto Scalare

Il prodotto scalare consiste nella moltiplicazione di due vettori con un numero puro come risultato.

Proprietà:

1. Commmutativa

2. Distributiva

3.

4.

Calcolo:

1. . r e

2.

Dato che, come si può osservare, solo

Prodotto Vettoriale

Il prodotto vettoriale tra due vettori dà come risultato un vettore caratterizzato da:

• Modulo:

• Direzione: perpendicolare al piano

• Verso: si applica la regola della mano destra

Da un punto di vista grafico, il modulo rappresenta l'area del parallelogramma definito dai due vettori:

Proprietà:

1. Anticommutativa

2. Distributiva

3.

4. Analisi I Pagina 39

Prodotto Misto

Il prodotto misto equivale, da un punto di vista geometrico, al volume del parallelepipedo generato da 3 vettori. Da un

punto di vista algebrico, invece consiste nell'applicazione di prodotto scalare e vettoriale.

Da un punto di vista grafico il modulo rappresenta l'area del parallelepipedo descritto dai 3 vettori moltiplicati:

(l'angolo alfa è poiché l'asse marrone è la direzione e il verso del

vettore )

Quindi

Analisi I Pagina 40

Retta

martedì 20 dicembre 2016 10:19

Una retta può essere definita con:

1. Un punto e un vettore

Ogni punto della retta consiste in un vettore proporzionale a applicato a partire da P .

0

Quindi:

Inoltre anche se cambiano le coordinate di partenza (purchè il nuovo punto sia appartenete

alla retta) si descrive la stessa retta

2. Intersezione di due piani

L'intersezione di due piani risulta in una retta. I due piani possono essere ricavati a partire

dall'equazione parametrica della retta stessa

Infiniti piani possono descrivere la stessa retta facendoli ruotare attorno alla retta stessa.

3. 2 punti

Dati due punti si può individuare il vettore

La retta è quindi:

Nel caso in cui Analisi I Pagina 41

Piano

mercoledì 28 dicembre 2016 18:41

Un piano può essere definito a partire da:

1. Un punto e un vettore perpendicolare al piano

Detto P un qualsiasi punto del piano il vettore

Per come si è costruito il vettore

Chiamata d la somma dei valori noti il piano ha equazione

… Se

d=0 Passa per O

c=0 // z sono le intersezioni con gli assi

b=0 // y

a=0 // x

2. Tre punti

È sufficiente risolvere il sistema a 3 equazioni in 4 incognite (i parametri

direttori) in cui si sostituisce all'equazione del piano i valori in x, y, z per ogni

punto. Dato che i parametri direttori sono definiti a meno di una costante è

possibile sostituire ad uno di essi un valore per poter risolvere il sistema.

3. Due rette incidenti

È necessario calcolare il punto P, intersezione delle 2 rette. Successivamente è

possibile individuare altri due punti appartenenti alle rette e si ricade nel caso 2.

Analisi I Pagina 42

Distanze

lunedì 9 gennaio 2017 16:58

Distanza punto-piano

Sia dato un punto e un piano definito dal vettore e dal punto

.

È possibile definire il vettore

Detto P la proiezione di P sul piano, P P (che per

2 1 1 2

costruzione si trova sulla direzione del vettore ) è la

distanza punto-piano. Questa può essere vista come la

proiezione del segmento P P sul piano. Dato che la

0 1

Proiezione consiste nel prodotto scalare

Distanza punto-retta

Si scrive il piano perpendicolare alla retta

e si trova l'intersezione tra la retta e il piano.

La distanza tra la retta e il punto P diventa PQ calcolabile con Pitagora.

Distanza retta-piano (la retta dev'essere // al piano)

Si trova la retta s perpendicolare al piano e passante per r. Si utilizza il punto della retta r

P:( ) e i parametri direttori perpendicolari al piano.

Si trova un punto Q intersezione di s e

Si ricorre alla distanza tra punti PQ

Distanza tra piano (// tra loro)

Si costruisce la retta perpendicolare ad entrambi i piani.

Si trovano i punti di intersezione e si ricorre alla distanza punto-punto.

Distanza tra due rette Analisi I Pagina 43

Parallele

Si costruisce il piano perpendicolare ad entrambe le rette

Si trovano le intersezioni del piano con r ed r e si ricorre alla distanza tra punti.

0 1

Sghembe

Si costruiscono due piani paralleli su cui giacciono le due rette.

Si trovano

Si ottiene Analisi I Pagina 44

Spazi Vettoriali

lunedì 9 gennaio 2017 17:41

Uno spazio vettoriale su un campo è un insieme di elementi per cui sono definite:

Somma (operazione che a partire da due elementi di associa uno e un solo elementi di )

- Prodotto (operazione che a un elemento di e un numero associa uno e un solo elementi di )

- .

In particolare risultano utili gli spazi vettoriali Esso è uno spazio vettoriale determinato dall'insieme di

ennuple ordinate di numeri reali.

Sottospazi

Detto uno spazio vettoriale, è uno sottospazio vettoriale se vale la definizione di spazio vettoriale.

.

Qualsiasi è sottospazio di

Combinazione lineare

Nello spazio vettoriale si può parlare di combinazione lineare e di vettori linearmente dipendente e

indipendenti. è .

La combinazione lineare di n vettori .

I vettori sono linearmente dipendenti se la combinazione lineare =0 con almeno un

Base di uno spazio vettoriale

Dato un insieme di elementi la sua base è [

1. Linearmente indipendenti

2. Ogni altro si può scrivere come combinazione lineare della base

Dimensione

Se V ha una base di n vettori qualsiasi altro gruppo di elementi che formano qualsiasi altra base avrà n

vettori. "n" è detta dimensione di uno spazio vettoriale. La dimensione può essere finita o infinita.

Per esprimere data [ allora sono univoci. I coefficienti sono detti componenti scalari di

x rispetto alla base.

La dimensione di un sottospazio è < di quella dello spazio o uguale quando V=V 1

Analisi I Pagina 45

Spazi vettoriali con prodotto scalare

martedì 10 gennaio 2017 18:50

Dati due vettori:

Il loro prodotto scalare è:

Proprietà:

1. Commmutativa

2. Distributiva

3. Associativa

4.

5. Sue vettori si dicono ortogonali se

6. Due vettori si dicono paralleli si

Modulo

Se il modulo è unitario si continua a parlare di versori, si può fare la normalizzazione.

Proprietà

Positività:

1. con

Omogeneità:

2. Disuguaglianza di Cauchy-Swartz:

3. Disuguaglianza triangolare:

4.

Definizione di distanza

La distanza tra due elementi di uno spazio vettoriale

Proprietà

1.

2.

3.

Basi Ortonormali

Presa una base: [

E due vettori

Il loro prodotto scalare è:

Questo prodotto viene estremamente semplificato attraverso l'utilizzo di

una base ortonormale. può essere definito facilmente attraverso

basi ortonormali. Con vettori che compongono la base ortigonale tra di

loro e con modulo unitario (normale).

Infatti: Analisi I Pagina 46

La base canonica rispetta già queste proprietà. In questo modo

Cambiamento di base Analisi I Pagina 47

Curve negli spazi euclidei

mercoledì 11 gennaio 2017 18:29

Si esprimono attraverso . Questa è detta funzione vettoriale. Per ogni valore si associa un vettore di

valori

Le curve si indicano con

Limiti

Il limite è un vettore le cui componenti sono il valore del limite calcolato per ogni comonente di

Se

Se

Continuità

Una funzione continua in un intervallo di t indica un arco di curva.

Esempio (elica cilindrica)

Arco di curva dell'equazione (il disegno)

Tipi di curve

Chiusa

Una curva si chiama chiusa se data , la funzione negli estremi risulta .

Semplice

Non interseca mai se stessa.

Piana

Una curva è piana quando esiste un piano che la contiene completamente

Parametrizzazioni equivalenti

Due curve che hanno lo stesso sostegno nonostante abbiano parametrizzazioni differenti.

Derivata

Dal momento che la derivata si basa sulla definizione di