Teoria Analisi I

Insiemi numerici

N = insieme dei numeri naturali = {0, 1, 2, 3...}

Z = insieme dei numeri relativi = {...-2, -1, 0, 1, 2...}

Q = insieme dei numeri razionali = ^m⁄_n m ∈ Z, n ∈ N, n ≠0

R = insieme dei numeri reali

C = insieme dei numeri complessi

Definizioni e proprietà degli insiemi

Insieme delle parti

Def: Insieme delle parti di X ⇒ P(x)

L'insieme di tutti i sottoinsiemi di X

Esempio: X = {a, b, c}

Numero di elementi = 3

P(k) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, X}

Numero di elementi = 2³ = 8 ⇒ cardinalità dell'insieme

Complementarietà

Se A ≠ X è un sottoinsieme di X, si definisce complementare di A il sottoinsieme costituito da tutti gli elementi di X che non appartengono ad A

Esempio: ℰX = ϕℰϕ = Xℰ(ℰA) = A

Unione

L'insieme degli elementi di X che stanno in A oppure in B

A∪B = {x∈X : x∈A oppure x∈B}

Intersezione

L'insieme degli elementi di X che stanno in A e in B

A∩B = {x∈X : x∈A e x∈B}

Insiemi numerici

N = insieme dei numeri naturali

Z = insieme dei numeri relativi

Q = insieme dei numeri razionali

R = insieme dei numeri reali

C = insieme dei numeri complessi

Definizione: insieme delle parti

Def: Insieme delle parti di X → P(X)

L'insieme di tutti i sottoinsiemi di X

Esempio: X = {a, b, c} Numero di elementi = 3

P(X) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

Numero di elementi = 2³ = 8 → Cardinalità dell'insieme

Complementarietà

Se A è un sottoinsieme di X, si definisce complementare di A il sottoinsieme costituito da tutti gli elementi di X che non appartengono ad A

Esempio: εX = φεφ = Xε(εA) = A

Unione

L'insieme degli elementi di X che stanno in A oppure in B

A ∪ B = {x ∈ X: x ∈ A oppure x ∈ B}

Intersezione

L'insieme degli elementi di X che stanno in A e in B

A ∩ B = {x ∈ X: x ∈ A e x ∈ B}

Differenze

Differenza non simmetrica

Def: Differenza non simmetrica A / B → insieme degli elementi che stanno in A ma non in B

A / B = {x ∈ A : x ∉ B} = A ∩ cB

Differenza simmetrica

Def: Differenza simmetrica A Δ B → unione delle differenze tra i due insiemi

A Δ B = (A / B) ∪ (B / A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B)

Proprietà dei numeri razionali

Prop.: √2 non è un numero razionale

Dim: per assurdo sia √2 = m / n con m, n ∈ ℕ, n ≠ 0 "m, n primi tra loro"

2 = m² / n² ↔ m² = 2n² ↔ m pari ossia: m = 2k ↔ 4k² = 2n² ↔ n² = 2k² ↔ n² = pari

Quindi m, n sono entrambi pari → X

Intervalli e limiti

Intervalli

• Chiuso [a, b] ∈ ℝ {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}
• Aperto ]a, b[ ∈ &reals; {x ∈ &reals; : a < x < b}
• Semi-aperto [a, b[ ∈ &reals; {x ∈ &reals; : a ≤ x < b}
• Semi-chiuso ]a, b] ∈ &reals; {x ∈ &reals; : a < x ≤ b}
• Semi-chiuso [a, +∞) ∈ &reals;
• Aperto ]a, +∞) ∈ &reals;
• Aperto ]-∞, b[ ∈ &reals;
• Aperto ]-∞, 0[ ∈ &reals;

Limiti superiori e inferiori

Def: A ⊆ &reals; A è superiormente limitato ∃ b ∈ &reals; : x ≤ b ∀ x ∈ A

Quindi b è un maggiorante di A ↔ A ⊆ ]-∞, b]

Nota: Ogni b¹ ≤ b maggiorante di A è ancora un maggiorante

Def: A inferiormente limitato ∃ a ∈ &reals; : x ≥ a ∀ x ∈ A

Quindi a è un minorante di A ↔ A ⊆ [a, +∞[

Nota: Ogni a¹ ≥ a minorante di A è ancora un minorante

A è limitato se i sup. inf. finito,
b se ∃ a, b ∈ &reals; ∃ a₀, b ∈ &reals;   a ≤ x ≤ b   ∀ x ∈ A

A ⊆ [a, b]

Massimo e minimo

Def.: A ⊆ &reals; ammette massimo se ∃ x_M ∈ A t.c. x ≤ x_M   ∀ x ∈ A

Ammette minimo se ∃ y_m ∈ A t.c. x ≥ x_m   ∀ x ∈ A

Estremo superiore e inferiore

Def.: A ⊂ &reals; superiormente limitato estremo superiore di A è più piccolo dei maggiori di A non per forza incluso nel dominio

Inferiormente limitato estremo inferiore di A è più grande dei minori di A non per forza incluso nel dominio

Ogni insieme superiormente (inferiormente) limitato ammesso in &reals; estremo superiore (inferiore)

Esempio

A = {x ∈ &Qopf; | x² < 2}   Q ∩ &Ropf; sup A = 2 ∈ &Ropf; (≤¬∈ &Qopf;)

Proprietà delle radici

Prop.: xⁿ = a   n ∈ &Nopf; \ {0}, a ∈ &Ropf; h dispari   x = a^1/n, radice n-esima di a   - x unica