Teoria analisi 1

Sommatorie

∑_i=aⁿ a_i = a_a + a_a+1 + ... + a_n

Proprietà:

1. ∑_k=1ⁿ (c · a_k) = c · ∑_k=1ⁿ a_k ; ∑_k=1ⁿ c = c · n
2. ∑_k=1ⁿ (a_k ± b_k) = ∑_k=1ⁿ a_k ± ∑_k=1ⁿ b_k
3. ∑_k=1^n+m a_k = ∑_k=1ⁿ a_k + ∑_k=n+1^n+m a_k
4. ∑_k=1^n+m a_k = ∑_k=1+m^n+m a_k-m
5. ∑_k=1ⁿ a_k = ∑_k=0^n-k+1 a_n-k+1 = ∑_k=0ⁿ a_n-k

Progressione Geometrica:

∑_k=0ⁿ q^k = (1 - qⁿ⁺¹) / (1 - q)

Fattoriale:

n! = n · (n-1) · ... · 3 · 2 · 1

Proprietà Fattoriale:

= ; = + ; n choose k> = n! / (k! · (n-k)!)

Binomio di Newton:

(a+b)ⁿ = ∑_k=0ⁿ a^k b^n-k

Campo:

Un campo deve rispettare le 9 proprietà di + e ·. Per essere ordinato deve valere anche che:

1. ∀a,b,c a≤b ⇒ a+c ≤ b+c
2. ∀a,b,c a≤b ⇒ ac ≤ bc c≥0

Estremo superiore:

∃x ∈ K ∈ ℝ è maggiorante di E se k ≥ x, ∀x ∈ E.L'estremo superiore è il più piccolo dei maggioranti di E. (sup E).

Estremo inferiore:

∃x, h ∈ ℝ è minorante di E se h ≤ x, ∀x ∈ E.L'estremo inferiore è il più grande dei minoranti di E. (inf E).

Valore assoluto:

|a| = a se a ≥ 0 |a| = -a se a < 0

La disequazione triangolare è: ∀x, y ∈ ℝ : |x+y| ≤ |x|+|y| ovvero |x| ≤ a → -a ≤ x ≤ a

Radici e potenze:

Sia α ∈ ℝ, y > 0, n ∈ ℤ, n≥ 1Allora ∃! x : x^n = y ↔ x = √n;y = y^^1/n

Se γ= ^m⁄_m ≥ 0, a ≠ 0, a^γ = (a^m)^1/m = ^m√a^m

Proprietà potenze:

• a^0 = 1, 1^i = 1, a > 0 ⇒ a^c ≤ 1 ↔ a ≤ 1, c ≥ 0;
• a^c+d = a^c * a^d ; (a*b)^c = a^c * b^c ; (a^b)^c = a^bc ; c < d ⇒ a^c < a^d ↔ a ≥ 1 ;
• 0 < a < b ⇒ a^c < b^c

Logaritmi:

a > 0, a ≠ 1, y > 0 allora a^x = y ⇒ x = log_ay

Proprietà:

x, y ∈ ℝ, a ≠ 1

log_a x*y = log_ex + log_aylog_a ^x⁄_y = log_ax - log_aylog_a x^α = α log_ax , α ∈ ℝlog_a x = ^log_bx⁄_logba, x ≠ 1log x = ^log_ex⁄_{logea 1 la serie diverge}

SERIE A TERMINE DI SEGNO VARIABILE

• Una serie ∑a_n si dice assolutamente convergente se converge la serie ∑|a_n|.
• Se la serie ∑a_n converge assolutamente, allora converge.

CRITERIO DI LEIBNIZ

• {a_n} successione con:
• - a_n > 0 def.
• - a_n → 0 , n→∞
• - a_n+1 ≤ a_n def.
• Allora ∑_n=0^∞ (-1)ⁿ a_n è convergente