Teoria Analisi I

Insiemi numerici:

N = insieme dei numeri naturali

Z = insieme dei numeri relativi

Q = insieme dei numeri razionali

R = insieme dei numeri reali

C = insieme dei numeri complessi

Def:

insieme delle parti di X ➔ P(x)

l'insieme di tutti i sottoinsiemi di X

Esempio:

X = {a, b, c}

num. elementi = 3

P(X) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, X}

num. elementi = 2³ = 8 ➔ cardinalità dell'insieme

Complementarietà:

se A è un sottoinsieme di X, si definisce complementare di A il sottoinsieme costituito da tutti gli elementi di X che non appartengono ad A.

Esempio:

cX = ∅

c∅ = X

c(cA) = A

Unione:

l'insieme degli elementi di X che stanno in A oppure in B

A ∪ B = {x ∈ X: x ∈ A oppure x ∈ B}

Intersezione:

l'insieme degli elementi di X che stanno in A e in B

A ∩ B = {x ∈ X: x ∈ A e x ∈ B}

Def.: Differenza non simmetrica A\B => insieme degli elementi che stanno in A ma non in B

A\B = {x ∈ X : x ∈ A ∧ x ∉ B} = A ∩ B̅

Def.: Differenza simmetrica AΔB => unione delle differenze tra i 2 insiemi

AΔB = (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B)

Prop.: √2 non è un numero razionale

Dim.: per assurdo sia √2 = m/n con m, n ∈ N, n ≠ 0 m, n primi tra loro = p

2 = m² / n² => m² = 2n² m pari ossia: m = 2k => 4k² = 2n² => n² = 2k² => n pari

Quindi m, n sono entrambi pari => F

Intervalli:

• Chiuso ⟦a, b⟧ x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b
• Aperto ⟠a, b⟡ x ∈ ℝ : a < x < b
• Semi-aperto ⟦a, b⟡ x ∈ ℝ : a ≤ x < b
• Semi-chiuso ⟠a, b⟧ x ∈ ℝ : a < x ≤ b
• Aperto - chiuso ⟠a, +∞⟧ x ∈ ℝ : a < x
• Semi-aperto ⟠a, +∞⟡ x ∈ ℝ : a ≤ x
• Aperto - chiuso ⟠-∞, b⟧ x ∈ ℝ : x ≤ b
• Aperto - chiuso ⟠-∞, b⟡ x ∈ ℝ : x < b

Def.: A ⊆ ℝ A superiormente limitato se ∃b ∈ ℝ : x ≤ b ∀x ∈ A

quindi b = maggiorante di A A⊆ ]−∞, b]

Nota: ogni b’ ≥ b è maggiorante di A e ancora un maggiorante

Def.: A inferiormente limitato se ∃a ∈ ℝ x ∈ A ∀x ∈ A

quindi a = maggiorante di A A ⊆ [a, +∞[

Nota: ogni a’ ≤ a è minorante di A e ancora un minorante

Def.

Sia f una funzione reale e A un sottoinsieme di dom f. Chiamiamo estremo superiore di f su A (o in A) l’estremo superiore dell’immagine di A attraverso f. Poniamo dunque

^sup f(x) = sup f(A) = sup { f(x), x ∈ A }.

Diciamo che f è superiormente limitata su A se l’insieme f(A) è superiormente limitato.

Se sup { f(x), x ∈ dom(f) ed f(x) >0 } all’infinito e dunque su A, allora f è massimo in questo insieme.

NOTA: I concetti di _{estremo sup di f su A}, inf f({A}) influenzano il comportamento a meno che f sia limitata su R il valore massimo di f su A, discendono dalle def. dei sottoinsiemi di R applicati a f(a).

Def.

f : dom f ⊂ X → Y si dice _suriettiva se im f = Y

∀ y₀ ∈ Y, ∃ x ∈ dom f , f(x) = y

Def.

f si dice _iniettiva se f⁻¹(y) = {x} ∀ y ∈ im f

• ∀ x₁, x₂ ∈ dom f
• f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂ oppure
• ∀ x₁, x₂ ∈ dom f
• x₁ = x₂ ⇒ f(x₁) = f(x₂).

Def.

f si dice _biiettiva se è iniettiva e suriettiva

f : x → f(x) xⁿ

f pari dom f = R im f = [0,∞[

f dispari dom f = R im f = R

Def:

g : dom f ⊂ X → Y iniettiva

g : im g = Y → dom f _{FUNZIONE INVERSA}

x = f⁻¹(y) <=> y = f(x)

dom f⁻¹ = im f

im f⁻¹ = dom f

Γ(g⁻¹) = { (y, δ(x₁)) ∈ Y×X : y ∈ dom δ⁻¹}, { (x₁, x) ∈ Y×X : x ∈ dom ψ }

Teorema di permanenza del segno

Sia limite f(x) ≥ 0 con x che tende a x₀ quindi esiste almeno I intorno I(x₀) ∋ I ⊆ dominio f(x) ∋ f(x) ≥ 0.

Dimostrazione

Essendo f(x) positiva, per ε^' (ε `<sub>` 0) quindi esiste I intorno I(x0) ∋ 0 `` I(x) `` f(x) ≥</sub>

1° teorema di confronto

Siano f(x) e g(x) 2 funzioni definite nel loro dominio ∋ I ⊆ dominio f ∩ g, quindi:

• ∀x∈I g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ∀x∈I, allora: SE: lim g(x) ∋ x ``x<sub>0</sub> =
• Allora anche lim f(x) ∋ x `` = 0.
• Allora anche lim g(x) ∋ x ``∞.

2° teorema di confronto (teorema dei 2 carabinieri)

Siano h(x), f(x), g(x) 3 funzioni definite in un intorno di I, allora

• ∀x∈I ∋ h(x) ≤ f(x) ≤ g(x)
• SE: lim h(x) = ε
• Allora lim g(x) = ε

Dimostrazione

Utilizzando la definizione di limite otteniamo che:

• ∀I(ε) ⊆ dominio h(x) ε = I_g(x) ≤ I _g(``)
• quindi: ∀x∈f(x) ∋ I(ε) ⊆ dominio f(x) ∋ f(x)= ε

3log(x-5ⁿ)=(...) x->0

1^x-(2^x)=(...) x->0

Lim x->∞ 2/x

x=0 senx/x

Es:

Lim x->∞ (4x²+x-5x)=x²+x+1-x

=lim x->∞ x²(4+1/x)

-infty x->∞ 2/x=0

NO

è sbagliato usare le relazioni con somme e differenze

Definizione:

f è infinitesimo per x->c se lim f(x)=0

f è infinito per x->c se lim f=∞

Definizione 5.9 Siano f e g infinitesimi di destra o sinistra dell'ordine superiore rispettivamente rispetto di g. Allora, se f e g non sono confrontabili con gli ordini.

{ E.R.(eⁿ.) inf. stesso ordine.

lim f(x)= e.control.

f e g sono ...

lim (fg)=...

Definizione 5.10 Siano f e g infiniti dell'ordine di estremo ordine, rispetto a g.

{ E.R. (eⁿ.) inf. dello stesso ordine...

lim f^x.. lim f=∞ e g=∞

Nota:

lim f/x x->∞

log_x x₂...

Associano a un infinito di ordine superiore al precedente.

Asintoti:

f: (x→∞)=R

lim f(∞)= ±∞

Def. La...) f(x))=m

si dice asintoto destro se... si muove da sinistra destra asint. obliquo

Prop.:

f: (x→∞)

1/x...f=

Nota: