Teoria analisi 1

ANALISI I

SOMMATORIE

ⁿ_i=1 a_i = a₁ + a₂ + ... + a_n

PROPRIETÀ:

1. ⁿ_k=1 (c ⋅ a_k) = c ⋅ ⁿ_k=1 a_k ; ⁿ_k=1 c = c ⋅ n
2. ⁿ_k=1 a_k + ⁿ_k=1 b_k = ⁿ_k=1 (a_k + b_k)
3. ^n+m_k=1 a_k = ⁿ_k=1 a_k + ^n+m_k=n+1 a_k
4. ⁿ_k=1 a_k = ^n+m_k=1+m a_k-m
5. ⁿ_k=1 a_k = ⁿ_k=0 a_n-k+1 = ⁿ_k=0 a_n-k

PROGRESSIONE GEOMETRICA:

ⁿ_k=0 q^k = ^{1 - qn+1}/_{1 - q}

FATTORIALE:

n! = n · (n-1) · ... · 3 · 2 · 1

PROPRIETÀ FATTORIALE

ⁿC_k = ⁿC_n-k ; ⁿC_k = ^n-1C_k-1 + ^n-1C_k ; ⁿC_k = ^n!/_k!⋅(n-k)! (COEFFICIENTE BINOMIALE)

BINOMIO DI NEWTON:

(a+b)ⁿ = ⁿ_k=0 ⁿC_k a^k b^n-k

CAMPO:

UN CAMPO DEVE RISPETTARE LE 9 PROPRIETÀ DI + e ⋅ . PER ESSERE ORDINATO DEVE VALERE ANCHE CHE:

1. ∀ a, b, c a ⋅ b => a ⋅ c ≤ b ⋅ c
2. ∀ a, b, c a ⋅ b => a ⋅ c ≤ b ⋅ c

SOMMATORIE

ⁿ∑_i=1 a_i = a₁ + a₂ + ... + a_n

PROPRIETÀ:

1. ⁿ∑_k=1 (c . a_k) = c . ⁿ∑_k=1 a_k ; ⁿ∑_k=1 c = c . n
2. ⁿ∑_k=1 a_k + ⁿ∑_k=1 b_k = ⁿ∑_k=1 (a_k + b_k)
3. ^n+m∑_k=1 a_k = ⁿ∑_k=1 a_k + ^n+m∑_k=n+1 a_k
4. ^u∑_k=1 a_k = ^n+m∑_k=1+m a_k-m
5. ⁿ∑_k=1 a_n-k+1 = ⁿ∑_k=0 a_n-k

PROGRESSIONE GEOMETRICA:

ⁿ∑_k=0 q^k = ^{1 - qn+1}/_{1 - q}

FATTORIALE:

n! = n . (n-1) . ... . 3 . 2 . 1

PROPRIETÀ FATTORIALE

(ⁿk) = (ⁿn-k) ; (ⁿk) = (^n-1k-1) + (^n-1k) ; (ⁿk) = ^n!/_{k! . (n-k)!} (coefficiente binomiale)

BINOMIO DI NEWTON:

(a+b)ⁿ = ⁿ∑_k=0 (ⁿk) a^k b^n-k

CAMPO:

Un campo deve rispettare le 9 proprietà di + e . . Per essere ordinato deve valere anche che:

1. ∀a,b,c a≤b ⇒ a+c ≤ b+c
2. ∀a,b,c a≤b ⇒ ac ≤ bc

Estremo Superiore:

E ⊆ x, k ∈ x k è maggiorante di E se k ≥ x, ∀ x ∈ E.

L'estremo superiore è il più piccolo dei maggioranti di E. (sup E).

Estremo Inferiore:

E ⊆ x, h ∈ x è minorante di E se h ≤ x, ∀ x ∈ E.

L'estremo inferiore è il più grande dei minoranti di E. (inf E).

Valore Assoluto:

|a| = { a se a ≥ 0, -a se a < 0.

La diseguaglianza triangolare è: ∀ x,y ∈ ℝ: |x + y| ≤ |x| + |y| ovvero

|x| ≤ a ⇒ -a ≤ x ≤ a.

Radici e Potenze

Sia y ∈ ℝ, y > 0, n ∈ ℕ, n ≥ 1

Allora ∃ ! x : xⁿ = y ⇔ x = ⁿ√y = y^1/n

Se r = ^m/_n, a > 0, aʳ = a^m_√a,n, a^m/n = ^m√_√a,n

Proprietà Potenze:

a⁰ = 1, a¹ = a; a > 0 ⇒ aᶜ ≤ 1 ⇔ a ≤ 1, c > 0 ;

aᶜ⁺ᵈ = aᶜ · aᵈ; (ab)ᶜ = aᶜ bᶜ; (aᵇ)ᶜ = aᵇᶜ; c < d ⇒ aᶜ ≤ aᵈ ⇔ a ≥ 1;

0 < a < b ⇒ aᶜ ≤ bᶜ

Logaritmi

a > 0, a ≠ 1, y > 0 allora aˣ = y ⇒ x = logₐ y

Proprietà

x,y ∈ ℝ, e ≠ 1

logₑ xy = logₑ x + logₑ y

logₑ ^x/_y = logₑ x - logₑ y

logₑ xᵃ = a logₑ x , a ∈ ℝ

logₐ x = ^{logₑ x}/_{logₑ a}, x ≠ 1

logₐ x = ^{logᵦ x}/_{logᵦ a}, b > 0, b ≠ 1

Disuguaglianza di Bernoulli:

n≥0, x∈ℝ, x≥-1

(1+x)ⁿ≥1+nx

Numeri Complessi

i = (0,1) - Unità Immaginaria

(i² = (0,1)(0,1) = (−1,0) = −1

z = a + ib

Parte reale & Parte Immaginaria - Forma Algebrica

z̅ = a - ib

|z| = √(a²+b²) - Modulo di z

(=√z̅⋅z̅)

Propriet